Ядерная тормозная способность

Лекция 5
Слайд 1
Темы лекции
1.
Ядерная и электронная тормозная способность и их
связь с удельными потерями энергии при движении
ионов в твердом теле.
2.
Расчет тормозных способностей ионов для
кулоновского и экранированного кулоновского
потенциалов взаимодействия.
3.
Расчет тормозных способностей для соединений.
Лекция 5
Слайд 2
Ион M1, Z1, движущийся в твердом теле, состоящем из атомов M2, Z2. При
взаимодействии иона с атомами происходит передача части его энергии
атомам, т.е. ион тормозится в твердом теле. В каждый рассматриваемый
момент энергия иона равна Е, причем по мере его движения Е уменьшается.
* – полное (проинтегрированное по всем возможным переданным
энергиям) сечение процесса, сопровождающегося передачей энергии от
движущегося иона атомам твердого тела. Если d*(E2) – дифференциальное
сечение передачи энергии в диапазоне E2  dE2, то
σ* 
E 2 max
 dσ * ( E )
2
E 2 min
где E2min – минимально возможная переданная энергия ионом в процессе
взаимодействия,
E2max – максимально возможная переданная энергия.
Лекция 5
Слайд 3
Выделим в твердом теле объем с площадью основания * и высотой dl,
направленной вдоль траектории движения иона.
m1 Z1
*
dl
траектория
Концентрация объектов, с которыми взаимодействует ион – n*.
В выделенном объеме находится n** dl объектов (рассеивающих центров).
Если E2 – средняя энергия, передаваемая рассеивающему центру в
однократном процессе взаимодействия при движении иона в выделенном
объеме, то на участке траектории dl ионом будет передана энергия (ион
потеряет энергию) dE2 = – n**dl. Удельные потери энергии ионом вдоль
траектории
dE
  n * σ * E2
dl
Лекция 5
Слайд 4
E 2 max
 E dσ * ( E )
2
По теореме о среднем
E2 
E 2 max
2
E 2 min
E 2 max
 dσ * ( E )
 E dσ * ( E )
2

2
E 2 min
σ*
2
E 2 min
E
Удельные потери энергии ионом
2 max
dE
 n *  E2 d * ( E2 )
dl
E 2 min
вдоль траектории
Размерность удельных потерь энергии эВ/Å или эВ/нм.
Для интеграла используется специальное название –
тормозная способность вещества,
соответствующая потерям энергии на единицу пути в веществе с единичной
концентрацией рассеивающих центров.
S
E 2 max
 E d * ( E )
2
E 2 min
2
Лекция 5
Слайд 5
Упрощающие рассмотрение предположения:
1.Твердое тело представляет собой набор атомов с атомной концентрацией
n0, не образующих кристаллическую решетку.
2.Следуя Нильсу Бору, будем рассматривать потери энергии ионом как сумму
двух независимых процессов, идущих одновременно:
взаимодействие с ядрами атомов, ("ядерное" или "упругое"
взаимодействие, подстрочный индекс "n"), в ходе этого процесса происходит
также изменение направления движения иона;
взаимодействие с электронами атомов твердого тела, сопровождающееся
ионизацией атомов и возбуждением их электронной подсистемы
("электронное" или "неупругое" взаимодействие, построчный индекс "е"), в
ходе этого процесса направления движения иона не меняется, так как
me << m1.
Лекция 5
Слайд 6
В этих предположениях связь между удельными потерями энергии вдоль
траектории и тормозной способностью
dE  dE   dE 

 
  (n*)n Sn  (n*)e Se
dl  dl n  dl e
Для того чтобы получить конкретный вид d*(E2) необходимо знать
потенциал взаимодействия.
Кулоновский потенциал.
Применим для быстрых легких ионов (водород, гелий с энергией ~ МэВ).
Дифференциальное сечение по переданной энергии в случае кулоновского
потенциала имеет вид:


2
πγ Z1Z 2e 2 dE2
dσ n * E2  
 2
E
E2
Лекция 5
Слайд 7
Ядерная тормозная способность при энергии иона равной Е
E2 max
Sn ( E ) 

E2 min

πγ Z1Z 2e 2
E

2


 E2 max 
dE2 πγ Z1Z 2e 2

ln 

E2
E
 E2 min 
2
E2max = 4Е/(1 + )2. Точное значение E2min не очень существенно, единственное
требование E2min  0. Для дальнейших расчетов примем E2min = Ed = 10 эВ – средняя
энергия смещения атома из положения равновесия.
Ядерная тормозная способность
Рассеивающие центры - ядра, n* = n0.
Ядерные удельные потери энергии


 4γE 
πγ Z1Z 2e 2
Sn ( E ) 
ln 

2
E
(
1

γ
)
E
d


2


 4γE 
dEn
πγn0 Z1Z 2e 2
(E)  
ln 

2
dl
E
 (1  γ) Ed 
2
Лекция 5
Слайд 8
Торможение на электронах в 1-ом приближении можно рассматривать как
рассеяние иона на электронах. При таком рассмотрении потенциал
взаимодействия U(r) = Z1e2/r. Кроме того,  = m1/me >> 1. Максимально
возможная переданная энергия
E2max = 4Е/(1 + )2  4Е/ = 4Еme/m1.
Для вычисления E2min примем, что в результате взаимодействия иона с
электроном переданная ему энергия больше энергии связи, т.е. рассеяние
иона на атомном электроне сопровождается ионизацией атома.
Введем в рассмотрение среднюю энергию ионизации атома (усредненную
по всем оболочкам) Iˆ  11,6 Z2 эВ. При таком подходе E2min = Iˆ
π(m1 / me ) Z12e4  4(me / m1 ) E 
Se ( E ) 
ln 

E
Iˆ

Лекция 5
Слайд 9
В нашем рассмотрении не учитывалась возможность возбуждения
электронной подсистемы атома. Если учесть эту возможность (для этого
необходимы существенно более сложные рассмотрения), то
электронная тормозная способность
2π(m1 / me )Z12e4  4(me / m1 ) E 
Se ( E ) 
ln 

E
Iˆ

Рассеивающими центрами являются электроны, n* = n0Z2.
Электронные удельные потери энергии
dEe
2π(m1 / me )Z12 Z 2e4n0  4(me / m1 ) E 
(E)  
ln 

dl
E
Iˆ

Лекция 5
Слайд 10
Так как E = m1v2/2, где v – скорость иона
4πZ12e4  2mev 2 
,
Se 
ln 
2
ˆ
mev
 I 
dEe
4πZ12 Z 2e 4 n0  2mev 2 

(E)  
ln 
2
ˆ
dl
mev
 I 
Электронная тормозная способность должна быть положительной
величиной, поэтому под знаком логарифма должна стоять величина > 1.
Оценим, при каких энергиях иона выполняется это требования. Для ионов
гелия (Z1 = 2, М1 = 4), движущихся в олове (Z2 = 50 – середина таблицы
Менделеева) получаем условие E > /4(me/m1)  1 МэВ, т.е. условие
применимости кулоновского потенциала.
Лекция 5
Слайд 11
Оценим, вклад каких потерь является преобладающим. Для этого
вычислим отношение (dE/dl)n/(dE/dl)e при одной и той же энергии Е.

4M 1
E
 dE 
ln




 dl  n  Z 2 me M  M 2 (1  M 1 / M 2 ) Ed 
1
M 2 m1
 dE 
 4(me / m1 ) E 


ln 

 dl  e
11
,
6
Z
2


Для всех элементов кроме водорода отношение Z2/М2  ½. Кроме того, m1 =
М1mа.е.м., где mа.е.м. = 1,6610-24 г и отношение mе/mа.е.м.  510-4. Для оценки
возьмем М1 = 4, Е = 2 МэВ, Еd = 10 эВ. Тогда оцениваемое отношение можно
представить в виде функции от Z2

2M 1
E
 dE 
ln




Z
(
1

M
/
2
Z
)
E
1
dl

n  f (Z ) 
1
2
d 
5,5 10 4  2
2
2M 1
 dE 
 4  5,5 10 4 E 


ln 

dl

e
M

11
,
6
Z
2 
 1
Лекция 5
График этой функции
Слайд 12
f(Z2)
0.02
0.01
Практически для всех элементов
таблицы Менделеева, за исключением
трансурановых элементов, отношение
(dE/dl)n/(dE/dl)e  10-2.
0
Z2
20
40
60
80
В области применимости кулоновского потенциала преобладающий
вклад вносят электронные потери энергии и с большой точностью
ядерными потерями можно пренебречь.
Лекция 5
Слайд 13
Экранированный кулоновский потенциал
Используем выражение для Линдхардовского сечения рассеяния.
Дифференциальное сечение по переданной энергии.
E2 = 4M1M2Ecos2/(M1 + M2)2. Угол отдачи  = ( – )/2.
Энергия Е может быть записана через приведенную энергию Линдхарда
Е = Z1Z2e2(M1 + M2)/aM2.
4M 1M 2 Z1Z 2e 2 t
2
2
Т.к. Линдхарадовская переменная t =  sin (/2), то
E2 
(M1  M 2 ) ε
т.е. прямо пропорциональна t, остальные члены являются параметрами,
определяемыми конкретной парой ион-атом и энергией иона. Поэтому
Линдхардовское сечение рассеяния является также сечением по
переданной энергии.
dE2 = 4M1Z1Z2e2/(M1 + M2)dt
Лекция 5
Слайд 14
при t = 2 переданная энергия E2 = 4M1M2E/(M1 + M2)2 = E2max,
при t1/2 = 0 E2 = 0 = E2min (для экранированного кулоновского потенциала
формального ограничения для E2min нет).
Ядерная тормозная способность в экранированном кулоновском
потенциале
ε
ε
1/ 2
2
4Z1Z 2e 2 M1
f
(
t
)
tdt
4
π
aZ
Z
e
M
f L (t1 / 2 )d (t1 / 2 )
2 L
1 2
1
Sn 
πa

3/ 2
a( M 1  M 2 )
2t ε
M1  M 2
ε


0
0
ε
Приведенная ядерная тормозная способность
sn ( ε ) 

0
S n ( E )  8,47 10
15
Z1Z 2
Z12 / 3  Z 22 / 3
f L ( x)d ( x)
ε
 эВ  см 2 
M1
sn (ε ) 

M1  M 2
 атом 
Зависимость от Е входит в зависимость  от Е.
Лекция 5
Слайд 15
Ядерные удельные потери энергии
Аппроксимация Юдина sn (ε) 
0,45 ε
0,3  ε
M1
 dE 
2
sn (ε)

  4πan0 Z1Z 2e
dl
M

M

n
1
2
Электронная тормозная способность
Фирсов для Z1  Z2 > 10
 2 
v
E
15


Se  8π  0,81 ( Z1  Z 2 )  3,1110 ( Z1  Z 2 )
vB
M1
 me 
E  кэВ; М 1  а.е.м.
 эВ  см 2 
 атом ,


ЛШШ
 2 
Z1Z 2
Z1Z 2
E  эВ  см 2 
15 1 / 6
Se  8π  Z  
 3,82 10 Z1
 атом ,
2/3
2/ 3 3/ 2
2/3
2/3 3/ 2
m
M
Z1  Z 2


1
 e  Z1  Z 2
E  кэВ; М 1  а.е.м.
В обоих случаях электронная тормозная способность ~ скорости иона ( E )
1/ 6
1




Лекция 5
Слайд 16
Если перейти к приведенной энергии, то по аналогии с ядерной,
электронную тормозную способность можно записать в виде
Se ( E )  8,47 10
Z1Z 2
15
Z12 / 3  Z 22 / 3
 эВ  см 2 
M1
se (ε ), 

M1  M 2
атом


se  ke ε приведенная (безразмерная) электронная тормозная способность
3/ 2
0
,
0793
Z
Z
(
M

M
)
1/ 6
1 2
1
2
ke  Z1
Z
2/3
1
 Z 22 / 3

3/ 4
M 13 / 2 M 21 / 2
se определяется не только величиной , но и атомными номерами и массами
взаимодействующих иона и атома (ke), поэтому
при одинаковых приведенных энергиях для разных пар ион-атом будут
получаться различные значения se.
Лекция 5
Слайд 17
Красная линия sn ( ε ) , аппроксимация Юдина – синяя линия,
зависимость se ( ε ) для Z1 = 18, M1 = 39,95 (Ar) и Z2 = 14, M2 = 28,09 (Si) –
черная линия. Приведенная ядерная тормозная способность имеет ярко
выраженный максимум при   0,25.
s
0.8
Для обратноквадратичного потенциала
U(r) = (Z1Z2e2/r)(0,416а/r)
(функция экранирования Нильсен)
sn = 0,327 (красная штриховая линия).
0.6
0.4
0.2
0
0
1
2
3
4
5
ε
Для этого потенциала
4aZ1Z 2e 2 M 1
S n  0,327
ядерная тормозная способность
M1  M 2
также как и ядерные удельные потери энергии не зависит от энергии
иона.
Лекция 5
Слайд 18
Если образец – сплав или соединение, состоящий из N элементов,
равномерно распределенных по его объему (однородный образец) и
относительная концентрация каждого элемента Ci = ni /n0 (ni – атомная
концентрация i-го элемента, n0 – атомная концентрация всех элементов в
образце, причем всегда ni = n0), то в этом случае используются два
альтернативных подхода для вычисления S и dE/dl.
Средний атомный номер
N
Z2 
C Z
i
N
2i
, M2 
i
C M
i
i
2i
Правило Брэгга
Если Si – тормозная способность i-го элемента, вычисленная по общим
правилам, то для многоэлементного образца тормозная способность
N
S
C S
i
i
i