1_05

1.5. Антиферромагнетизм и
ферримагнетизм
Антиферромагнетизм. Основное состояние.
Спектр и термодинамика возбуждений в
антиферромагнетиках. Классическая
антиферромагнитная модель. Понятие о
ферримагнетизме
Антиферромагнитное
упорядочение
.
 
H  1 / 2 Jij Si S j
i j
 Если
обменный интеграл отрицательный, то имеет место
антиферромагнитное упорядочение
 Возникают две подрешетки, в каждой из которых спины
сонаправлены, а сами они ориентированы в противоположные
стороны. В результате средний суммарный магнитный момент
равен нулю, однако упорядочение тем не менее имеет место, и
существует точка перехода, в которой антиферромагнитное
упорядочение исчезает (ее обычно называют температурой Нееля
TN, а основное состояние антиферромагнетика - неелевским
состоянием)
2
Модель Изинга
.
 Рассмотрим для простоты модель Изинга. Разделим систему на две
вложенные друг в друга
противоположные стороны:
   
   


подрешетки,



(  )



направленные


в
(  )
 Введем два эффективных поля:
H  J     Z  H, H  J     Z  H
 Система описывается уравнениями:
H     ZJ 
H     ZJ 
   th
,


th




T
T




 Температурная зависимость средних магнитных моментов на
подрешетках такая же, как и в случае ферромагнетика

3
    Z | J |
 th

T


Модель Изинга
.
 Суммарный магнитный момент в антиферромагнетике равен нулю
 Рассмотрим случай больших температур:
H     ZJ
,
T
 
 
H     ZJ
T
 В слабых полях:
  dM / dHH0         ,
         (        )

 В
4
JZ 2H

,
T
T
2
2

.
T | J | Z T  
точке фазового перехода в отличие от ферромагнетика
расходимости восприимчивости нет (хотя есть излом производной),
т.е. фазовый переход тем не менее должен чувствоваться при
измерении температурной зависимости восприимчивости, что
связано с взаимной компенсацией спинов в подрешетках
Приближение среднего поля
.
 Рассмотрим антиферромагнитный гамильтониан Изинга:
H  1 / 2 20  Jij SiS j   0  SiH, Si  1
ij
i
 Разбивая на две подрешетки, получаем с учетом приближения
ближайших соседей:
 1
  2  0  R H0
 
i
 Свободная энергия:
H
F


  0  S i  (H H0 ) ,

i

N
  0H0R  / 2  T ln 2ch{ 0 (H  H0 )}

2 

 Уравнения на параметры порядка:
R   th[ 0 (H0  H)], R   th[ 0 (H0  H)]
 Критическая температура:
  20 ZJ
1
R   ZJR 
 0  Tc     20 ZJ
2
1
 0 ZJ

5
2
0

Приближение среднего поля
.
 Теплоемкость:
 0N
 20NZJ


C
H0  R  T H  0  
 R2  T

2 
2
 Восприимчивость:
(1  R 2 )

T  (1  R 2 ) 
2
0

4 20

exp(

2
),

T
T
 2
 T

   0 (1  y ), y 
,
2



 20

,



T

T  0;
T    0;
T    0.
 При малых полях
6
R  (H)  R( T)  [ TH  20 ]( T)
Ферримагнетизм
.
 Гамильтониан ферримагнетика:
1
H
J     S iS j     S i H    S i H,
2
ij
i
i
S i  1,      .
 В приближении среднего поля:
H
 1

  2    R H0

i

    S i  (H H0 ) , H0  ZJR   

i
 Статистическая сумма и свободная энергия ферримагнетика:





Q   exp{N H0 R  / 4} 2ch{  (H  H0 )}

F

N/2

N
  H0 R  / 2  T ln 2ch{  (H  H0 )} .

2 
 Уравнения для равновесных значений параметра порядка:
R   th[  (H0  H)], R   th[  (H0  H)]
7
Ферримагнетизм
.
 Критическая температура ферримагнетика:
Tc      ZJ
 Теплоемкость и восприимчивость:
T
1
 R2
C       ZJ
, R  R  |H  0  R  |H  0  th[ c R ].
2
T
 T
1  R2

4
 (     ) 2
(     ) 2 


2
2 
T

T
(
1

R
)
T

T
(
1

R
)

c
c
 Вблизи критической температуры:




 1
8 T
 c
8
2
2
1 T (     )  2    Tc
;
T  Tc ;
2
2
2
T  Tc
 P    (2)

2

P
(
4
)

(
1

T
T
)
P
(
22
)

; T  T c  0 ,

c

5
 (1  T Tc )

P    ()  
2


2

     .
Антиферромагнитная модель
Гейзенберга
.
 В модели Гейзенберга взаимная ориентация спинов и внешнего
поля не обязательно совпадает. Появляется понятие оси легкого
намагничивания – преимущественного кристаллографического
направления, по которому располагаются вектора спонтанной
намагниченности при нулевой температуре и в пределе слабого
поля
 Гамильтониан антиферромагнитной модели Гейзенберга:
H
2
0
2
 
 Jij Si S j


 0 H  Si
i  j
i
 В приближении среднего поля






N  

H     0  S i  (H  H0 )  H0 R  ,
4
 
i





H0  ZJ R
9
Антиферромагнитная модель
Гейзенберга
.
 Свободная энергия:
F

 Уравнения для параметров порядка:
R    0 SFL [ 0 (H  H0 )], R    0 SFL [ 0 (H  H0 )]
 Критическая температура в нулевом поле:
R   R    0 SFL [ 0 SZJR  ],    ZJ( 20 S) 2 3
 Теплоемкость:
C
10

N
1  
{

H0R T ln 4 (sh{0 (H  H0 )S} [0 (H  H0 )S]) }.

2 
2
N
NZJ


H

R

T



 R2  T

0
H0
2 
2
Антиферромагнитная модель
Гейзенберга
.
 Восприимчивость:

 20 S 2
T  0;
T,

2
9
 2 2
 T
 S
   0
(1  y ), y 
, T    0;
6



 20 S 2

,
T    0.

3
(


T
)

 Зависимость параметров порядка от внешнего поля:
R  (H)  R( T)  [ TH  20 ]( T)
 Статистическая сумма:
Q





exp{

R
H
/
2
}
d

exp{

SH
'
cos

}
 
0
i
0

i  

  i


N/2




exp{

R
H
/
2
}
4

(
sh
{

H
'
S
}
[

H
'
S
])

.
0
0 
0 
 


11



0
H'  H H
Антиферромагнитная модель
Гейзенберга
.
 Свободная энергия:
F   T ln Q 

N  1  
   R H0  T ln4 (sh{0H' S} [0H' S]) .
2   2

 Уравнения для равновесных намагниченностей:

R
   


H

H

0


  0 S 
F [ 0 S | H0  H |]
    L
| H0  H |
 Тензор магнитной восприимчивости:


1  
M   F  H 
{R  R } 
2N
1 d
  
{R   R  } |H  0 ,
2 dH

12

,   x , y , z;
Антиферромагнитная модель
Гейзенберга
.



   t P t  l P l ,
Pl


H'  H' H'  H'


,
2
2
H' 
H' 


0



H'    H |H0 , P t  I  Pl ,
( 0 S) 2 FL ' ( 0H0 S)
 t  1 2ZJ ,  l 
,
2
T  ( 0 S) ZJFL ' ( 0H0 S)
H0  H0 |H 0  ZJR .
 В случае ориентации оси легкого намагничивания в плоскости xy
(например, по оси x) тензор диагонален. Это же наблюдается, если
ось легкого намагничивания направлена по оси z
13
Антиферромагнитная модель
Гейзенберга
.
 Температура, при которой все компоненты тензора магнитной
восприимчивости (в главных осях) совпадают:
T    ( 20 S 2 ZJ) 3 ,  0  1 2ZJ   t



 Равновесное значение угла между R и H при нулевой температуре:



 


N  

E  H     0   S i  (H  H0 )    H0 R   
4
 
i


1
 HNS 0 sin   zJN 20 S 2 cos 2.
2
sin  
14
H
 0 S2ZJ
Антиферромагнитная модель
Гейзенберга
.
 Квантовая антиферромагнитная модель Гейзенберга:
 
H  1 / 2 Jij Si S j ,
Jij  0
i j
 Спектр возбуждений:
(q ) 2  [ 20 SJ]2 [Z 2  B 2 (q)]
 

B(q)   exp[i q(ri  rl )]
i
il
 Спектр антиферромагнитных магнонов на трехмерной кубической
решетке в длинноволновом пределе:
q0
q  S Z 2  Z 2  cos qa  2  

15
SZJqa
3