Лекция 6.Энергия магнитного поля

ЭНЕРГИЯ МАГНИТНОГО
ПОЛЯ
1. МАГНИТНАЯ ЭНЕРГИЯ ТОКА
2. ЭНЕРГИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ
3. МАГНИТНАЯ ЭНЕРГИЯ ДВУХ КОНТУРОВ
С ТОКАМИ
4. ЭНЕРГИЯ И СИЛЫ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
Магнитная энергия тока
Замкнем цепь, содержащую R и L на источник тока с э.д.с.  0 .
В контуре начнет возрастать ток. Возникнет э.д.с. самоиндукции.
Согласно закону Ома:
  IR  
0
s
.
Найдем работу, которую совершают сторонние силы за время dt
по переносу заряда dq:
 Idt  I 2 Rdt    Idt .
0
s
Учтем что
dI
d
  L
s
dt

dt
.
A  Q  Id 
В процессе установления тока dФ>0, и работа,
совершаемая сторонними силами, больше выделяемой
джоулевой теплоты. Часть этой работы – дополнительная
работа – совершается против э.д.с. самоиндукции.
Aдоп  Id  LIdI .
I
LI 2
Aдоп   LIdI 
.
2
0
По закону сохранения энергии любая работа идет
на приращение какого-то вида энергии. Часть работы
сторонних сил  0
идет на увеличение внутренней
2
LI
энергии проводников, а другая часть
связана с
2
установлением тока и появлением магнитного поля.
Поэтому эту энергию, равную
2
 
1 2 1

W  LI  I 
2
2
2L
называют магнитной энергией тока или собственной
энергией тока. Эта энергия может быть целиком
превращена во внутреннюю энергию проводников, если
отключить источник тока.
Энергия магнитного поля
Полученную формулу преобразуем, введя внее
B
характеристику поля – магнитную индукцию
.
Рассмотрим бесконечно длинный соленоид,
индуктивность которого:
L  0n2V ,
тогда:
Так как:
1 2 1
W  LI  0n 2 I 2V
2
2
B
B  0nI , то I 
0  n
После подстановки:
B2
W
V
2 0
Эта формула справедлива для однородного поля,
заполняющего объем V. Таким образом энергия
магнитного поля локализована в пространстве,
занимаемом магнитным полем, и распределена по
пространству с объемной плотностью
2
B

20
.
Мы рассмотрели случай, когда отсутствуют магнетики.
Ввели индуктивность как коэффициент
пропорциональности между Ф и I.
Существует другая возможность расчета индуктивности
из выражения энергии:
1 2
W  LI ;
2
B2
W 
dV ;
2 0
1 2 1 B2
LI   dV ;
2
2 0
1
L 2
I
B2
 0 dV
Магнитная энергия двух контуров с
токами
Возьмем два неподвижных контура 1 и 2, расположив их
достаточно близко друг к другу (чтобы была магнитная
связь). Предположим, что в каждом контуре есть своя
постоянная э.д.с. Замкнем в момент t=0 оба контура. В
каждом из них начнет устанавливаться ток, появится э.д.с.
самоиндукции
s и э.д.с. взаимной индукции iвз .
Дополнительная работа, совершаемая источниками
постоянной э.д.с., идет на создание магнитной энергии
(против э.д.с. самоиндукции и взаимной индукции).


Найдем эту работу за время dt:
A  ( s1   вз1 ) I1dt  ( s 2   вз2 ) I 2 dt  dW .
Учтем, что:
dI1
dI 2
 1   L1
,  2   L2
;
dt
dt
dI 2
dI1
 вз1   L12
,  вз2   L21
;
dt
dt
После подстановки будем иметь
dW  L1I1dI1  L12 I1dI 2  L2 I 2dI 2  L21I 2dI1;
Учтем, что:
,
L12  L21
1
1
2
2
Тогда
W  L1 I1  L2 I 2  L12 I1 I 2 .
2
2
Отсюда:
 L1I12 
 L2 I 2 2 
dW  d 
d
  d  L12 I1I 2  .
 2 
 2 
(1)
Первые два слагаемых называются собственной энергией
тока I1 и тока I 2
, последнее – взаимной энергией
обоих токов.
Вычислим энергию двух контуров несколько иначе – с
точки зрения
локализации энергии в поле.

Пусть B1
- вектор магнитной индукции поля тока I1 ,

B2 - вектор магнитной индукции поля тока I 2 .
  
B  B1  B2 .
Тогда энергия поля этой системы:

2
1 B
1 B  B2  2 B1  B2
B1
W   dV  
dV  
dV 
2 0
2
0
2 0
 
2
B2
B1  B2
(2)

dV  
dV .
2 0
0
2
2
1
2
Формулы (1) и (2) приводят к таким важным
следствиям:
1. Магнитная энергия системы токов величина
всегда положительная;
2. Энергия токов величина положительная;
3. Последний интеграл пропорционален
произведению I1  I 2 , , т.к. B1 ~ I1 , B2 ~ I 2 .
Последний интеграл оказывается симметричным
относительно индексов 1 и 2 , его можно
обозначить и как L12 и как L21 . Следовательно
действительно
L12  L21.
4. Сопоставление выражений (1) и (2) показывает, что:
L12  I1  I 2  
B1  B2
1
L12 
I1  I 2
B1  B2

0
0
dV , î òñþ äà :
dV .
Энергия и силы в магнитном поле
Наиболее общий метод определения сил в
магнитном поле является энергетический.
Рассмотрим систему из двух контуров с токами I1 и
I 2 . Магнитная энергия такой системы может быть
представлена как:
1
W
2
I11  I 2 2 .
1
1
1
1
2
2
Действительно:W  2 L1  I1  2 L2 I 2  2 L12 I1 I 2  2 L21I1 I 2 
1
1
1
 I1 L1 I1  L12 I 2   L2 L2 I 2  L21I1   I11  I 2 2 .
2
2
2
Согласно закону сохранения энергии работа A ,
которую совершает источник тока, идет на теплоту Q , на
приращение магнитной энергии системы dW (из-за
движения контуров или изменения токов в них) и на
механическую работу Aì åõ (вследствие перемещения
или деформации контуров):
*
A  Q  dW  Aì åõ
*
Нас интересует только та часть работы, которая
совершается против э.д.с. индукции и самоиндукции.
Эта работа, которую мы называем дополнительной,
равна:
Aäî ï    i1  s1  I1dt   i 2  s 2  I 2dt ,
учтем, что для каждого контура:
перепишем:
 i1   s 2
Aäî ï  I1d 1  I 2 d  2
d

,
dt
Именно эта часть работы идет на приращение
магнитной энергии системы и на механическую работу:
I1d 1  I 2d  2  dW  Aì åõ ,
Эта формула является основной для расчета
неё и сил в магнитном поле:
Aì åõ  dW  I1d 1  I 2d  2
Aì åõ , а из
Если
n  const, òî Aì åõ  dW / ô , т.е.
приращение магнитной энергии системы должно быть
вычислено при постоянных потоках через контуры.
Формула аналогична соответствующей для работы
механических сил в электрическом поле.
Если токи постоянны, то:
A  dW /
ì åõ
Действительно:
1
1
W  I11   I 2 2 ,
2
2
1
dW  I1d1  I 2d 2  1dI1   2dI 2 
2
I
1
Åñëè I1 , I 2  const òî : dW   I1d 1  I 2d  2  , à
2
äî ï
A  I1d 1  I 2d  2  2dW
Половина дополнительной работы идет на
приращение магнитной энергии системы, а другая часть
этой работы идет на совершение механической работы:
Оба полученных выражения определяют
полученную работу одной и той же силы, т.е.: Aì åõ  dW / I
F  dl   dW

dW
I
.