1.10. Куперовские пары Куперовские пары. Энергия связи и радиус. Теория БКШ. Гамильтониан БКШ. Волновая функция БКШ Притяжение между частицами . Основное состояние свободного газа электронов соответствует заполнению всех одноэлектронных уровней энергии вплоть до некоторой энергии – энергии Ферми Такое состояние является неустойчивым при наличии сколь угодно слабого притяжения между частицами Рассмотрим систему из двух электронов на фоне электронного газа в системе отсчета, в которой их центр масс покоится. Волновая функция системы: Согласно принципу Паули Уравнение Шредингера 2 Притяжение между частицами . Уравнение Бете – Голдстоуна: Если взаимодействие V отвечает притяжению, то возможны также решения, соответствующие некоторым связанным состояниям с энергиями E<2EF Рассмотрим упрощенное взаимодействие: Уравнение примет вид: 3 Притяжение между частицами . Условие самосогласованности: Вводя замену переменных, имеем: В пределе малых энергий: В пределе слабого взаимодействия: 4 Задача о двумерной яме . Отсутствие порога по взаимодействию подтверждается сопоставлением с задачей о двумерной потенциальной яме Найдем энергию связанного состояния в мелкой двумерной потенциальной яме и сравним с энергией связи электронов в куперовской паре. Энергия связанного состояния подчиняется следующему трансцендентному уравнению: kJ0 (a)K '0 (ka) J'0 (a)K 0 (ka); k 2mE / 2 ; k 2 2mU0 / 2 . В случае мелкой ямы имеем: E 2 2 ma2 exp[1 /(S)]; S 2a2 ; U0N0 ; N0 m 22 5 Пропускание тока через сверхпроводник . Уравнение для энергии пары: ' 1 / V k F2 / 4 2 dqd cos {1 /[ 2K 2 / 4m E 2k F q 2 / m]}; ' 0 2k F q k FK cos 2mD / Учитывая, что mD / k FK , m | E | / 2 Kk F , получаем уравнение на энергию связи: 1 (VN(0) / 2){ln[2D / | E | 1] 2Kk F / m | E |} В линейном приближении имеем: | E || E 0 | 2Kk F / m E 0 2D exp[2 / VN(0)] 6 Учет кулоновского отталкивания . Уравнение для фурье-компоненты волновой функции пары: 2k g(k ) [Vkk ' VkkC ' ]g(k ' ) Eg(k ); k' Vkk ' V , 0 k , k ' D ; C V C , 0 k , k ' P ; Vkk ' 0, otherwise; 0, otherwise; Введем обозначения: k 1 /[2k | E |]; 2 k 1 /[2k | E |]; ' '' C1 k g(k ); C2 k g(k ); 1 ' '' Один штрих соответствует интегрированию по области электрон- фононного взаимодействия, два штриха – по области кулоновкого отталкивания Получаем: | E | 2D exp(2 / eff ); eff N(0)[ V V C /{1 ( V CN(0) / 2) ln( P / D )}] 7 Теория БКШ . Волновая функция N электронов: Фурье-компонента функции пары: Для полной функции Введем операторы вторичного квантования с коммутационными соотношениями Тогда 8 Теория БКШ . Рассмотрим производящую функцию Среднее число частиц: Относительные флуктуации числа частиц очень малы: 9 Теория БКШ . Для нахождения энергии основного состояния необходимо минимизировать выражение Кинетическая энергия: Потенциальная энергия: Выражение для кинетической энергии легко преобразуется: Члены, отвечающие куперовскому спариванию в потенциальной энергии: 10 Теория БКШ . Разложим волновую функцию на два слагаемых: Тогда Положим Имеем: Минимизация: 11 Теория БКШ . Определим Тогда Получаем уравнение: Уравнение всегда имеет решение, невзаимодействующих электронов: 12 соответствующее газу Теория БКШ . Уравнение имеет и нетривиальные решения Рассмотрим упрощенное взаимодействие: Находим: Отсюда 13 Решение этого уравнения существует лишь при положительных V Теория БКШ . В пределе слабой связи Теперь можно вычислить кинетическую и потенциальную энергии: Разность энергий конденсированного и нормального состояний: Вероятность нахождения конденсированной фазы: 14 электрона в состоянии для Теория БКШ . Распределение электронов по импульсам: Амплитуда конденсации в состояние k: 15