Презентация на тему "Распределение Максвелла"

Распределение Максвелла
Опыт Штерна
Отто ШТЕРН (1888-1969), физик
Нобелевская премия, 1943 год
Измерил (1920) скорость теплового движения молекул газа
Подтвердил правильность основ
молекулярно-кинетической
теории газов
Опыт Штерна
Опыт Штерна
l  R2t
R2  R1
t
v
R2 ( R2  R1 )
v=
l
Опыт Штерна
Интерпретация результатов:
• атомы серебра движутся с различными
скоростями
R2 ( R2  R1 )
• формула v =
фактически
l
определяет среднюю скорость молекул
• в эксперименте были получены значения
v в интервале от 560 до 640 м/с;
для сравнения – среднеквадратичная скорость
молекул серебра при t =1200˚С (температура нити в
опыте Штерна)
3kT = 584 м/с
v кв 
m
Распределение молекул по абсолютным
значениям скоростей (распределение Максвелла)
Каждой молекуле на оси v соответствует точка, расстояние от
которой до начала отсчета О численно равно величине
скорости данной молекулы
«Моментальная фотография» скоростей молекул для
некоторого момента времени:
Распределение молекул по абсолютным
значениям скоростей (распределение Максвелла)
Плотность точек – отношение числа точек Nv ,
попадающих в пределы интервала v , к величине этого
интервала
Nv
(v ) 
v
Плотность точек является функцией v: ее значение зависит от
того, в каком месте на оси v взят интервал v
«Фотографии» для разных моментов времени:
Распределение молекул по абсолютным
значениям скоростей (распределение Максвелла)
Для разных порций газа (отличающихся числом молекул N)
одинаковым будет отношение
(v ) 1 Nv
F (v ) =

N
N v
Функция F (v ) характеризует распределение молекул по
скоростям и называется функцией распределения
Число молекул, скорости которых имеют значения в интервале
( v , v + v )
Nv  NF (v )v
Вероятность того, что скорость молекулы будет иметь значение
в пределах интервала (
,
+v v ) v
Nv
 F (v )v
N
Распределение молекул по абсолютным
значениям скоростей (распределение Максвелла)
Сумма по всем интервалам v i
Nv

 F (v i )v i
N
представляет собой вероятность того, что скорость молекулы
будет иметь одно из значений в пределах от 0 до ∞ . Это
достоверное событие, его вероятность равна 1:


0
F (v )dv  1
(условие нормировки)
Функция распределения найдена теоретически Максвеллом:
F (v )  Ae
mv 2

2 kT
v
2
где A – множитель, не зависящий от скорости
,
Распределение молекул по абсолютным
значениям скоростей (распределение Максвелла)
Множитель А найдем из условия нормировки:
A e
Введем переменную
тогда
mv 2

2 kT
v 2 dv  1
ξ=
1/2
 mv 


2
kT


2
,
3
 m    

 A e  d   1
0
 2kT 
  
 . Тогда
Из таблиц:
 e  d 
4
0

3
3/2
 m  4
 m 
A
 4 


2
kT
2

kT





Распределение молекул по абсолютным
значениям скоростей
(распределение Максвелла)
3
2
dN
 m 
2
F v  
 4 
 v  e
Ndv
 2kT 
mv 2

2 kT
Распределение молекул по абсолютным
значениям скоростей
(распределение Максвелла)
dn
F v  
ndv
Функция распределения
доля молекул, приходящаяся на единичный
интервал скоростей вблизи некоторого
значения v, т.е. в интервале v,v + dv 
dN
N  n  V  F v  
Ndv
Функция распределения – вероятность
того, что модуль скорости молекул лежит в
единичном интервале вблизи некоторого
значения v
Свойства распределения Максвелла
1. Поскольку F v  ~
v2
e
mv 2
2 kT
и при малых значе-
ниях скорости v степенная функция v2 растёт
быстрее экспоненты, а при больших наоборот, то
кривая распределения имеет максимум
2. Условие нормировки функции распределения:


0
F v  dv  1
Т. к . площадь под кривой остается постоянной, то
при увеличении температуры T или уменьшении
массы m молекулы максимум кривой смещается в
сторону более высоких скоростей и понижается
Свойства распределения Максвелла
T1< T2 (m1 >m2)
F(v)
0
T1 (m1)
T2 (m2)
v
Свойства распределения Максвелла
3. Кривая F(v) асимметрична и проходит через нуль в начале
координат
Выражение F(v) dv определяет вероятность попадания
молекулы в бесконечно тонкий сферический слой
пространства скоростей, заключенный между двумя
v  const
концентрическими сферами
и v + dv  const
4. Доля молекул, обладающих строго определённым
(точным) значением скорости, равна нулю
F(v)
0
dS=dn / n
v v+dv
dv
v
dn  nF v  dv
dn
dv  0 
0
n
Скорости молекул
Наиболее вероятная скорость vвер – скорость, при
которой функция F(v) максимальна.
Дифферренцируя функцию F по аргументу v2,
находим
 mv 2    mv 2 
 mv 2 
d  2
v exp  
exp  
   1 
0

2 
dv 
 2kT    2kT 
 2kT 
v вер
2kT

m
Максимальное значение функции распределения
4
m
F (v вер ) 
e 2kT
m
T
,
Скорости молекул
Каждому интервалу Δvi на оси скоростей соответствует количество молекул
Nvi  NF (v i )v i
Сумма скоростей всех N молекул
v i Nvi  v i NF (v i )v i
Разделив на N и перейдя к интегралу, получим
среднюю (или среднюю арифметическую) скорость

8kT
v   v F (v )dv 
m
0
Скорости молекул
Средняя квадратичная скорость
v кв 
v2
Средняя кинетическая энергия молекулы
1
3
2
m v  kT
2
2
,
поэтому
3kT
v кв 
m
Скорости молекул
F (v)
0
vвер<‹v›<vкв
v