lecture6

Основы теории
массового обслуживания
• Детерминированная математическая
модель отражает поведение объекта
(системы, процесса) с позиций полной
определенности в настоящем и будущем.
• Вероятностная математическая модель
учитывает влияние случайных факторов на
поведение объекта (системы, процесса) и,
следовательно, оценивает будущее с позиций
вероятности тех или иных событий, т.е. здесь
задачи рассматриваются в условиях
неопределенности.
Понятие случайного процесса
• Случайный процесс - процесс,
протекающий в системе, которая с течением
времени меняет свое состояние (переходит из
одного состояния в другое), причем, заранее
неизвестным случайным образом.
• Системой может быть: техническое
устройство, группа таких устройств,
технологическая система – станок, участок,
цех и т.д.
Марковский случайный
процесс
Случайный процесс, протекающий в системе,
называется Марковским, если для любого
момента времени t0 вероятностные
характеристики процесса в будущем зависят
только от его состояния в данный момент t0 и
не зависят от того, когда и как система
пришла в это состояние.
• Процесс с дискретным состоянием -
процесс, в котором его возможные состояния
S1, S2, … можно заранее определить, и
переход системы из состояния в состояние
происходит «скачком», практически
мгновенно.
• Процесс с непрерывным временем –
процесс, в котором моменты возможных
переходов из состояния в состояние не
фиксированы заранее, а неопределенны,
случайны и могут произойти в любой момент.
Потоки событий
• Поток событий – последовательность
однородных событий, следующих одно за
другим в какие-то случайные моменты
времени.
• Интенсивность потока событий (‫ – )ג‬это
среднее число событий, приходящееся на
единицу времени.
Потоки событий
• Поток событий можно наглядно изобразить
•
рядом точек на оси времени O t
Положение каждой точки случайно, на
рисунке изображена лишь какая-то одна
реализация потока.
Изображение потока событий на оси времени
Свойства (виды) потоков событий
1.Стационарный поток событий - если его
вероятностные характеристики не зависят от
времени.
2.Поток событий без последствий - если
для любых двух непересекающихся участков
времени число событий, попадающих на один
из них, не зависит от того, сколько событий
попало на другой.
3. Ординарный поток событий - если
события в нем появляются поодиночке, а не
группами по нескольку сразу.
4. Простейший (стационарный
пуассоновский) поток событий - если он
обладает сразу тремя свойствами:
1) стационарен, 2) ординарен, 3) не имеет
последствий.
Простейшего поток событий
• Для простейшего потока с интенсивностью ‫ג‬
интервал T между соседними событиями
имеет так называемое показательное
(экспоненциальное) распределение с
плотностью
f (t)= ‫ג‬e-‫ג‬t
где ‫ ג‬- параметр показательного закона.
Простейшего поток событий
• Для случайной величины T , имеющей
показательное распределение,
математическое ожидание mT есть величина,
обратная параметру, а среднее квадратичное
отклонение σT равно математическому
ожиданию:
mT = σT = 1/‫ג‬
Уравнения Колмогорова для вероятностей
состояний. Финальные вероятности состояний
• Если p1(t), p2(t),…, pi(t) стремятся к каким-либо
пределам и эти пределы не зависят от начального
состояния системы, то они называются
финальными вероятностями
__состояний.
lim pi(t)=pi,i=1,n
t->∞
pi(t) - это вероятность того, что в момент времени t
система будет находиться в состоянии Si
• Финальная вероятность состояния – это по –
существу среднее относительное время пребывания
системы в этом состоянии.
• Уравнения Колмогорова – уравнения особого
вида, в которых неизвестными функциями
являются вероятности состояний.
• Правило составления системы уравнений
Колмогорова: в каждом уравнении системы в
левой его части стоит финальная вероятность
данного состояния pi , умноженная на суммарную
интенсивность всех потоков, ведущих из данного
состояния, а в правой его части – сумма
произведений интенсивностей всех потоков,
входящих в i - е состояние, на вероятности тех
состояний, из которых эти потоки исходят.
Теория массового обслуживания
• Предмет теории массового
•
обслуживания – построение
математических моделей, связывающих
заданные условия работы СМО (число
каналов, их производительность, правила
работы, характер потока заявок) с
интересующими нас характеристиками –
показателями эффективности СМО.
Эти показатели описывают способность СМО
справляться с потоком заявок.
Система массового обслуживания
• Каждая СМО состоит из какого – то
количества обслуживающих единиц, которые
называются каналами обслуживания
(станки, транспортные тележки, роботы,
продавцы и т.д.).
• Всякая СМО предназначена для
обслуживания какого–то потока заявок
(требований), поступающих в какие – то
случайные моменты времени.
Процесс работы СМО
Процесс работы СМО – случайный процесс
с дискретными состояниями и непрерывным
временем. Состояние СМО меняется скачком
в моменты появления каких - то событий
(прихода новой заявки, окончания
обслуживания, момента, когда заявка,
которой надоело ждать, покидает очередь).
Классификация систем
массового обслуживания
1. Первое деление (по наличию
•
•
очередей):
СМО с отказами: заявка, поступившая в
момент, когда все каналы заняты, получает
отказ, покидает СМО и в дальнейшем не
обслуживается.
СМО с очередью: заявка, пришедшая в
момент, когда все каналы заняты, не уходит,
а становится в очередь и ожидает
возможности быть обслуженной.
СМО с очередями
•
•
СМО с очередями подразделяются на разные
виды в зависимости от того, как организована
очередь:
ограничена
не ограничена
Ограничения могут касаться как длины
очереди, так и времени ожидания,
«дисциплины обслуживания».
Примеры
• СМО с нетерпеливыми заявками (длина
очереди и время обслуживания
ограничено);
• СМО с обслуживанием с приоритетом,
т.е. некоторые заявки обслуживаются
вне очереди и т.д.
Классификация систем
массового обслуживания
2. Второе деление:
• Открытые СМО: характеристики потока
•
заявок не зависят от того, в каком
состоянии сама СМО (сколько каналов
занято).
Замкнутые СМО: характеристики потока
заявок зависят от того, в каком состоянии
сама СМО (сколько каналов занято).
Одноканальная СМО с отказами
Граф состояний одноканальной СМО с отказами
Одноканальная СМО с отказами
• Абсолютная пропускная способность
(среднее число заявок, обслуживаемых в
единицу времени):

A
 
где
шт / ед.времени,
λ - интенсивность потока заявок
μ
- интенсивность потока обслуживаний
Одноканальная СМО с отказами
• Относительная пропускная способность
(средняя доля заявок, обслуживаемых
системой):
Q
где
λ
μ


- интенсивность потока заявок
- интенсивность потока обслуживаний
Одноканальная СМО с отказами
• Вероятность отказа (вероятность того, что
заявка покинет СМО необслуженной):
PОТК 


Очевидно:
PОТК  1 - Q
и
Q  1 - PОТК
N – канальная СМО с
отказами (задача Эрланга)
Граф состояний для n – канальной СМО с отказами
N – канальная СМО с
отказами (задача Эрланга)
• Абсолютная пропускная способность:
   n p 
A   1 -    0 , шт / ед.времени ,
    n! 
где
n
- количество каналов СМО
p0 - вероятность нахождения СМО в
начальном состоянии, когда все каналы
свободны.
N – канальная СМО с
отказами (задача Эрланга)
Граф, представленный на этом рисунке,
называют графом состояний для схемы
«гибели и размножения».
N – канальная СМО с
отказами (задача Эрланга)
• Относительная пропускная способность:
n
   p0
Q  1 -  
   n!
• Вероятность отказа:
n
   p0
PОТК   
   n!
Напомним, что это вероятность того, что
заявка покинет СМО необслуженной.
N – канальная СМО с
отказами (задача Эрланга)
• Среднее число занятых каналов
(среднее число заявок, обслуживаемых
одновременно):
     p0 
k  1   

     n! 
n