Вычислительная геометрия как новый методический ресурс для экономических исследований Воронов Юрий Петрович

Вычислительная геометрия как
новый методический ресурс для
экономических исследований
Воронов Юрий Петрович
Консультационная фирма «Корпус»
Пять новых наук
Computational
geometry
Spatial
analysis
New
economic
geography
Surface
science
Spatial
econometrics
Сравнение пространственного анализа
и вычислительной геометрии
Вычислительная геометрия –
математическая дисциплина.
Она:
• изучает абстрактные
математические объекты
• работает с произвольным
числом измерений
• логически доказывает свои
утверждения
• самодостаточна
Пространственный анализ – наука
эмпирическая. Он:
• изучает закономерности размещения
реальных объектов на плоскости и в
пространстве.
• работает только с числом измерений
2и3
• выводит свои утверждения из
выявленных эмпирических
закономерностей.
• зависит от методов, разработанных в
вычислительной геометрии и других
разделах математики
Surface science есть исследования
физических и химических явлений,
происходящих на стыке двух фаз: жидкости,
газа и вакуума с твердым телом, а также
газа с жидкостью.
Наука о поверхностях связана со следующими
областями науки и техники: гетерогенный катализ,
производство полупроводниковых приборов,
топливные ячейки, мембраны,
самоорганизующиеся пленки, адгезивы и т.д..
Есть прикладная ветвь науки – surface engineering
Surface science делится на химию
поверхностей и физику поверхностей.
Физика поверхности
Поверхность – двумерная система, и не только ее
структура, но и многие явления выглядят на ней совсем не
так, как в объеме. Имеются и такие, для которых вообще
не существует трехмерных аналогов, например,
квантовый эффект Холла
За открытие этого эффекта физику-экспериментатору из
ФРГ Клаусу фон Клитцингу в 1985 году была присуждена
Нобелевская премия по физике. Второй раз за работы по
квантовому эффекту Холла Нобелевской премии были
удостоены в 1998 г. три американца: Роберт Лафлин, Хорст
Штермер и Даниель Цуи.
Квантовый эффект Холла – теоретически плохо объясняемое
распределение напряжений и токов на поверхности твердого тела
в сильных магнитных полях и при низких температурах.
Качественное объяснение: электроны объединяются в группу,
заряд которой меньше заряда отдельного электрона, поскольку
часть заряда идет на взаимодействие электронов. Множество
таких групп электронов названо «плоским электронным газом»
Международный
журнал «Surface
Science»
выходит с 1963
года
Российский
журнал
«Поверхность»
выходит с 1989
года
Это физические
журналы, но химики
туда допускаются
Особая роль поверхности в физике
•
Мы произносим слово «поверхность», не задумываясь над его смыслом. В этом
термине – тысячи поверхностей, с которыми мы имеем дело. Проведем по
глянцевой бумаге рукой. На такой Гулливер у великанов рассмотрел глубокие норы
и хлысты длиной с саблю. Острие иглы при увеличении похоже на обломанный
кол. Нет в мире безупречных плоскостей из геометрии.
•
Даже гладь воды не безупречна. Молекулы наружного слоя притягивают и держат
соседние молекулы снизу и с боков, а сверху притяжения нет. На пограничные
молекулы действует сила, направленная вниз.
•
Внутри жидкости молекулы передвигаются свободно. Для попадания в
«погранцы», они должны преодолеть силу притяжения глубинных молекул, силу
втягивания. Войти в пограничный слой трудно, а выйти из него легко.
•
Место втянутой вниз молекулы не займет ни одна из нижних молекул. Их держат
другие, находящиеся глубже. Брешь заполнится молекулами поверхностного слоя,
которые стремятся сомкнуться. Это – поверхностное натяжение, особое
физическое явление.
Основатель химии поверхности
В 2007 году лауреатом Нобелевской премии по химии стал Герхард
Эртль (71 год) «за исследования химических процессов
на твердых поверхностях».
1. Самый известный процесс, изученный им -- каталитическая
реакция получения аммиака при взаимодействии атмосферного
азота и водорода, где он объяснил кинетику и термодинамику и
то, как водород располагается на поверхности металловкатализаторов.
2. Второй процесс — «дожигание» автомобильного топлива,
окисление СО до СО2 в присутствии катализатора (платины).
Г. Эртль объяснил нелинейную кинетику этой реакции.
3. Обоснован современный метод хранения водорода в
нанопорах металлов, а следовательно, и автомобилей
на топливных элементах.
Предшественники Г. Эртля
(три нобелевских лауреата)
•
Первую Нобелевскую премию за работы по химии
поверхности присудили в 1912 году французскому химику
Полю Сабатье за метод гидрогенизации органических
соединений в присутствии мелкодисперсных металлов —
катализаторов. Было показано, что главное здесь — адсорбция
молекулы водорода на поверхности металла, где она
диссоциирует на атомы.
В 1918 году Нобелевской премии был удостоен немецкий
химик Фриц Габер за каталитический процесс получения
аммиака из атмосферного азота и водорода (процесс Габера—
Боша).
•
В 1932 году Нобелевскую премию за открытия и исследования
в области химии поверхности получил американский химик
Ирвинг Ленгмюр, установивший, какие силы принимают
участие в адсорбции — и вывел основное уравнение изотермы
адсорбции (уравнение Ленгмюра).
Fritz Haber
Carl
Bosch
Этот процесс
журнал Nature
назвал самым
гениальным
открытием
ХХ века
Процесс Габера-Боша
Вычислительную геометрию
экономическая наука получает
благодаря потребностям
физики и химии поверхности
Экономисты всегда работали
только на поверхности
Один из первых программных пакетов
для пространственного анализа (1994 год)
Комплект методов системы CGAL
Что такое CGAL
•
•
•
•
•
Это аббревиатура от Computational GeometryAlgorithms Library
Создатели CGAL: Andreas Fabri (GeometryFactory), Pierre Alliez (INRIA), Efi
Fogel (Tel Aviv University)
Проект Открытый источник CGAL обеспечивает легкий доступ к
эффективным и надежным геометрическим алгоритмам в форме библиотеки
на языке C++, предлагает геометрические алгоритмы и структуры данных,
которые эффективны, лаконичны, легки для использования и интеграции в
существующее программное обеспечение.
Использование существующих стандартных библиотек повышает
производительность, поскольку позволяет разработчикам сосредоточиться на
прикладных аспектах.
В рамках CGAL разработан учебный курс, нацеленный на разработчиков
программного обеспечения с ориентацией на геометрию. Прошедшие курс
будут в состоянии выбирать и применять подходящие алгоритмы и структуры
данных, развиваемые CGAL в текущем и будущих проектах.
Общая структура учебного курса CGAL
• Первая часть «Полиэдральные поверхности» посвящена
структурам данных, использующим полуплоскости (halfedge) и
тому как изменять эти структуры соответственно конкретным
потребностям.
• Вторая часть «Алгоритмы для полиэдральных пространств»
включает темы: параметризация, выделение нерегулярностей
(mesh), упрощения, булевы операции, расчеты сечений.
• Третья часть «Размещения» содержит размещения API и
некоторые структуры данных, построенные на их основании: 3D
суммы Минковского, какие можно использовать для оценки
столкновений и касаний, 3D свертки, какие могут быть
применены для вычисленй видимых карт.
• Четвертая часть «Триангуляции» посвящена 2D и 3D
триангуляциям API, а также генераторам нерегулярностей (mesh)
основанныйх на преобразованиях Делоне.
Пользователи CGAL
(9 + 2) групп методов
пространственного анализа
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
первая – триангуляция по Делоне и диаграммы Вороного
вторая – контурный анализ
третья – пространственная автокорреляция
четвертая – методы построения нерегулярных сетей (TIN)
пятая – цифровое моделирование рельефа (ЦМР)
шестая – распознавание образов и, в частности, нейронные сети,
векторизация и линеаментный анализ
седьмая – методы теории графов (минимальные остовные деревья,
гамильтоновы циклы…)
восьмая – методы ТФКП (конформные отображения, дуальные
комплексные и гиперкомплексные числа …)
девятая – элементы гармонического анализа (преобразования Фурье,
ВКФ, фильтрация, вейвлет-преобразования…)
десятая – геометрическое программирование
одиннадцатая – шейдеринг
.
Значительная часть
этих методов развивается
в рамках вычислительной геометрии
Взаимосвязи
между группами
методов
1. Вороной-Делоне
2. Контурный анализ
3. Пространственная
автокорреляция
5. Цифровое моделирование
рельефа (ЦМР)
4 Построение
нерегулярных сетей (TIN).
8. Методы ТФКП
9. Гармонический анализ
6. Распознавание образов
7. Методы теории графов
11. Шейдеринг
10. Геометрическое
программирование
Что такое контурный анализ
• Контурный анализ – концепция рассмотрения
плоских контуров как замкнутых линий обхода
на плоскости функций комплексного
переменного.
• Этим линиям обхода можно ставить в
соответствие некоторые сигналы, к которым
применимы методы обработки сигналов.
• В частности, сигналы, соответствующие
контурам, могут быть подвергнуты фильтрации
или разложению в базисе ортогональных
функций
Из Форума в Интернете: «я читал эту книжку, правда, там такая
математика, что её можно сразу закрыть, проще самому придумать».
Треугольник и
связанный с ним сигнал
3
1
Обход контура
2
{3;-3-4i;4i}
Точка перехода
6 регионов юга
Западной Сибири:
• Первая аппроксимация (по
24-хугольнику)
•
• Вторая аппроксимация (по
2400 точкам контура)
• Третья аппроксимация (по
дорогам – по
многоугольнику, вершины
которого – пересечения
дорог с границей
территории)
Республика Алтай
(меридианная ориентация)
Республика
Алтай
Смещение
ГорноАлтайска
Средняя разница в км
24-х угольник
контур
дороги
западвосток
северюг
западвосток
северюг
западвосток
северюг
-13,1
+44,3
-12,7
+27,4
-5,0
+0,0
Алтайский край
(меридианная ориентация)
Средняя разница в км
Алтайский
край
Смещение
Барнаула
24-х угольник
контур
дороги
западвосток
северюг
западвосток
северюг
западвосток
северюг
+12,8
+5,3
+3,4
+3,3
+1,0
+3,1
Омская область
(широтная ориентация)
Средняя разница в км
Омская
область
Смещение
Омска
24-х угольник
контур
дороги
западвосток
север-юг
западвосток
север-юг
западвосток
север-юг
+0,7
-116,1
+1,5
-24,1
+25,7
-7,5
Томская область
(меридианная ориентация)
Средняя разница в км
Томская
область
Смещение
Томска
24-х угольник
контур
дороги
западвосток
северюг
западвосток
северюг
западвосток
северюг
+17,0
-24,7
+15,1
-49,1
+7,4
-29,2
Кемеровская область
(широтная ориентация)
Средняя разница в км
Кемеровская
область
Смещение
Кемерова
24-х угольник
контур
дороги
западвосток
северюг
западвосток
северюг
западвосток
северюг
-4,3
-4,7
-14,0
+9,0
+19,2
-1,5
Сводные результаты контурного
анализа субъектов Западной Сибири
Средняя разница в км
Регион
24-х угольник
контур
дороги
западвосток
север-юг
западвосток
север-юг
западвосток
север-юг
Республика
Алтай
-13,1
+44,3
-12,7
+27,4
-5,0
+0,0
Алтайский край
+12,8
-5,3
+3,4
-3,3
+1,0
+3,1
Новосибирская
область
+54,9
-4,7
+47,6
-0,4
+18,5
+0,0
Омская область
+0,7
-116,1
+1,5
-24,1
+25,7
-7,5
Томская область
+17,0
-24,7
+15,1
-49,1
+7,4
-29,2
Кемеровская
область
-4,3
-4,7
-14,0
+9,0
+19,2
-1,5
Новый показатель
«доля дорожного контура»
Алтайский край
Кемеровская область
Томская область
Алтайский край
73% Кемеровская область
68%
Новосибирская область
53%
Омская область
46%
Томская область
18%
Республика Алтай
1%
Доля дорожного
контура
Выводы из контурного анализа
регионов юга Западной Сибири
• Все столицы регионов Западной Сибири расположены
относительно пересечений дорог с границами регионов ближе к
географическим центрам, чем к ним же относительно контура
территории региона. Это естественно.
• Максимальное смещение
• из регионов широтной ориентации – у Омска (24,1 км
относительно контура и 7,5 км относительно дорог)
• из регионов меридианной ориентации – у Томска (15,1 км
относительно контура и 7,4 км относительно дорог)
• Удачнее всего расположены
• из регионов широтной ориентации – Новосибирск (0,4 км
относительно контура и 0 км относительно дорог)
• из регионов меридианной ориентации – Барнаул (3,4 км
относительно контура и 1 км относительно дорог)
Новосибирская область
(широтная ориентация)
Средняя разница в км
Новосибирская
область
Смещение
Новосибирска
24-х угольник
контур
дороги
западвосток
север-юг
западвосток
север-юг
западвосток
север-юг
+54,9
-4,7
+47,6
-0,4
+18,5
+0,0
Контур Новосибирской области и
соответствующий ему сигнал
Начало
обхода
контура
Расчет сделан по
24-хугольной
аппроксимации
Благодарю за внимание
Воронов Юрий Петрович
Консультационная фирма «Корпус»
[email protected]
8-383-3516600