Теория пластин Уравнения равновесия гибкой пластины Система разрешающих уравнений гибкой пластины в перемещениях и в форме Кармана Расчет пластины при произвольной ориентации внешних нагрузок Уравнения равновесия гибкой пластины Рассмотрим равновесие бесконечно малого элемента пластины (рис.1). Рис.1. Усилия и моменты, действующие на элемент гибкой пластины Уравнения равновесия гибкой пластины Проекция сил на ось x : S xy N x N x dy N x dx dy S xy dx S xy dy dx 0 x y N x S xy 0 x y Проекция сил на ось y : Проекция сил на ось z (рис. 2.): N y y S xy x (1) (2) 0 (3) Уравнения равновесия гибкой пластины Рис.2.13. Проекционные углы для усилий деформированного элемента гибкой пластины Уравнения равновесия гибкой пластины Проекция сил на ось z, пренебрегая слагаемыми выше второго порядка малости и сокращая dxdy, получим Qx Q y 2 w N x w Nx 2 x y x x x 2 w N y w Ny 2 y y y 2 w S xy w S xy xy y x (4) 2 w S xy w S xy q 0 xy х у или с учётом (2) и (3) Qx Q y 2w 2w 2w N x 2 N y 2 2S xy q 0 x y xy x y (5) Уравнения равновесия гибкой пластины Уравнения равновесия для моментов относительно осей x,y полностью совпадают с уравнениями тонкой пластины: M x M xy Qx x y M y y M xy x (6) Qy используя эти соотношения, исключим перерезывающие усилия из уравнения(5) 2 M xy 2 M y 2M x 2 xy x 2 y 2 (7) 2w 2w 2w N x 2 S xy N y 2 q xy x y Соотношения (2), (3) и (7) образуют систему уравнений равновесия пластины. Система разрешающих уравнений гибкой пластины в перемещениях и в форме Кармана Для получения разрешающих соотношений в перемещениях достаточно подставить в систему (2), (3) и (7) соответствующие выражения для внутренних силовых факторов Mx, My, Mxy, Nx, Ny, Sxy. Используем функцию напряжений Ф(x,y), определив её как 2 Nx 2 y , 2 Ny 2 x , S xy 2 xy (8) при этом уравнения (2) и (3) удовлетворяются тождественно, а уравнение (7) преобразуется к виду 2w 4w 2w 11 4 2 2 22 4 x x y y где 2 2 w 2 2 w 2 2 w q 2 2 2 2 2 x y x y y x x y (9) 212 2 66 (10) Система разрешающих уравнений гибкой пластины в перемещениях и в форме Кармана Таким образом, получили одно уравнение с двумя неизвестными функциями w,Ф. Дополнительное уравнение можно найти из условия совместности деформаций на серединной поверхности 2 0 2 0 2 x0 y xy 2 w 2w 2w 2 0 xy xy y 2 x 2 x y 2 2 (11) С другой стороны, тензор мембранных деформаций связан с тензором мембранных напряжений соотношениями (12) где C٭ij – компоненты тензора податливости. Система разрешающих уравнений гибкой пластины в перемещениях и в форме Кармана Учитывая обозначения (13) через функцию напряжения Ф (14) Подставим полученные соотношения в условие совместности деформаций (15) Система разрешающих уравнений гибкой пластины в перемещениях и в форме Кармана Сопоставляя (11) и (15), получим уравнение совместности деформаций относительно функции напряжений и функции прогибов (16) Таким образом, система двух нелинейных уравнений в частных производных (9) и (16) является системой разрешающих уравнений гибкой пластины относительно функции напряжений Ф и функции прогиба w (уравнение Кармана). Расчет пластины при произвольной ориентации внешних нагрузок Пусть на пластину действуют произвольным образом ориентированные нагрузки q , p – составляющие соответственно нормальная и действующая в плоскости пластины. Построение теории можно провести аналогично построению теории гибких пластин, но, учитывая малый прогиб, геометрические соотношения – соотношения Коши. В этом случае система уравнений Кармана распадается на два независимых линейных уравнения, в которых исключены нелинейные члены (17) из которых первое - техническая теория изгиба, второе - плоская задача теории упругости.