Гармонический предмет

Глава 3. Формирование
изображения как
преобразование сигналов
В теории систем преобразование сигнала
есть описание связи входа с выходом,
представляемое часто просто в виде
«чёрного ящика».
Льюис Фрэнкс
Моделирование формирования оптического изображения
кафедра ПиКО
3.3. Частотное описание
преобразования сигналов
Моделирование формирования оптического изображения
кафедра ПиКО
Гармонический предмет
При частотном описании пространственных сигналов предмет
представляется в виде совокупности элементарных
периодических гармонических предметов разной частоты и
амплитуды.
Гармонический предмет – это сигнал, интенсивность которого
описывается гармонической функцией.
Обобщённая интенсивность :
I  x, y   a  e 2i  x cos   y sin   b 





где a – амплитуда предмета
 – угол предмета относительно
оси x
b – начальный сдвиг
  1 T пространственная частота,
Т – период
(3.25)
Изображение
гармонического предмета
Обобщенная интенсивность гармонического
предмета, описанная через комплексную амлитуду:
2i x x  y y 
(3.26)
I x, y   u  e
где  x – частота в направлении x
 y – частота в направлении y
u  a  ei o – комплексная амплитуда гармонического предмета
 o  2b




Изображение гармонического предмета:
(подставим интенсивность в выражение 3.7)


 
  
I   x , y 
 
 y 
  

2i  x x  y

Ax
A y 

ue


 h  x   x , y   y d x d y
(3.27)
Изображение в канонических
частотных координатах
Частотные канонические координаты:
sx  x 

s y  y 
Ax

(3.28)
Ay
Тогда:

 
   u  e 2is 
I   x , y 
x
x
 s y y 


 h  x   x , y   y d x d y
(3.29)
 
После преобразований:
 
   u  e 2is     s      h x , y d x d y 
     
2i s    s   
 2i s   s  
ue
   h x , y   e
d x d y 
 
2i s    s   
ue
 Ds x , s y 

I   x , y 
x
x
x
y
y
x
x
y
y
x
x
y
y
y
x
x
y
y
(3.30)
Оптическая передаточная
функция
Преобразование Фурье от ФРТ называется
оптической передаточной функцией
характеризует передачу комплексной амплитуды гармонического
предмета изображающим прибором


u  u  D s x , s y

Изображение гармонического предмета:
2i s x x  s y x 
  



I  x , y  u  e

(3.31)
(3.32)
гармонический сигнал является собственной функцией линейного
изопланатического преобразования
 (изображение гармонического предмета, сформированное любой
оптической системой, есть гармонический предмет с той же частотой)

действие изображающей системы заключается в изменении
комплексной амплитуды гармонического предмета в зависимости
от его частоты
Оптическая передаточная
функция
ОПФ является комплексной функцией и может выражаться
через две вещественные функции:




 

модуляционную передаточную функцию (МПФ) M s x , s y  D s x , s y
фазовую передаточную функцию (ФПФ) Φ s x , s y  arg D s x , s y




D sx , s y  M sx , s y  e
iΦ s x , s y 




(3.33)
Тогда (3.31) можно разделить на два выражения


описывает передачу комплексной амплитуды
описывает передачу фазы

a  a  M s x , s y

o  o  Φs x , s y 
(3.34)
Представим предмет в виде:


постоянной составляющей нулевой частоты
переменной составляющей основной частоты гармонического предмета:


I  x , y  ao  a  e
2i  x s x  y s y  o
(3.35)
Передача периодического
гармонического сигнала
а) Входной сигнал (предмет)
ao
Imax
a
I
Imin
b
I'
I'min
a'o
I'max
a'
б) Выходной сигнал (изображение)
b'
Контраст предмета
Контраст (модуляция) характеризует видность
предмета с амплитудой a на фоне a0 :
a I max  I min
k

ao I max  I min



(3.36)
контраст находится в диапазоне 0  k  1
единичное значение контраста, получается, когда I min  0
при нулевом значении контраста объект не отличим от фона
I min  I max
Контраст изображения
Изображение гармонического сигнала:


I   x , y  ao  a  e
2i  x s x  y s y  o
(3.37)
Зная МПФ, определим контраст изображения:
k 



M sx , s y
a a  M s x , s y

k
ao
ao  M 0,0
M 0,0

(3.38)
Исходя из условия нормирования (3.14) M 0,0  1, тогда:
(3.39)
k
M sx , s y 
k



МПФ характеризует передачу контраста в зависимости от частоты
предмета (частотно-контрастная характеристика (ЧКХ))
Спектр частот предмета и
изображения
Частотное представление произвольного предмета :


I  x , y 

 
 


u sx , s y  e
2i s x x  s y y 

dsx ds y  F 1 u s x , s y

(3.40)
 
описывает предмет как бесконечную сумму элементарных гармонических
предметов с различными пространственными частотами и различными
комплексными амплитудами
Функция обобщённой интенсивности предмета представляет
собой обратное преобразование Фурье спектра его частот

где

 
~
I sx , s y  u sx , s y

спектр частот предмета
Аналогично связаны функция обобщённой интенсивности
изображения и спектр частот изображения
Передача структуры предмета
Любой предмет можно представить в виде набора элементарных
гармонических предметов, тогда изображение – это совокупность
изображений элементарных гармонических предметов
Передача структуры предмета в терминах пространственных частот:
(3.41)
~
~

 
 
I  sx , sy  I s x , s y  D s x , s y



модель формирования изображения в частотном координатном пространстве
соотношение фильтрования

изображающий прибор как бы фильтрует различные пространственные частоты предмета
Изображающий оператор упрощается и является мультипликативным
Ядро преобразования составляет ОПФ, которая описывает влияние
изображающего прибора на комплексную амплитуду частотных
составляющих предмета


роль входного сигнала играет спектр обобщённой интенсивности предмета
роль выходного сигнала – спектр обобщённой интенсивности изображения
Формирование изображения в
реальном пространстве
Можно перейти в реальное координатное
пространство:


 
 

 
  
I   x , y  F 1 F I  x , y  D s x ,s y  F 1 F I  x , y  F h  x , y

(3.42)

Таким образом, с использованием частотного представления
предмета для моделирования формирования изображения
получено выражение аналогичное выражению (2.83), выведенному
на основе дифракционной теории
3.4. Оптическая передаточная
функция и её свойства
Моделирование формирования оптического изображения
кафедра ПиКО
Оптическая передаточная
функция
Оптическая передаточная функция описывает передачу
оптической системой гармонических сигналов различной
частоты
Связь ОПФ с ФРТ:



D s x ,s y  F h  x , y

(3.43)
Интеграл от ОПФ по всей частотной плоскости равен значению
ФРТ в начале координат

(из свойств преобразования Фурье):
 
  Ds x , s y dsx ds y  h0,0
(3.44)
 
МПФ – чётная, ФПФ – нечётная:
M   ,   M  ,  Φ  ,   Φ , 

можно анализировать МПФ и ФПФ только для положительных частот
(3.45)
Связь ОПФ со зрачковой
функцией
Связь сечения ОПФ с ФРЛ:

для квазиодномерных объектов достаточно рассмотреть сечение
ОПФ совпадающее с углом θ гармонического предмета
Ds x   F S  x 
(3.46)
Связь ОПФ со зрачковой функцией


используя свойства преобразования Фурье
D s x ,s y




 
 
 


   

2

1
 F  F f  x ,  y   F  F 1 f  x ,  y  F 1 f  x ,  y



 FF 1 f  x ,  y  FF 1 f *   x ,  y 



 f  x ,  y  f *   x ,  y
  
*
(3.47)
Связь ОПФ со зрачковой
функцией
ОПФ – автокорреляция зрачковой функции :

D sx , s y


 

 

1

f  x ,  y  f  x  s x ,  y  s y d x d y


D  
(3.48)
 
где D 
   x ,  y d x d y – нормировочный множитель.
 
ОПФ, её модуль и аргумент имеют начальные
значения:
D0,   1
Φ0,   0
M 0,   1
(3.49)
МПФ для апертурной диафрагмы
различной формы
Для оптической системы с апертурной диафрагмой в
форме квадрата:

M sx , s y


 s x   s y 
 tr    tr  
2  2
(3.50)
где:
x  [1,1];
 0,

tr( x)  1  x, x  [1,0];
1  x, x  [0,1].

Для круглой апертурной диафрагмы и апертурной
диафрагмы с экранированием МПФ можно
вычислить численно
Сечения МПФ для апертурной
диафрагмы различной формы
Апертурная диафрагма



k
в форме круга (––––)
в форме кольца (– – –)
в форме квадрата (- - - -)
1
0.8
0.6
0.4



0.2
на частотах отличных от 0
значение МПФ всегда меньше 1
при увеличении частоты МПФ
0.5
1
1.5
стремится к 0
предельная каноническая частота, передаваемая о.с., равна 2 к.е.
 гармонические предметы с частотами выше 2 будут передаваться оптической
системой с нулевым контрастом

Скорость убывания МПФ можно связать с характером ФРТ:
 чем более плавно изменяется ФРТ, тем быстрее убывает МПФ
 МПФ убывает пропорционально sn+1, где n – порядок той производной ФРТ,
которая ещё существует
2
s
Сечение МПФ для различного
пропускания о.с.
Пропускание по зрачку



равномерное (––––)
радиальным увеличением (– – –)
радиальным уменьшением (- - - -)
k

    1  e
 2 2
    e
 2 2

2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0.5
1
1.5
2
s
Свойства МПФ
Влияние аберраций на МПФ



При наличии небольших аберраций МПФ оптической системы
становится меньше, чем МПФ безаберрационной системы на всех
частотах
При увеличении аберраций МПФ существенно отличается от
безаберрационной МПФ особенно на средних частотах, может
иметь сложную форму, но никогда не превышает
безаберрационную кривую.
Из-за аберраций может существенно уменьшаться предельная
частота, которую оптическая система передает с контрастом
больше 0.
МПФ при наличии расфокусировки
Оптическая система



без аберраций (––––)
с расфокусировкой при c20  0.1 (– – –)
с расфокусировкой при c20  0.25 (- - - -)
k
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0.5
1
1.5
2
s
МПС при наличии сферической
аберрации
Оптическая система



без аберраций (––––)
со сферической аберрацией при c40  0.1 (– – –)
со сферической аберрацией при c40  0.25(- - - -)
k
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0.5
1
1.5
2
s
Критерий Фуко
Критерий Фуко – разрешающая способность
оптической системы определяется как максимальная
пространственная частота гармонического предмета,
в изображении которого еще различима модуляция с
заданным контрастом

например, разрешающая способность визуальных приборов
обычно оценивается при контрасте 0.2.