Вид 9-точечной схемы

Исследование проблемы
неинвариантности относительно
поворота при решении уравнения
Пуассона на декартовой сетке.
Выполнили: Агафонцев А.А.
Добролюбова Д.В.
Руководитель: н.с. ИВМиМГ СО РАН, Киреев С.Е.
Цель работы

Наглядно показать разницу в аппроксимации
лапласиана двумя разностными схемами
одного порядка аппроксимации – 5-точечной
и 9-точечной.
Метод частиц в ячейках (PIC)
u n1  u n    u n1
x n1  x n    x n1
2. Частица → сетка: вычисление распределения плотности на сетке
1. Лагранжев этап: осуществление сдвига частиц
3. Эйлеров этап: вычисление гравитационного потенциала (решение
трехмерного уравнения Пуассона на сетке): ρ → φ
4. Вычисление сил на сетке:
F
F
Переход на Лагранжев этап.
Исходная задача:
 
 

 4
2
2
x
y
2
2
5-точечная схема:
9-точечная схема:
коэффициенты:
коэффициенты:
4
10
3
1
2
3
1
6
Вид 5-точечной схемы:
(
 in1, j  2 in, j   in1, j
2
h
Вид 9-точечной схемы:

 in1, j  2 in, j   in1, j
h
2
)  i , j
1
10 n
2
n
n
n
n
(



(







i
,
j
i

1
,
j
i

1
,
j
i
,
j

1
i
, j 1 )
2
h
3
3
1
 ( in1, j 1   in1, j 1   in1, j 1   in1, j 1 ))   i , j
6

Сделали задачу нестационарной добавив производную по времени,
- получили уравнение диффузии (теплопроводности).
Нестационарная однородная задача:

 2
 2


0
2
2
t
x
y
Для нестационарной задачи схемы примут вид:
5-точечная схема:
 in,j1   in, j

 (
 in1, j  2 in, j   in1, j
h
2

 in1, j  2 in, j   in1, j
h
2
)0
9-точечная схема:
 in,j1   in, j


1
10 n
2
  2 (  i , j  ( in1, j   in1, j   in, j 1   in, j 1 )
h
3
3
1
( in1, j 1   in1, j 1   in1, j 1   in1, j 1 ))  0
6
Распространение с течением
времени:
Разница результатов работы
программы для 5 и 9-точечной схем:
(Спустя 40000 итераций)
Фурье-анализ для разности решений для двух схем:
1,60E-03
1,40E-03
1,20E-03
1,00E-03
8,00E-04
6,00E-04
4,00E-04
2,00E-04
60
57
54
51
48
45
42
39
36
33
30
27
24
21
18
15
12
9
6
3
0
0,00E+00
Фурье-анализ решений для двух схем:
1,6000000E+02
1,6000000E+02
1,4000000E+02
1,4000000E+02
1,2000000E+02
1,2000000E+02
1,0000000E+02
1,0000000E+02
5,0000000E-02
4,5000000E-02
4,0000000E-02
3,5000000E-02
3,0000000E-02
2,5000000E-02
sub
2,0000000E-02
1,5000000E-02
1,0000000E-02
5,0000000E-03
60
56
52
48
44
40
36
32
28
24
20
16
8
12
-5,0000000E-03
4
0
0,0000000E+00
60
56
52
48
44
40
36
32
28
24
20
16
0
60
56
52
48
44
40
36
32
28
0,0000000E+00
24
0,0000000E+00
20
2,0000000E+01
16
2,0000000E+01
8
4,0000000E+01
12
4,0000000E+01
4
6,0000000E+01
0
6,0000000E+01
9-point
12
8,0000000E+01
8
5-point
4
8,0000000E+01
Распараллеливание:
Использовали OpenMP
250
10
208,090
108,478
100
46,264
50
23,841
6
efficiency
150
4,498
4
1,918
2
1,000
1
2
4
1
8
2
4
Speedup
Efficiency, %
100
95,91346
95
1
8
threads
2
threads
5-point sheme:
Time
100
85
threads
Threads
105
109,103
90
0
0
112,447
110
8
speedup
time, s
200
115
8,728
1
2
4
8
208,090
108,478
46,264
23,841
1,000
1,918
4,498
8,728
100
95,91345711
112,4470431
109,1030158
3
4
Распараллеливание:
250
10
206,706
100
150
117,040
100
45,859
50
24,048
6
efficiency
8
speedup
time, s
200
120
8,596
4,507
4
2
1,000
1,766
1
2
4
8
2
3
4
Time
Speedup
Efficiency, %
88,30571
80
60
40
1
threads
9-point sheme:
Threads
107,4445
0
1
threads
112,6856
20
0
0
100
1
2
4
8
206,706
117,040
45,859
24,048
1,000
1,766
4,507
8,596
100
88,30570745
112,6856233
107,444486
2
3
threads
4
Результаты:
• Реализована параллельная программа для
решения 2D уравнения диффузии
• Выполнен Фурье-анализ решений для двух
разностных схем, а также их разности.
Вывод:
5-точечная схема оказывает большее влияние
на неинвариантность решения
Спасибо за внимание