Геометрическая оптика Основы оптики кафедра прикладной и компьютерной оптики

Геометрическая оптика
Основы оптики
кафедра
прикладной и компьютерной оптики
2
Приближение коротких длин волн.
Уравнение эйконала
Геометрическая оптика – это раздел оптики, в котором
считается, что длина волны пренебрежимо мала  0 0
Для функции, заданной в экспоненциальной форме
U


 e
U
x
x
x
    2  
 2U
 
 2
U
U
 U 
 
2
2
2 
xx
x
x
 x 
  x 
2
Таким образом:

2
2
2

U

U

U
2
2


2U 



U





2
2
2
x
y
z

U  e  r 
:
3
Приближение коротких длин волн.
Уравнение эйконала
Комплексная амплитуда:
U  e   e r ik0 E r 
Тогда:


U  r   ik0 E r 2  2  r   ik0 E r   k02n 2U  0
Отсюда:
  ik0E 2  2  ik02 E  k02n2  0
В итоге получается уравнение:
 2  2ik0E  k02 E 2  2  ik02 E  k02n2  0
или:
 
2
 

 k 02 E    2  k 02 n 2  i k 0  2 E  2k 0 E  0
2
4
Приближение коротких длин волн.
Уравнение эйконала
Вещественна часть:
 2  k 02 E 2   2  k 02 n 2  0
или:
E 2  n 2 

где k 0 
или:

1
2
2







2
k0

2
0

2

E   n 2  02  2   2
4
2

5
Приближение коротких длин волн.
Уравнение эйконала
С учетом приближения коротких длин волн  0 0 получим
уравнение эйконала:
E 2  n 2
или:
E 2    E 
2
2
2
 E   E 
 
  
  n 2  x, y , z 
 x   y    z 

геометрическая оптика применима только для коротких длин волн –
чем короче длина волны, тем точнее приближение геометрической оптики
6
Пример из тестов
Положения геометрической оптики наиболее
справедливы:





для видимого интервала длин волн
для рентгеновского и гамма излучения
для ИК излучения
для микроволнового излучения
для длин волн, меньших размеров неоднородности поля
Уравнение эйконала не имеет смысла:





если показатель преломления среды постоянный
если среда однородна
если лучи имеют криволинейные траектории
при описании светового поля в области фокуса
при описании светового поля непараллельных пучков лучей
7
Волновой фронт и лучи
Луч – это прямая или кривая линия, вдоль которой
распространяется энергия светового поля
Волновой фронт – это поверхность равной фазы или
равного эйконала:
E r   const
Основные свойства волновых фронтов:


волновые фронты не пересекаются между собой
через каждую точку пространства проходит волновой фронт, и причем
только один
8
Волновой фронт и лучи
Луч – это нормаль к волновому фронту

направление луча совпадает с направлением распространения волнового
фронта и определяется оптическим вектором в каждой точке
пространства
луч
Уравнение волнового фронта:
q  E
q
В однородной среде n  const 
направление луча остается постоянным:
q  const


E3
E1
E2
в однородной среде лучи являются прямыми линиями
на границе раздела двух сред луч преломляется в соответствии с законом
преломления
9
Оптический луч
в неоднородной среде
В неоднородной среде луч искривляется в сторону
градиента показателя преломления n

кривизна луча пропорциональна n
q
n
луч
10
Оптическая длина луча в
однородной среде
Оптическая длина луча в однородной среде – это
произведение геометрической длины пути луча на
показатель преломления среды, в которой
распространяется свет:
P1P2   nl
P2
P1
l
11
Оптическая длина луча в
неоднородной среде
В неоднородной среде nx, y, z   const 
Оптическая длина луча:
P2
P1P2    n  dS
P1

где dS – бесконечно малые отрезки пути луча, в пределах каждого из
которых показатель преломления можно считать постоянным
dS
P1
P2
12
Оптическая длина луча в
нескольких средах
Оптическая длина луча – это сумма оптических длин луча
в каждой среде:
P1P2    lk nk

если среды неоднородные, то можно считать интеграл по ломаной линии:
P2
P1P2    n  dS
P1
n0 n1
P1
l0
nk
l1
lk
P2
13
Конгруэнция лучей
Пучок лучей – это множество линий, пронизывающих
пространство
Конгруэнция – это такая совокупность линий в
пространстве, для которой выполняется условие, что
через любую точку пространства можно провести только
одну линию из этой системы
14
Конгруэнция лучей
Конгруэнция определяется уравнением:
rot qr   0
или

  qr   0
где q r  – множество лучей в пространстве
Нормальная конгруэнция – это конгруэнция, все линии
которой пересекаются некоторой поверхностью под
прямым углом
Пучок лучей – это множество лучей, которое
представляет собой нормальную конгруэнцию
15
Пример из тестов
Параллельный пучок лучей:





распространяется строго вдоль оптической оси
перпендикулярно оптической оси
состоит из лучей, которые параллельны друг другу
состоит из параллельных друг другу поверхностей постоянного эйконала
имеет волновой фронт, параллельный оптической оси
Волновой фронт:





поверхность, ортогональная всем лучам пучка
сферическая поверхность, распространяющаяся от источника света
поверхность, все точки которой расположены на одинаковом расстоянии
от источника света
плоскость, перпендикулярная оптической оси
поверхность равных значений комплексной амплитуды
16
Закон независимого
распространения лучей
Если через точку пространства проходит несколько
лучей, то каждый луч ведет себя так, как если бы
других лучей не было

справедливо для линейной оптики, где показатель преломления не
зависит от амплитуды и интенсивности проходящего света
17
Закон обратимости
Траектория и длина хода лучей не зависят от
направления распространения

луч в обратном ходе будет иметь такую же траекторию, как и в прямом
18
Закон прямолинейного
распространения
В однородной среде лучи – прямые линии
19
Закон преломления и отражения
Закон отражения и преломления подробно
рассматривается в Главе 3

в рамках геометрической оптики формулировки законов преломления и
отражения сохраняются
20
Принцип таутохронизма
Оптическая длина любого луча между двумя
волновыми фронтами одна и та же:
P1P2   E2  E1  const

волновые фронты оптически параллельны друг другу
E2
E1
P1
P2
21
Принцип Ферма
Оптическая длина луча между двумя точками
минимальна по сравнению со всеми другими
линиями, соединяющими эти две точки:
P1P2   min
Оптическая длина луча между двумя точками
является стационарной по отношению к смещению
этой линии
P1
луч
P2
22
Принцип Ферма
Оптическая длина луча поделенная на скорость света –
это получим время, необходимое на преодоление
расстояния между двумя точками:
P1P2   t
c

P1P2   ct
Луч, соединяющий две точки, идет по такому пути,
который требует наименьшего времени (по самому
быстрому пути)
23
Закон Малюса-Дюпена
Нормальная конгруэнция сохраняет свойства
нормальной конгруэнции в процессе прохождения
через различные среды
24
Инварианты
Инварианты – это соотношения, которые сохраняют свой
вид при изменении каких-либо условий, например, при
прохождении света через различные среды или системы
25
Интегральный инвариант Лагранжа
Криволинейный интеграл, взятый между двумя
любыми точками, не зависит от пути интегрирования:
P2
 qdr 
P1
q
P1
P2
26
Дифференциальный инвариант
Лагранжа
Уравнения связывают параметры луча:

определяется из длины оптического вектора:
X 2  Y 2  Z 2  n2

определяется из условия ортогональности:
r  q   0
или
xX  yY  zZ  0
 где X, Y, Z – угловые координаты луча (элементы оптического вектора
x, y, z – линейные координаты луча (элементы радиус-вектора r)
q)
27
Дифференциальный инвариант
Лагранжа
Величина I e сохраняет свое значение для данного
луча при распространении пучка лучей через любую
совокупность оптических сред:
 r q  r  q
Ie 



U V V U

где U и V – это пара любых из 6-ти параметров луча
28
Геометрический фактор
лучевой трубки
Лучевая (световая) трубка – окрестность реального
луча, в пределах которой световой поток постоянный
Геометрический фактор лучевой трубки:
G  n  dS1  cos  1 d1  n  dS2  cos  2  d2 
2

2
n 2  dS1  dS2  cos 1  cos  2
c2
где dS1, dS 2 – бесконечно малые площадки, находящиеся на некотором
расстоянии друг от друга; 1,  2 – углы между нормалями к площадкам и
направлением луча
dS1
d1
1
N1
q
d 2
2
N2
dS 2
29
Инвариант Штраубеля
Геометрический фактор остается инвариантным при
распространении лучевой трубки через любую
последовательность различных сред

показывает неизменность лучистого потока, выражает закон сохранения
энергии
Из определения яркости:
d 2   LR  G

где LR 
L
– приведенная яркость
2
n
30
Гомоцентрические пучки лучей
Гомоцентрические пучки лучей имеют общий центр, то
есть все лучи выходят или сходятся в одной точке
Фокус пучка – это точка, в которой все лучи сходятся или
из которой они все выходят


волновой фронт гомоцентрического пучка сферический
в частном случае волновой фронт плоский
О
расходящийся пучок
О
сходящийся пучок
параллельный пучок
31
Действительный и мнимый фокус
Действительный фокус – это точка, в которой
пересекаются лучи пучка
Мнимый фокус – это точка, в которой пересекаются
продолжения лучей пучка
действительный фокус
мнимый фокус
32
Негомоцентрические пучки
Негомоцентрический пучок – это пучок, не имеющий
общего фокуса

волновой фронт не сферической и не плоской формы
Локальный фокус – это точка, в которой пересекается
часть лучей пучка
Каустика – поверхность, образованная совокупностью
локальных фокусов
локальный фокус
33
Астигматический пучок
Бесконечно узкий астигматический пучок имеет два
локальных фокуса:


сагиттальный фокус Fs
меридиональный фокус Fm
Широкий астигматический пучок имеет две плоскости
симметрии – меридиональную и сагиттальную


каустика – вертикальная и горизонтальная полоски
волновой фронт имеет торическую форму
меридиональная плоскость
меридиональная каустика
Fs
сагиттальная каустика
сагиттальная плоскость
Fm
34
Астигматический пучок
Продольный астигматизм – расстояние между
сагиттальным и меридиональным фокусами:
 Fs , Fm 


если  Fs , Fm   0 – пучок гомоцентрический
совокупность лучей астигматического пучка называют конусом Штурма
35
Пример из тестов
Мнимый фокус пучка:





образован пересечением продолжений лучей
соответствует мнимой части комплексной амплитуды
расположен в мнимой части комплексной плоскости
является изображением мнимого источника
имеет мнимые значения координат
Горизонтальные линии четко изображаются
астигматическим пучком:





если плоскость изображения совпадает с меридиональным фокусом
если изображение слегка расфокусировано
если плоскость изображения совпадает с сагиттальным фокусом
если изображение проектируется на сферический экран
если плоскость изображения не перпендикулярна оптической оси
36
Перенос поля в приближении
геометрической оптики
В приближении геометрической оптики перенос поля – это
перенос комплексной амплитуды из точки в точку
Комплексная амплитуда поля в точках P1 и P2 :
U P1   a P1   eik 0 E  P1 
U P2   a P2   eik 0 E  P2 

U ( P1 )
P1
где а – вещественная амплитуда,
P1 , P2 – точки, находящиеся в различных средах
Уравнение переноса эйконала:
E2  E1  P1P2 
U ( P2 )
P2
37
Перенос поля в приближении
геометрической оптики
Энергия распространяется вдоль лучей, если нет потерь,
то поток энергии через площадку dS1 равен потоку энергии
через площадку dS 2:
a P1   dS1  a P2   dS 2
2
2
U ( P1 )
U ( P2 )
dS 2
dS1
С учетом коэффициента пропускания по энергии  P1P2 :
 P1P2   a 2 P1   dS1  n1  a 2 P2   dS 2  n2
38
Перенос поля в приближении
геометрической оптики
Уравнение переноса вещественной амплитуды:
a P2   a P1  
n1dS1
  P1P2 
n2 dS2
Уравнение переноса комплексной амплитуды:
U P2   U P1 
n1dS1
  P1P2   eik 0 P1P2 
n2 dS2
Функция комплексного пропускания среды вдоль луча:
n1dS1
f P1P2  
  P1P2   eik 0 P1 P2 
n2 dS2

в рамках геометрической оптики происходит поточечный перенос поля, то
есть каждый луч переносит энергию независимо от других лучей
39
Пределы применимости
геометрической оптики
Геометрическая оптика не описывает распределение
светового поля:


вблизи предмета и изображения в оптических системах, то есть там, где
возможна тонкая структура неоднородностей
вблизи фокусов пучков
40
Пример из тестов
Геометрическая оптика неприменима:





там, где лучи пересекают поверхность волнового фронта
там, где лучи искривляются из-за переменного показателя преломления
в области фокусов пучков
на большом расстоянии от поверхности изображения
на таких расстояниях от оптической системы, которые сопоставимы с ее
поперечными размерами
Перенос светового поля в рамках геометрической оптики
производится:





поточечно
вдоль всех лучей пучка
вдоль прямых линий
в зависимости от показателя преломления либо с усилением, либо с
ослаблением
вдоль поверхности постоянного эйконала