t 1

Кинематика материальной точки
s
Пусть за интервал времени от t1
2 l
до t2 материальная точка
1

переместилась из положения 1 в
r
положение 2.

r2
r1
О – начало отсчёта.


r1и r–2 радиусы-векторы точки
в моменты времени t1 и t2
O
соответственно.
l – траектория материальной точки.
S – путь, пройденный материальной точкой за интервал
времени от t1 до t2.
r  r2 –r1перемещение материальной точки за интервал
времени от t1 до t2.


v1
Линейная скорость материальной точки.

r

r1
O
Средняя скорость материальной
точки в интервале времени от t1 до


t2:
 r (t2 )  r (t1) r
vср 

t t
t
2 1




r  dr
r2
v

lim
Мгновенная скорость:
t 0 t
dt
Среднее ускорение материальной точки в
интервале времени от t1 до t2:
v ( t 2 )  v ( t1 ) v
aср 

t2  t2
t
v dv
Мгновенное ускорение: a  lim

t 0 t
dt

v2
Средняя скорость прохождения отрезка пути.
vср  S
t
Средний путевой скоростью движения точки называется
скалярная величина равная отношению пути, пройденного
точкой за интервал времени t к его продолжительности.
Пример:
A
vср 
v2
v1
S
B
2S
S
v

1

S
v2




v1 v 2
v1  v 2
Векторный способ описания
движения

r  r (t )
dr
v 
dt
2
dv
d
r
Ускорение материальной точки:
a

dt
dt
Скорость материальной точки в момент времени t:
Скорость материальной точки:
t
v ( t )  v0   a ( t ) dt ,
0

где 0– скорость материальной точки в момент времени t=0.
Радиус-вектор материальной точки в момент времени t:
t
r ( t )  r0   v ( t ) dt
0
Перемещение материальной точки за интервал времени
t
от 0 до t:
r   v ( t ) dt
0
Описание движения материальной точки в
декартовой системе координат
I.
Z
z
A
y
0
x
X
Y
x=x(t)
y=y(t)
z=z(t)
II. Скорость материальной точки
Проекции вектора скорости на оси координат:
dx
dy
dz
vx 
; vy 
; vz 
dt
dt
dt
v  v x2  v y2  v z2
Модуль вектора скорости:
Косинусы углов, которые вектор скорости
составляет с осями Ox, Oy, Oz:
vx
Cos   ;
v
Cos  
vy
v
;
vz
Cos  
v
III. Ускорение материальной точки
Проекция вектора ускорения на оси координат:
dv x d 2 x
ax 
 2;
dt
dt
d 2y
ay 
 2;
dt
dt
dv y
Модуль вектора ускорения:
dv z d 2 z
az 
 2
dt
dt

a  a x2  a y2  a z2
Косинусы углов, которые вектор ускорения
составляет с осями Ox, Oy, Oz:
ay
a
x
Cos   ; Cos    ; Cos  az
a
a
a
IV. Перемещение материальной точки
за интервал времени от t1 до t2
Проекция вектора перемещения на оси координат:
rx  x2  x1
ry  y2  y1
rz  z2  z1
Модуль вектора перемещения:

r  rx2  ry2  rz2
Косинусы углов, которые вектор перемещения
составляет с осями Ox, Oy, Oz:
ry

r
x
Cos   ; Cos    ; Cos  rz
r
r
r
Траекторный способ описания движения
Дуговая координата: l=l(t)

Скорость материальной точки:
l

n
dl
v
  v 
dt
Полное ускорение материальной точки:

O
v
dv
v  d d v
1
2
a
 

  v 
n
dt
dt
dt
R кр




v0
a
an
a
an
a  a2  an2
Если v , a  v
Если v , a  v

g 

an
a
Радиус кривизны траектории
B
RB
A
RA
Радиус окружности, аппроксимирующий траекторию
в данной точке
Выразим нормальное ускорение материальной точки через
радиус кривизны её траектории:
d
d dl
2 d
an  v 
 v  
 v 
dt
dl dt
dl

1

1
dl
d

2

n
Rкр
d
O
Rкр


d

1 

1
d 
n 
n
dl R кр
R кр
1
an  v 
n
R кр
2

Движение с постоянным ускорением a  const
.
Зависимость скорости материальной точки от времени:
v ( t )  v0  a  t
v0 - скорость материальной точки в момент времени t=0.
Зависимость радиуса-вектора материальной точки от
времени:
at 2
r ( t )  r0  v0t 
2

r0 - радиус-вектор материальной точки в момент времени
t=0.
Перемещение материальной точки за интервал
времени от 0 до t:2
at
r ( t )  v0t 
2
Движение с постоянным ускорением
Формула для разности квадратов скоростей
v0
O
x0

a
v
x
X
ax  t 2
x  x 0  v0 x  t 
v x  v0 x  a x  t
2
Приращение координаты материальной точки за интервал
времени от 0 до t:
v x2  v02x
x  x  x0 
2a x
Проекция на ось Ох перемещения материальной точки за
2
2
интервал времени от 0 до t:
v x  v0 x
 r  x  x 
2a x
Материальная точка движется вдоль оси Ох.
)
По графику зависимости  x (tвычислим:
v x , м/c
3
2
v ( t ')
1
t
t1
0
1
1
t '2
3
1). Путь, пройденный
материальной точкой за
интервал времени от t1 до t2:
S  2  0,5  2,5 м
2). Приращение координаты
материальной точки за
интервал времени от t1 до t2:
x2  x1  2  0,5 1,5 м
t2 3). Проекцию перемещения
4 t, c материальной точки за
интервал времени от t1 до t2:


 r   2  0,5 1,5 м



x
По графику зависимости x(t) вычислим
x
vx ( t )
Касательная
x2
x  x2  x1

x1
t  t2  t1
t1
x
v x ( t ') 
t
t2
t
Материальная точка движется вдоль оси Ох.
По графику зависимости x(t)
вычислим vср
X
x2
Направление движение
точки не изменяется
X
x'
S  x2  x1
x2
t  t2  t1
t1
S
vср 
t
S1  x ' x1
S2  x2  x '

x1
'
В момент времени tнаправление
движения точки изменяется
x1
t2
t
t
t1
S1  S2 t '
vср 
t
t2 t