Реализация квантовых алгоритмов с помощью магнитного

Разработка квантовых компьютеров самый важный вид научной деятельности.
В.И.Ленин
Реализация квантовых
алгоритмов с помощью
магнитного резонанса
Михаил Волков
лаборатория СФСХ
научный руководитель
член-корреспондент РАН Салихов К.М.
Казанский физико-технический институт
Реализация квантовых
алгоритмов с помощью
магнитного резонанса
Михаил Волков
лаборатория СФСХ
научный руководитель
член-корреспондент РАН Салихов К.М.
Повышение быстродействия
компьютера
Поисковая база данных
Разложение чисел на
1) несортированный список
множители
N элементов
1) N = p*q
2) сколько запросов необходимо 2) число N имеет L цифр
сделать для его сортировки?
3) чему равны p и q?
1 бит = 1 атом
Вместо классических законов
вступают в действие квантовые
законы и алгоритмы
Сравнение классических и
квантовых битов
Классические биты
1) Транзисторы
2) 0 или 1
Квантовые биты
1) Квантовые системы
2) суперпозиция 0 и 1
Один кубит:
 1 a 0 b 1
a  b 1
2
2
Множество кубитов:
 n a0 00...0 a1 00...1  a2 11...1
n
 ai  1
2
i
Классический компьютер обрабатывает одновременно N чисел,
а квантовый компьютер 2N.
Разложение на множители числа N, состоящего из 400 цифр
âû ï î ëí åí è ÿ

e
L1 / 3

10 миллиардов лет

3
L

3 года
Построение квантового
компьютера
1) Квантовые биты.
2) Логические операции.
3) Теоретический расчет работы квантового компьютера.
4) Входные состояния.
5) Выходные состояния.
6) Сравнение теоретических и экспериментальных результатов.
Поиск элементной базы для
квантового компьютера
В качестве элементной базы можно использовать:
1) Ионные ловушки.
В качестве кубита используются атомные состояния сверхтонкой
структуры и низколежащие колебательные моды (фононы)
удерживаемых в ловушке атомов.
2) Оптические фотоны.
В качестве кубита используется одиночный фотон с
поляризацией в двух различных плоскостях.
3) Ядерные или электронные спины.
В качестве кубита используется одиночный ядерный или
электронный спин I или S = ½.
Реализация квантового компьютера
на ядерных спинах
частица со спином ½ в магнитном поле:
|1
 0
B0
|0
B0
 out  eiHt  in  U  in




UU 1
Операторы осуществляют поворот спинов
Операторы должны быть унитарными
Квантовые логические операции
Любой квантовый алгоритм можно представить в виде
комбинации логических операций NOT и CNOT. Мы выполняли
эксперименты по реализации логической операции CNOT на
двух спинах.
Для реализации логической операции NOT
0 1
NOT  

требуется наличие одного спина.
1
0


1

0
CNOT  
0

0
0 0 0

1 0 0
0 0 1

0 1 0
Для реализации CNOT необходимо наличие
двух спинов, при этом между ними должно
существовать взаимодействие.
Логическая операция CNOT имеет следующую таблицу истинности:
Входные
биты
0
0
1
1
0
1
0
1
Выходные
биты
0
0
1
1
0
1
1
0
Взаимодействия между спинами
• Диполь-дипольное взаимодействие (в жидкостях усредняется до
нуля)
• J-взаимодействие (возникает при наличии химической связи
между атомами, в которых ядра взаимодействуют с электронными
оболочками)
H J  J ( I1x I 2 x  I1 y I 2 y  I1z I 2 z )
H Zeeman  
H 
1 I1z
2

1 I1z
2 I 2 z
2
2

2 I 2 z
2
 J ( I1x I 2 x  I1 y I 2 y  I1z I 2 z )
Взаимодействия между спинами
• Диполь-дипольное взаимодействие (в жидкостях усредняется до
нуля)
• J-взаимодействие (возникает при наличии химической связи
между атомами, в которых ядра взаимодействуют с электронными
оболочками)
H 
1 I1z
2

2 I 2 z
2
 J ( I1x I 2 x  I1 y I 2 y  I1z I 2 z )
Если выполняется условие J<<|ħ(ω1–ω2)|, тогда мы можем
использовать только секулярную часть гамильтониана Jвзаимодействия:
H 
1 I1z
2

2 I 2 z
2
 JI1z I 2 z
Способы описания квантовых
систем
Существует два способа описания квантовых систем:
1) С помощью векторов в гильбертовом пространстве:



I  I
Ix 
2

I1z   
I  I
Iy 
2i
1
1
1
1
  I1z       I z2      I z2      
2
2
2
2
I1     
I 2     
I1     
I 2     
2) С помощью матриц плотности: ρ→2nx2n Для двух спинов ½: 4х4
Базисный набор: E,
дипольные моменты I1x, I1y, I1z,
дипольные моменты I2x, I2y, I2z,
квадрупольные моменты
I1xI2x, I1xI2y, I1xI2z,
I1yI2x, I1yI2y, I1yI2z,
I1zI2x, I1zI2y, I1zI2z.
 . . 2n.

 .n
2.

. . .
.

.
.

.



I1x=
матрица оператора I1x


.

.
.

.

.

.
I1x
.
.

.

.
.

.
Базисный набор для двух спинов
1

0
E
0

0
0 0 0

1 0 0
;
0 1 0

0 0 1
0 1/ 2
 0

0
0
0
I1x  
1/ 2 0
0

0
 0 1/ 2
0 
 0 1/ 2 0


1/ 2 0
0
0 

I2x 
;
 0
0
0 1/ 2


0 1/ 2 0 
 0
0 

1/ 2
;
0 

0 
0 
 0 i / 2 0


i/2
0
0
0 

I2y 
;
 0
0
0 i / 2 


0
i/2
0 
 0
0 i / 2
 0

0
0
0
I1y  
i/2 0
0

0
 0 i/2
0 

i / 2 
;
0 

0 
0
0
0 
1/ 2


0 1 / 2 0
0 

I2z 
;
 0
0
1/ 2
0 


0
0 1 / 2 
 0
0
0 
1/ 2 0


0 1/ 2
0
0 
I1z  
;
 0
0 1 / 2
0 


0
0
1 / 2 
 0
0
0 1/ 4
 0


0
0 1/ 4 0 

I1xI2x 
;
 0 1/ 4 0
0 


0
0 
1/ 4 0
0
0 i / 4 
 0


0
0
i/4
0 
I1xI2y  
;
 0 i / 4 0
0 


0
0
0 
i/4
0
1/ 4
 0

0
0
0
I1xI2z  
1/ 4
0
0

0
 0 1 / 4
0 

1 / 4 
;
0 

0 
0
0
i / 4 
0
0
1 / 4 
 0
 0




0
0 i / 4
0 
0
0 1/ 4
0 
I1yI2x  
; I1yI2y  
;
 0 i/4
 0
0
0 
1/ 4 0
0 




0
0 
0
0 
i/4 0
 1 / 4 0
0
i / 4
 0

0
0
0
I1yI2z  
i/4
0
0

0
 0 i / 4
0
0 
 0 1/ 4


1/ 4 0
0
0 
I2zI2x  
;
 0
0
0
1 / 4 


0 1 / 4
0 
 0
0
0
0 
1/ 4
0
0 
 0 i / 4




0 1 / 4
0
0 
i/4
0
0
0 
;
I1zI2y  
; I1zI2z  
 0
0
1 / 4 0 
 0
0
0
i / 4




0
0
1/ 4
0
i / 4 0 
 0
 0
0 

i / 4
;
0 

0 
Для любой матрицы:

16

F   Ck Q k , Ck 
i 1
 
Sp( F Q k )


Sp(Q k Q k )

16

   Ck Q k
i 1

16

H   Bk Q k
i 1
Теоретический расчет работы
импульсной последовательности

 

Уравнение Шредингера: i
 [H ,  ]
t
Решение для гамильтониана, независящего от времени:




 (t )  ei H t /  (0)ei H t /
Поворот спина на угол φ=ωt относительно оси k=x,y,z
осуществляется под действием гамильтониана H=ħωIk в течение
времени t.

e
i H t /








e
e
 E  i I k  ...  ( E cos( )  2i I k sin( ))
2
2



t
t
 it I z
e
 ( E cos( )  2i I z sin( ));
2
2
 



Jt
Jt
 iJ I 1 z I 2 z t /
e
 ( E cos( )  4i I 1z I 2 z sin( ))
4
4
i  I k t /
 i I k
Теоретический расчет работы
импульсной последовательности


 (t1 )  (e

 (t )  (...)(ei H

i H 1 t /
3t/

)  (0)(e


i H1 t /


),  (t2 )  (e


i H 2 t /


)  (t1 )(e


iH2t/

)
)(ei H 2 t / )(ei H1 t / )  (0)(ei H1 t / )(ei H 2 t / )(ei H 3 t / )(...)
Импульсная последовательность
CNOT
1

0

CNOT 
0

0
H 
k 0 0 0 









0
l
0
0

( E  2i I 2 x ).( E  4i I 1z I 2 z ).( E  2i I 2 y )  
 0 0 0 m


0
0
n
0
H  2 JI1z I 2 z


0 0 0

1 0 0
0 0 1

0 1 0
1 I1z
2

90
2 I 2 z
90
90
o
y
t
t
1
4J
2
1
4J
180
180
o
x
180
o
x
1
2J
90o2 x
 2 JI1z I 2 z
180ox
o
y
t
o
2y
o
x
180ox
t
1
4J
 ei / 4

 0
 0

 0
180ox 90ox
o
x
o
y
o
x
180 90 90 90
t
1
4J
180ox
o
y
90o y90ox
0
ei / 4
0
0
0
0
0
ei 3 / 4
1

0
0

0



 i 3 / 4 
e

0 
0
0
0 0 0

1 0 0
0 0 1

0 1 0
Спектры чистых состояний
Теоретический расчет действия логической операции CNOT на
чистые состояния:
Спектры состояний |00>, |01>, |10>, |11> до применения CNOT :
00
01
10
11
Спектры состояний |00>, |01>, |10>, |11> после применения CNOT :
00
01
11
10
Приготовление входных состояний
Квантовая логическая операция CNOT работает правильно, если в качестве
входных состояний использовать чистые состояния:

1

0
0

0
0 0 0

0 0 0
0 0 0

0 0 0


0

0
0

0
0 0 0

1 0 0
0 0 0

0 0 0
0

0
0

0
0 0 0

0 0 0
0 1 0

0 0 0

0

0
0

0
0 0 0

0 0 0
0 0 0

0 0 1
Для создания таких
состояний необходимо
понизить температуру до
10-2К
Вместо
чистых состояний можно использовать псевдо чистые состояния вида

( E+    ) , которые ведут себя аналогично чистым состояниям:
Такие состояния можно приготовить из
состояния теплового равновесия с
помощью последовательностей РЧ
импульсов и градиентов магнитного
поля:
Реализация логической операции
CNOT на ядерных спинах
В нашей реализации мы использовали
жидкое вещество, имеющее
следующую химическую формулу:
-HP-
H2 O
-CH3-
-PD-PD-
-PH-
-HP-
-PD-
-PH-
Экспериментально полученные
результаты
Экспериментальные спектры псевдо чистых состояний, полученные до и
после применения к ним логической операции CNOT:
|00>
|01>
|10>
|11>
|00>
|01>
|11>
|10>
Длительность выполнения
логической операции
Длительность выполнения одиночной логической операции
определяется длительностями 90°-импульсов и константами
взаимодействия ядер
Ядерный магнитный резонанс
1) Длительности 90°-импульсов в современных спектрометрах 1÷10 мкс.
ЯМР спектрометр Bruker Avance 400 H1: τ90° = 9,5 мкс, P31: τ90° = 5,5 мкс.
2) Константы косвенного взаимодействия: для непосредственно связанных
атомов 100÷1000 Гц, через одну связь 10÷100 Гц, через несколько связей <10
Гц. JPH= 680 Гц.
Электронный парамагнитный резонанс
1) Длительности 90°-импульсов в современных спектрометрах 10÷100 нс.
ЭПР спектрометр Elexsys
H1: τ90° = 16 нс.
2) Константы электронно-ядерного взаимодействия: 10÷100 МГц.
Реализация логической операции
CNOT на электронных спинах
1

0
0

0
0 0 0
1


0 0 0
0

CNOT 
0
0 0 0


0 0 0
0
1 I1z
2 I 2 z
H 
H 
1

0
0

0
1 I1z
2

2
2 I 2 z
2

2
0 0 0

0 0 0
0 0 0

0 0 0
 JI1z I 2 z
 J ( I1x I 2 x  I1 y I 2 y  I1z I 2 z )
0 0 0
 11


0 0 0  CNOT   21

 31
0 0 0


0 0 0
  41
12
 22
32
 42
13 14 
 23  24 
33 34 

 43  44 
Реализация логической операции
CNOT на электронных спинах
1

0
0

0
0 0 0
 11


0 0 0  CNOT   21

 31
0 0 0


0 0 0
  41
12
 22
32
 42
13 14 
 23  24 
33 34 

 43  44 
J / (1  2 )
11
12
J / (1  2 )
Реализация логической операции
CNOT на электронных спинах
Имидазолиновый бирадикал
Ансамбль спинов разделяется
на 9 подансамблей:
1) ν1ν1
4) ν2ν1
7) ν3ν1
2) ν1ν2
5) ν2ν2
8) ν3ν2
3) ν1ν3
6) ν2ν3
9) ν3ν3
Реализация логической операции
CNOT на электронных спинах
1) ν1ν1
6) ν2ν3
2) ν1ν2
7) ν3ν1
3) ν1ν3
8) ν3ν2
4) ν2ν1
9) ν3ν3
5) ν2ν2
Спасибо за внимание