Лекция № 10 Магнитное поле в веществе

Лекция № 10
Магнитное поле в веществе
Алексей Викторович
Гуденко
20/11/2014
План лекции
1.
2.
3.
4.
5.
Вектор намагниченности
Напряжённость магнитного поля. Теорема
о циркуляции вектора H.
Граничные условия для векторов B и H
Магнитная восприимчивость и магнитная
проницаемость. Намагничивание цилиндра
во внешнем поле.
Постоянный магнит.
Демонстрации
Поле соленоида
Indz
dB  2 dl sin   (i / c)d
cr
Bc  4 (i / c)
B1 / 2  2 (i / c)
Магнитного поля соленоида и
тороидальной катушки


Поле длинного соленоида:
B = 4π(i/c); i = In = IN/ℓ - N –число витков,
ℓ - длина катушки, I – ток в соленоиде; i –
линейная плотность тока; n = N/ℓ
плотность намотки.
I = 10 A, n = 10 см-1 B = 4π(In/c)= 12,5 Гс
Поле тонкой тороидальной катушки:
B = 2NI/cR
Магнитное поле витка с током
I
dB  dB z  2 dl sin 
cr
2
2R I
B
cr 3
2 ( I / c)
B0 
R
B0 ( I  1A, R  1см)  0,63 Гс
2R I
B
3
cr
2
Контур с током в магнитном поле


p m  ( I / c) S



M  [ p m  B]
 
U  ( p m  B )



F  ( p m ) B




 3( p m r )r p m
B
 3
5
r
r
2R 2 I 2 IS / c 2 p m
B

 3
3
3
cr
r
r
Момент сил, действующий на виток с током
Энергия витка в поле

Прямоугольный виток a x b
–
–


Ток I
φ – между pm и B
M = 2FA (a/2) sinφ = (I/c)baB sinφ = pmBsinφ →
M = [pm B] →
U = ∫ pmBsinφdφ = - pmBcosφ = - (pm,B)
Токи проводимости и молекулярные
токи




Магнитное поле в веществе возбуждается токами
проводимости и токами намагничивания
Токи проводимости j связаны с перемещением
свободных зарядов и являются сторонними по
отношению к веществу
Молекулярные токи обусловлены орбитальным
движением и спином электронов в атомах (молекулах) и
ядер вещества.
Токи намагничивания jm – макроскопические токи,
полученные в результате сглаживания молекулярных
токов
Механизм намагничивания


Во внешнем магнитном поле магнитные
моменты атомов полностью или частично
ориентируются в направлении магнитного поля.
Вещество намагничивается.
Вещества, способные намагничиваться
называются магнетиками.


Слабомагнитные вещества: пара- и диамагнетики
Сильномагнитные вещества – ферромагнетики
(железо, никель, кобальт и их сплавы)
Вектор намагниченности Pm. Связь
намагниченности с токами намагничивания



Вектором намагничивания (или
намагниченностью) называется средний
магнитный момент единицы объёма вещества:
Pm = Σpmi/ΔV
Линейная плотность токов намагничивания для
«косого» цилиндра равна проекции вектора
намагничивания на образующую цилиндра:
im/c = Pml
∫Pmdl = Im/c или rotPm = j/c
Вектор напряжённости магнитного поля H
Теорема о циркуляции магнитного поля в
веществе.



rotB = 4π/c (j + jm) = 4π/c j + 4π/c jm = 4π/c j + 4πrotPm 
rot(B - 4πPm) = rotH = 4π/c j
Н = B - 4πPm - вектор напряжённости магнитного поля
Циркуляция вектора H по произвольному замкнутому
контуру равна алгебраической сумме токов
проводимости, пронизывающих контур, умноженной на
4π/с:
 
4
L Hdl  c I
т. о циркуляции в
дифференциальной форме:
 4 
rotH 
j
c
Граничные условия для векторов B и H

Из теоремы Гаусса:
 
 BdS  0 

B1n  B2 n
Из теоремы о циркуляции:
  4
L Hdl  c I

4
H 2t  H 1t 
in
c
Как измерить H и В


Поле, измеренное в узком
цилиндрическом канале, параллельном
магнитному полю, будет равно
напряжённости поля H в магнетике
Поле, измеренное в коротком цилиндре, с
основаниями ┴ магнитному полю, будет
равно индукции поля B в магнетике
Магнитная восприимчивость и
магнитная проницаемость



Линейные изотропные магнетики:
Pm = κH, κ – магнитная восприимчивость
B = H + 4πκH = (1 + 4πκ)H = μH
μ = 1 + 4πκ – магнитная проницаемость
–
–
–
Парамагнетики: κ > 0, μ > 1, κ ~ 10-7 – 10-5
(Al, Pt, FeCl2, O2)
Диамагнетики: κ < 0, μ < 1, κ ~ -(10-7 – 10-5)
(Bi, Sb, Si, H2O, H2, N2)
ферромагнетики
Преломление силовых линий

На границе раздела двух магнетиков:
H2t = H1t  B2t/μ2 = B1t/μ1
B2n= B1n 
tgα2/ tgα1 = μ2/μ1 – происходит сгущение
линий в более сильных магнетиках.
Поле в соленоиде с железным
сердечником



H = 4πi/c = B0 – поле в пустом соленоиде
B = H + 4πр = (1 + 4πκ)H = μH = μB0
Сверхпроводник B = 0 → μ = 0 – идеальный
диамагнетик с k = - 1/4π
Постоянный цилиндрический магнит
Тороидальный магнит с зазором.



Постоянный магнит – это ферромагнитное
вещество с постоянной намагниченностью
Для цилиндрического магнита – это поле
соленоида с линейной плотностью i/c = Pm 
поле в объёме Bi = 4πi/c = 4πPm – остаточная
индукция; поле на торце Bt ≈ 1/2 Bi
Тороидальный магнит с зазором:
Из т. о циркуляции H
BΔ + (B - 4πpm) (2πr – Δ) = 0 → поле в зазоре B
= 4πPm (2πr – Δ)/2πr ≈ B0 = 4πPm
Намагничивание цилиндра и шара во
внешнем поле




Длинный цилиндр:
pm = κH = κB0 = B0(μ – 1)/4π
Короткий цилиндр:
pm = κH = (κ/μ) B0 = B0(μ – 1)/4πμ
Для шара: pm = B0 3(μ – 1)/4π(μ+2)
Для сверхпроводящего шара считаем μ = 0 
pm = - 3B0/8
полный момент сверхпроводящего шара:
P = 4/3 πR3pm = - ½ B0R3
Намагничивание шара в постоянном
магнитном поле

Сверхпроводящий шар в магнитном поле
индукцией B0 приобретает дипольный
момент:
Pm = - ½ B0R3
Магнитная проницаемость газа
сверхпроводящих шариков
(Овчинкин, 6.26)


pm = npi = -nr3H/2
B = H + 4πpm = (1 - 2πnr3)H 
μ = (1 - 2πnr3) < 1 - диамагнетик