Слайд 1 - Кафедра радиофизики и нелинейной динамики
advertisement
СИНХРОНИЗАЦИЯ ХАОСА Синхронизация автоколебаний – одно из фундаментальных нелинейных явлений в естественных науках. В настоящее время проблема синхронизации регулярных (периодических и квазипериодических) колебаний достаточно хорошо исследована. В спектре регулярных колебаний легко выделить основные частоты, однозначно связанные с характерными временами (периодом, квазипериодом) и фазами колебаний. При захвате частот происходит стабилизация фазового сдвига между взаимодействующими модами. Характерные времена также становятся равными или кратными. В случае регулярных колебаний взаимодействующих генераторов фазовому захвату соответствует седло-узловая бифуркация циклов на двумерном торе, в результате которой аттрактор на границе синхронизации претерпевает очевидную перестройку: вместо эргодического движения на двумерном торе возникает устойчивый предельный цикл. С накоплением знаний о хаотической динамике нелинейных систем возникла потребность обобщить классические представления о синхронизации автоколебаний на этот случай. Уже при визуальном наблюдении хаотических аттракторов взаимодействующих систем с частотной расстройкой можно заметить, что с ростом степени взаимодействия возможна определенная перестройка их структуры. Это наводит на мысль об аналогии механизмов синхронизации хаотических и регулярных автоколебаний. Правомерно возникает вопрос: что считать хаотической синхронизацией? Ответ на него не столь прост, как в случае регулярных колебаний, поскольку у хаотических колебаний период отсутствует, а спектр является сплошным. На сегодняшний день известно несколько концепций синхронизации хаоса. Одной из первых была концепция, согласно которой синхронизация хаоса понимается как явление возникновения периодического режима под влиянием внешнего воздействия на хаотические автоколебания или в результате взаимодействия хаотических генераторов. Однако переход от хаотических колебаний к регулярным наблюдается лишь при достаточной интенсивности взаимодействия генераторов (т.е. имеет порог) и связан с механизмом синхронизации через подавление хаотических автоколебаний, т.е. не исчерпывает всех возможных эффектов синхронизации хаоса. Согласно наиболее часто встречающейся в литературе концепции синхронизация хаоса имеет место при взаимодействии идентичных хаотических осцилляторов и состоит в том, что с ростом связи временные реализации соответствующих динамических переменных парциальных систем полностью повторяют друг друга без какого-либо сдвига во времени. То есть осцилляторы колеблются «синфазно». Синфазные колебания наблюдаются и при взаимодействии периодических генераторов, однако возможны и другие синхронные колебания. Очевидно то же можно сказать и о синхронизации хаоса. В ряде работ предложено обобщение классических представлений о синхронизации как о захвате или подавлении частот на случай взаимодействия генераторов в режиме спирального хаотического аттрактора. Под синхронизацией хаотических автоколебаний также понимается возникновение функциональной взаимосвязи между мгновенными состояниями парциальных систем (обобщенная синхронизация). Классический подход к синхронизации хаоса. Полная и частичная синхронизация и их количественные характеристики Синхронизация хаотических осцилляторов может пониматься в самом широком смысле как возникновение взаимосвязи между какими-либо характеристиками парциальных колебаний, а может, наоборот, рассматриваться в самом узком смысле – как установление полностью идентичных колебаний в парциальных системах. Наиболее последовательным следует признать понимание синхронизации хаоса как развитие классической концепции синхронизации характерных частот и времен динамических систем. Классические представления о синхронизации можно легко обобщить на случай генераторов в режиме спирального хаоса. В спектре спирального хаоса наблюдается четко различимый пик на частоте, близкой к частоте предельного цикла, породившего хаотический аттрактор в результате последовательности субгармонических бифуркаций (бифуркаций удвоения периода). Можно рассматривать эту частоту как базовую частоту колебаний 0, исследовать эффект ее захвата и подавления, а также вводить некоторый аналог захвата фазы хаотических колебаний. Подобные эффекты получили название синхронизации в смысле Гюйгенса или частотно-фазовой синхронизации. Синхронизация хаоса в таком понимании может наблюдаться в системах, достаточно сильно различающихся между собой как с точки зрения математической модели, так и по своему поведению. Возможна также вынужденная синхронизация хаоса в смысле Гюйгенса, в том числе при периодическом воздействии. Впервые попытка распространения классических представлений о синхронизации как о захвате или подавлении частот на случай взаимодействия хаотических осцилляторов была предпринята в группе проф. В.С. Анищенко на кафедре радиофизики в начале 90-х годов. Обнаружено, что на плоскости параметров, управляющих степенью взаимодействия и частотой расстройки хаотических генераторов, можно выделить области синхронизации хаоса, подобные языкам Арнольда. Хаотические колебания в этих областях (синхронный хаос) топологически отличаются от хаоса за их пределами (несинхронного хаоса). Экспериментально и численно исследуются два взаимодействующих радиотехнических генератора Анищенко-Астахова с расстройкой базовых частот. Блок-схема системы двух связанных ГИН: 1 – линейные усилители с управляемыми коэффициентами усиления, 2 – инерционные нелинейные преобразователи, 3 – блок связи (3' – однонаправленной, 3'' – взаимной) Математическая модель рассматриваемых автогенераторов имеет следующий вид: взаимодействующих (71) Исследовалась эволюция спектров при вынужденной синхронизации хаотических колебаний с отношением базовых частот f1 : f2 = 1 : 1, наблюдавшаяся в эксперименте в случае однонаправленной связи. Аналогичная эволюция спектров наблюдалась и при взаимной синхронизации генераторов в случае симметричной связи. Бифуркационная диаграмма строилась на плоскости параметров «частотная расстройка – связь». Колебания генераторов в отсутствие связи соответствовали режиму спирального хаоса, возникшего на базе цикла утроенного периода. На диаграмме представлена правая половина основной области синхронизации (с отношением базовых частот 1 : 1). Соответствующими обозначениями выделены области периодических колебаний и 3 области синхронного хаоса и несинхронного хаоса (СА2 ). Классический подход к синхронизации хаоса (72) (73) (74) (75) (76) (77) Вынужденная синхронизация хаотических колебаний в системе Ресслера (77): (а) – зависимость средней частоты колебаний от параметра расстройки; (б) – зависимость базовой частоты от параметра расстройки; (в) – зависимость коэффициента эффективной диффузии фазы от параметра расстройки. При выбранных значениях параметров на границах основной области синхронизации наблюдается переход «синхронный хаос – несинхронный хаос». В пределах точности численного эксперимента все характеристики определяют одни и те же значения параметра расстройки, соответствующие границам синхронизации. При взаимодействии двух совершенно идентичных хаотических осцилляторов (с одинаковыми спектрами колебаний), начиная с некоторого значения параметра связи колебания парциальных систем могут стать совершенно идентичными. Именно это явление часто называют хаотической синхронизацией. В отличие от рассмотренной частотно-фазовой синхронизации, это явление правильнее было бы называть полной или синфазной синхронизацией хаоса. (78) (78) При расстройке парциальных систем по параметрам симметричное подпространство перестает существовать, и, следовательно, при конечном значении параметра связи полная синхронизация невозможна. Однако если осцилляторы характеризуются расстройкой параметров, обеспечивающей в отсутствие связи хотя бы небольшое различие базовых частот при идентичной структуре хаотических аттракторов парциальных систем, то при достаточно сильной связи наблюдается эффект, близкий к полной синхронизации. Он состоит в том, что колебания осцилляторов полностью повторяют друг друга с некоторой задержкой d во времени: x1 (t) = x2 (t + d). Этот эффект был назван lag-синхронизацией. Хотя инвариантного подпространства в случае lag-синхронизации не существует, хаотический аттрактор топологически эквивалентен аттрактору при полной синхронизации. Таким образом, можно рассматривать lag-синхронизацию как обобщение понятия полной синхронизации на случай систем со слабой частотной расстройкой. Заключение Для взаимодействующих хаотических осцилляторов, характеризующихся частотной расстройкой, можно выделить три степени синхронизации хаоса. Граница клюва синхронизации определяется синхронизацией в смысле Гюйгенса, т.е. соответствует захвату мгновенных фаз и базовых частот хаотических колебаний парциальных систем или (при больших значениях расстройки) подавлению автоколебаний одного из осцилляторов. В последнем случае, несмотря на хаотическое поведение обеих парциальных систем в автономной режиме, в области синхронизации наблюдаются также и периодические колебания. С уменьшением расстройки и ростом параметра связи может возникнуть более сильный эффект синхронизации – lag-синхронизация. Переход от фазово-частотной синхронизации к lag-синхронизации является достаточно сложным бифуркационным процессом. При нулевой расстройке, начиная с некоторого значения параметра связи может наблюдаться полная синхронизация: хаотическое предельное множество в симметричном подпространстве становится притягивающим в полном фазовом пространстве системы.
