МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ

МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ







1. Магнитные взаимодействия
2. 3акон Био-Савара-Лапласа
3. Магнитное поле движущегося заряда
4. Напряженность магнитного поля
5. Магнитное поле прямого тока
6. Магнитное поле кругового тока
7. Теорема Гаусса для вектора
магнитной индукции
Магнитные взаимодействия



Магнитные свойства постоянных магнитов, их способность
притягивать железные предметы были известны еще
древним грекам.
Земля также является магнитом и явления земного
магнетизма были использованы ещё древними китайцами
3000 лет тому назад для создания подобия компаса, т.е.
свободно вращающейся магнитной стрелки, указывающей
ориентацию сторон света.
Китайские мореплаватели использовали компас в XI веке, в
Европе подобные устройства появились лишь в XII веке.
Магнитные взаимодействия



В пространстве, окружающем намагниченные
тела, возникает магнитное поле.
Помещенная в это поле маленькая магнитная
стрелка устанавливается в каждой его точке
вполне определенным образом, указывая, тем
самым, направление поля.
Тот конец стрелки, который в магнитном поле
Земли указывает на север, называется северным,
а противоположный – южным.
Магнитные взаимодействия





К середине XVIII века, окрепло убеждение о наличии тесной
связи между электрическими и магнитными явлениями.
В 1820 году Эрстед открыл явление отклонения магнитной
стрелки гальваническим током и, тем самым, сделал первый
существенный шаг в выяснении характера связи
электрических и магнитных явлений.
Затем Гей-Люссак и Араго наблюдали намагничивание железа
постоянным током, идущим в проводнике.
Ампер обнаружил притяжение между проводами, по которым
проходят параллельные токи, и отталкивание между
противоположно направленными токами.
Им же была выдвинута гипотеза о том, что свойства
постоянных магнитов обусловлены циркулирующими в их
толще постоянными круговыми токами (молекулярными
токами).
Магнитные взаимодействия




Эрстед сделал общий вывод: вокруг всякого
проводника с током есть магнитное поле.
Но ведь ток – это направленное движение
зарядов.
Возможно, вокруг всякого движущегося
заряда существует магнитное поле?
Опыты подтверждают: да, магнитное поле
появляется вокруг электронных пучков и
вокруг перемещающихся в пространстве
заряженных тел.
Магнитные взаимодействия


Итак, вокруг всякого движущегося
заряда помимо электрического поля
существует еще и магнитное.
Магнитное поле – это поле
движущихся зарядов.
Известно, что оно обнаруживает себя
по действию на магнитные стрелки или
на проводники с токами, т.е. на
движущиеся заряды.
Магнитные взаимодействия




Подобно электрическому полю, магнитное
поле обладает энергией и, следовательно,
массой.
Магнитное поле материально.
Теперь можно дать следующее определение
магнитного поля:
магнитное поле – это материя, связанная с
движущимися зарядами, и обнаруживающая
себя по действию на магнитные стрелки и
движущиеся заряды, помещенные в это
поле.
Магнитные взаимодействия


Подобно тому, как для исследования
электрического поля используется пробный
точечный заряд, для исследования магнитного
поля используется точечное магнитное поле,
созданное пробным током, циркулирующим в
плоском замкнутом контуре очень малых
размеров.
Возьмем такой контур с током I и поместим его в
магнитное поле.
Магнитные взаимодействия

Основное свойство магнитного поля –
способность действовать на движущиеся
электрические заряды с определенной силой.
В магнитном поле контур с током будет
ориентироваться определенным образом.
Ориентацию контура в пространстве будем
характеризовать направлением нормали ,
связанной с движением тока правилом
правого винта или «правилом буравчика» .
Магнитные взаимодействия
Магнитные взаимодействия






Итак, на контур с током в магнитном поле действует
вращающий момент.
Контур ориентируется в данной точке поля только одним
способом.

Примем положительное направление
нормали n за

направление магнитного поля B в данной точке.
Вращающий момент прямо пропорционален величине тока
I, площади контура S, и синусу угла между направлением
 
магнитного поля и нормали .
M ~ ISsin( n, B),
здесь М – вращающий момент или момент силы,
 IS  Pm –
магнитный момент контура (аналогично ql  P
–

электрический момент диполя).

Pm  Pm n.
Магнитные взаимодействия


Направление вектора магнитного
момента совпадает с положительным
направлением нормали.
Отношение момента силы к магнитному
M
моменту
для данной
Pm точки
магнитного поля будет одним и тем же
и может служить характеристикой
магнитного поля, названной магнитной
индукцией.
Магнитные взаимодействия





Аналогично был определен вектор напряженности
электрического поля.
Условились, за направление – принимать направление
северного конца магнитной стрелки.
Силовые линии выходят из северного полюса, а
входят соответственно в южный полюс магнита.
Для графического изображения полей удобно
пользоваться силовыми линиями (линиями магнитной
индукции).
Линиями магнитной индукции называются кривые,
касательные к которым в каждой точке совпадают с
направлением вектора в этой точке.
3акон Био-Савара-Лапласа



В 1820 г. французские, физики Жан Батист Био
и Феликс Савар, провели исследования
магнитных полей токов различной формы.
Астроном, физик, математик Пьер Лаплас
обобщил эти исследования.
Лаплас проанализировал данные и сделал
вывод, что магнитное поле любого тока
может быть вычислено как векторная
сумма (суперпозиция) полей, создаваемых
отдельными элементарными участками
тока.
3акон Био-Савара-Лапласа

Элемент тока длины
dl (рисунок), создает
поле с магнитной
индукцией
dB  k

Idl
r2
Это и есть закон БиоСавара-Лапласа,
полученный
экспериментально.
3акон Био-Савара-Лапласа
 

I[d l , r]
dB  k
.
3
r

В векторной форме

Таким образом, закон Био-Савара-Лапласа
устанавливает величину и направление

вектора dB в произвольной точке

магнитного поля, созданного проводником d l
с током I.

Модуль вектора dB определяется
Idlsin α
соотношением:
dB  k
,

r2
3акон Био-Савара-Лапласа

В системе СИ, в вакууме закон Био-СавараЛапласа можно записать так:
dB 


μ 0 Idlsin α
,
2
4π
r
7
Где μ 0  4π  10 Гн/м – магнитная постоянная.
Магнитное поле любого тока может быть
вычислено как векторная сумма
(суперпозиция) полей, создаваемых
отдельными элементарными участками
тока.
Магнитное поле движущегося заряда


Как известно, электрический ток – упорядоченное
движение зарядов, а, как мы говорили только что,
магнитное поле порождается движущимися зарядами.
Найдем магнитное поле, создаваемое одним
движущимся зарядом.
Магнитное поле движущегося заряда

В уравнении описывающим закон БиоСавара-Лапласа в векторной форме заменим
ток I на jS, где j – плотность тока. Векторы
и d l имеют одинаковое направление, значит
Idl  Sjdl.

Если все заряды одинаковы и имеют заряд q,


то
j  qnυдр ,

где n – число
 носителей заряда в единице
объема; υ др – дрейфовая скорость зарядов.

j
Магнитное поле движущегося заряда

Подставив записанные выражения в
закон Био-Савара-Лапласа получим:
 

μ 0 Sdlnq υ, r 
dB 
.
4π

r3
Для одного заряда
 

μ
dB
qυ, r 
B1 
 0
.
3
dN
4π r
Напряженность магнитного поля

Напряженностью магнитного поля

называют векторную величину H ,
характеризующую магнитное поле и
определяемую следующим
образом:

 B
H .
μ0

Тогда напряженность магнитного поля
заряда q, движущегося в
вакууме



1 qυ, r 
равна:
H 
4π
r3
Напряженность магнитного поля


Это выражение показывает
закон Био
Савара-Лапласа для H .

Напряженность магнитного поля H
является, как бы, аналогом 
электрического смещения D в
электростатике.
Магнитное поле прямого тока


Применим закон БиоСавара-Лапласа для
расчета магнитных
полей простейших
токов.
Рассмотрим магнитное
поле прямого тока
Магнитное поле прямого тока




Все векторы
от произвольных
dB
элементарных участков имеют
одинаковое направление d l .
Поэтому сложение векторов можно
заменить сложением модулей.
Пусть точка, в которой определяется
магнитное поле, находится на
расстоянии b от провода. Из рисунка
b
rdα
bdα
получим:
r
;
dl 

.
sinα
sinα
sin 2 α
Магнитное поле прямого тока

Подставив полученные значения r и dl
в закон Био-Савара-Лапласа, получим:
μ 0 Ib dα sinα sin 2 α
μ I
dB 
 0 sinα dαα
4π
4π b
sin 2 α  b 2

Для конечного проводника угол α
изменяется от 1 , до 2 . Тогда имеем:
α2
μ I
B   dB  0
4π b
α1
α2
 sinα dα 
α1
μ0I
cosα1  cosα 2 .
4 πb
Магнитное поле прямого тока

Для бесконечно длинного проводника
1= 0, а 2=  тогда: B  μ 0 I
2ππ

Линии магнитной индукции прямого
тока представляют собой систему
концентрических окружностей
охватывающих ток.
Магнитное поле кругового тока

Рассмотрим поле, создаваемое током I,
текущим по тонкому проводу,
имеющему форму окружности радиуса
R
Магнитное поле кругового тока



Определим магнитную индукцию на
оси проводника с током на расстоянии
х от плоскости кругового тока.

Векторы dB
перпендикулярны
плоскостям проходящим
через

соответствующие d l и r .
Следовательно, они образуют
симметричный конический веер.
Магнитное поле кругового тока




Из соображения симметрии видно, что

результирующий вектор B направлен
вдоль оси кругового тока.

dB вносит вклад
Каждый из

 векторов
равный dB|| ,а dB взаимно
уничтожаются.
R
sinβ 
Но dB | |  dBsinβ
r
а т.к. угол между

dl и

r
прямой
Магнитное поле кругового тока

То
получим
sin α  тогда
1,
dB | |  dB


μ Idl R
R
 0
.
r
4π r 2 r
Заменим в этом выражении r  R 2  x 2
и проинтегрировав по всему контуру l  2πR ,
получим выражение для нахождения
магнитной индукции кругового тока:
B
2 πR

0
2 πR
μ 0 IR
μ 0 2πR 2 I
dB| | 
dl 
.
3 
3
4π R 2  x 2 2
4πr 0


Магнитное поле кругового тока
μ 0I
,
2R

При x = 0 :

Заметим, что в числителе IπR 2  IS  Pm
– магнитный момент контура.
На большом расстоянии от контура,
при R  x , можно записать:

B
μ 0 2Pm
B 
.
3
4π x
Магнитное поле кругового тока


Силовые линии магнитного поля
кругового тока хорошо видны в опыте с
железными опилками
Магнитное поле соленоида

B=µµ0nI
H=nI

внутри соленоида :

у конца соленоида:
B=½µµ0nI(cosα1-cosα2)
B=½µµ0nI;
H=½nI
Магнитное поле соленоида
Магнитное поле тороида
R
R
B  μμ0 nI ; H  nI
r
r
Теорема Гаусса для вектора
магнитной индукции

Поток вектора магнитной индукции через
любую замкнутую поверхность равен нулю.
 
Ф B  BdS  0
S


Этот результат является математическим
выражением того, что в природе нет
магнитных зарядов – источников магнитного
поля, на которых начинались бы и
заканчивались линии магнитной индукции.
СИЛЫ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА ДВИЖУЩИЕСЯ
ЗАРЯДЫ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ










1. Закон Ампера
2. Взаимодействие двух параллельных проводников с током
3. Воздействие магнитного поля на рамку с током
4. Единицы измерения магнитных величин
5. Сила Лоренца
6. Циркуляция вектора магнитной индукции
7. Магнитное поле соленоида
8. Магнитное поле тороида
9. Работа по перемещению проводника с током в магнитном
поле
10. Эффект Холла
Закон Ампера


В 1820 г. А.М. Ампер экспериментально
установил, что два проводника с током
взаимодействуют друг с другом с силой:
I 1I 2
Fk
,
b
где b – расстояние между проводниками, а k –
коэффициент пропорциональности
зависящий от системы единиц.
Закон Ампера

В современной записи, в системе СИ, закон
Ампера выражается формулой:
 

dF  I [d l , B]



где dF – сила с которой магнитное поле
действует на бесконечно малый проводник с
током I.
Модуль силы действующей на проводник
 
dF  IBdl sin( d l , B).
Закон Ампера



Если магнитное поле однородно и проводник
перпендикулярен силовым линиям магнитного поля, то
F  IlB,
Направление силы Ампера определяется
направлением векторного произведения или правилом
левой руки: ориентируем пальцы по направлению
первого вектора, второй вектор должен входить в
ладонь и большой палец показывает направление
векторного произведения.
Закон Ампера – это первое открытие
фундаментальных сил зависящих от скоростей.
Закон Ампера


Направление силы определяется
направлением векторного произведения или
правилом левой руки: ориентируем пальцы
по направлению первого вектора, второй
вектор должен входить в ладонь и большой
палец показывает направление векторного
произведения.
Закон Ампера – это первое открытие
фундаментальных сил зависящих от
скоростей.
Закон Ампера

Из закона Ампера хорошо виден
физический смысл магнитной
индукции: В – величина, численно
равная силе с которой магнитное
поле действует на проводник
единичной длины, по которой течет
единичный ток
F
B 
Il
.
Взаимодействие двух параллельных
проводников с током


Пусть b – расстояние
между двумя
параллельными,
бесконечно длинными
проводниками.
Задачу следует решать
так: один из проводников
создаёт магнитное поле,
второй находится в этом
поле.
Взаимодействие двух параллельных
проводников с током

Магнитная индукция, создаваемая
током на расстоянии b от него:
B2

μ0I2

.
2 πb
Тогда, сила, действующая на элемент
dl тока I :
μ 0 I1I 2 dl
F21  B2 I1dl 
2πb
.
Взаимодействие двух параллельных
проводников с током




На каждую единицу длины проводника
действует сила:
μ I I
F
F21ед  21  0 1 2
dl
2π b
(разумеется, со стороны первого проводника
на второй действует точно такая же сила).
Результирующая сила равна одной из этих
сил.
Если эти два проводника будут
воздействовать на третий, тогда их магнитные
поля и нужно сложить векторно.
Воздействие магнитного поля на рамку с током


На рисунке показана рамка с током I
находящаяся
в однородном магнитном

поле B .


Здесь α – угол между n и B
(направление нормали связано с
направлением тока «правилом
буравчика»).
Воздействие магнитного поля на рамку с током

Сила Ампера
действующая на сторону
рамки длиной l равна:
F1  IlB


 
( B  l ).
На другую сторону длиной
l действует такая же сила.
Получается «пара сил»
или «вращающий
момент».
M  F1h  IlBb sin α,
Воздействие магнитного поля на рамку с током

где плечо h  b sin α. Так как lb  S
– площадь рамки, тогда можно записать
M  IBS sin α  Pm sin α
где M – вращающий момент силы, Pm –
магнитный момент.
Под действием этого вращающего
  момента
рамка повернётся так, что n || B
В неоднородном поле рамка повернется и
будет втягиваться в область более сильного
поля.
Сила Лоренца


Электрический ток это совокупность
большого числа движущихся зарядов. Найдем
силу действующую на один заряд со стороны
магнитного поля. По закону Ампера сила,
действующая на проводник с током в

 
магнитном поле: dF  I [d l , B];
Но ток I  jS , причем j  qnυдр тогда
 

 
dF  qnυS[d l , B]  qnSdl[ υ, B],
Сила Лоренца

Число зарядов в объёме Sdl равно nSdl тогда:




Т.е. для одного заряда: F  q[ , B]
л


 
dF
 q[ , B],
nSdl
Сила Лоренца – сила действующая со
стороны магнитного
поля на движущийся

со скоростью
υ положительный заряд

(здесь υ скорость упорядоченного
движения носителей положительного
заряда).
Сила Лоренца






Модуль Лоренцевой силы:
Fл  qBsin

где α – угол между  и B
Направлена сила Лоренца перпендикулярно
  к
плоскости, в которой лежат вектора υ и B .
К движущимся положительным зарядам применимо
правило левой руки или «правило буравчика».
Направление действия силы для отрицательного
заряда – противоположно.
Следовательно, к электронам применимо правило
правой руки.
Циркуляция вектора магнитной индукции



Возьмем контур l, охватывающий
прямой ток и вычислим для него
циркуляцию

 вектора магнитной
индукции B , т.е.  Bl d l
Вначале рассмотрим случай, когда
контур лежит в плоскости
перпендикулярно потоку (ток I
направлена за чертеж).
В каждой точке контура вектор
направлен по касательной к
окружности, проходящей
через эту

точку (линии B прямого тока –
окружности).
Циркуляция вектора магнитной
индукции
Воспользуемся свойствами скалярного произведения
векторов: Bl dl  Bdl B , где dl B

- проекция dl на вектор B ,но dl  Rda ,
B
где R - расстояние от прямой тока I до dl.
 I
 Id
 Тогда
Bl dl  Bdl B  0 Rd  0
2R
2

0 I 2
 Bl d l  2  d  0 I ,
0

Откуда

т.е. циркуляция вектора магнитной индукции равна
току, охваченному контуром.
Циркуляция вектора магнитной
индукции



Иначе обстоит дело,
если ток не
охватывается контуром.
В этом случае при
обходе радиальная
прямая поворачивается
сначала в одном
направлении (1 – 2), а
потом в другом (2 – 1).
Поэтому  d  0 , и,
следовательно
 
B
 dl  0
Циркуляция вектора магнитной
индукции

Если контур охватывает несколько токов, то:
 Bl dl  0  I i ,


т.е. циркуляция вектора равна
алгебраической сумме токов, охваченных
контуром произвольной формы.
Теорема о циркуляции вектора индукции
магнитного поля позволяет легко рассчитать
величину В от бесконечного проводника с
током.
Циркуляция вектора магнитной
индукции
0 I
B
2r
Теорема Гаусса для магнитного поля




Линии напряженности электрического поля
начинаются и заканчиваются на зарядах.
А магнитных зарядов в природе нет.
Опыт показывает, что линии всегда
замкнуты.
Поэтому теорема Гаусса для вектора
магнитной индукции записывается так:
 
 Bd S  0
S
Работа по перемещению проводника с током
в магнитном поле



Рассмотрим контур с током, образованный
неподвижными проводами и скользящей по
ним подвижной перемычкой длиной l.
Этот контур находится во внешнем
однородном магнитном поле ,
перпендикулярном к плоскости контура.
При показанном
на рисунке направлении
тока


I, получим B сонаправлено с n .
Работа по перемещению проводника с током
в магнитном поле
Работа по перемещению проводника с током
в магнитном поле


На элемент тока I (подвижный провод)
длиной l действует сила Ампера
направленная вправо
F  IlB.
Работа, совершаемая проводником с
током, при перемещении, численно
равна произведению тока на
магнитный поток, пересечённый
этим проводником.
Работа по перемещению проводника с током
в магнитном поле



Формула остаётся справедливой, если проводник
любой формы движется под любым углом к линиям
вектора магнитной индукции.
Соотношение выведенное нами для простейшего
случая, остаётся справедливым для контура любой
формы в произвольном магнитном поле.

Более того, если контур неподвижен, а B меняется , то
при изменении магнитного потока в контуре на
величину dФ, магнитное поле совершает ту же работу
dA  IdФ.
Эффект Холла


Одним из проявлений магнитной
составляющей силы Лоренца в веществе
служит эффект, обнаруженный в 1879 г.
американским физиком Э.Г. Холлом (1855 –
1938).
Эффект состоит в возникновении на боковых
гранях проводника с током, помещенного в
поперечное магнитное поле, разности
потенциалов, пропорциональной величине
тока I и индукции магнитного поля В.
Эффект Холла

В случае изображенном на рисунке а,
верхняя часть проводника будет
заряжаться отрицательно, в случае б –
положительно.
Эффект Холла


Это позволяет экспериментально
определить знак носителя заряда в
проводнике.
При равной концентрации носителей
заряда обоих знаков возникает
Холловская разность потенциалов,
если различна подвижность, т.е.
дрейфовая скорость носителей заряда.
Эффект Холла


Подсчитаем величину Холловской
разности потенциалов(Uх).
Обозначим Eх – напряженность
электрического поля обусловленного
ЭДС Холла, h – толщина ленты
проводника.
U x  E x h.
Эффект Холла



Перераспределение зарядов
прекратится когда сила qEх
уравновесит Лоренцеву силу, т.е.
qE x  qυB
Плотность тока j  nυq
j
Отсюда υ 
nq
Эффект Холла


Ux 

j
nq
Тогда
Подставим Eх в выражение для Ux и
найдем
jBh
BhI
BI
RBI
Ex  B
Где
nq
или U x 
nqS

qna

a
,
R  1/qn - коэффициент Холла
Эффект Холла



Итак, измерение Холловской разности
потенциалов позволяет определить:
знак заряда;
количество носителей.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1.
2.
3.
4.
5.
ЧТО ТАКОЕ МАГНИТНОЕ ПОЛЕ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ В И Н
ЗАКОН БИО-САВАРА-ЛАПЛАСА
МАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ
ДВИЖУЩЕГОСЯ ЗАРЯДА
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ПРЯМОГО ТОКА
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1.
2.
3.
4.
5.
Магнитное поле кругового тока
Теорема Гаусса для магнитного поля
Закон Ампера
Сила Лоренца
Теорема о циркуляции вектора
магнитной индукции