ОСНОВЫ ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ Презентация лекции по курсу «Общая теория связи» © Д.т.н., проф. Васюков В.Н., vasyukov@edu.nstu.ru Новосибирский государственный технический университет, Новосибирск, пр. К. Маркса, 20 Факультет Радиотехники и электроники Кафедра теоретических основ радиотехники ОСНОВЫ ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ Васюков В.Н. Цифровая обработка сигналов и сигнальные процессоры в системах подвижной радиосвязи. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2006. – 292 с. Серия «Учебники НГТУ» Обработка сигналов – совокупность преобразований, направленная на наиболее эффективную передачу, хранение и извлечение информации. Преимущества ЦОС: принципиальная возможность реализации практически любых алгоритмов обработки; развитие элементной базы обеспечивает реализуемость все более широкого класса алгоритмов обработки в реальном масштабе времени; потенциально сколь угодно высокая точность реализации алгоритмов, определяемая разрядностью цифровых устройств; принципиальная возможность безошибочного воспроизведения сигналов при передаче и хранении на основе помехоустойчивого кодирования, которое применимо только к цифровым сигналам. 3 Дискретные и цифровые сигналы Математической модель дискретного сигнала решётчатая функция, или последовательность x[n], n , Всюду, где возможно, используется модель дискретного сигнала. Модель цифрового сигнала когда рассматриваются специфические эффекты, связанные с квантованием сигнала, округлением промежуточных результатов, ограничением разрядной сетки цифрового устройства и т.п. 2 1.466 1 xn 10 10 5 0 5 10 1 1.917 2 10 n 10 4 x[n], n , Для последовательности можно определить преобразование Фурье X (e j ) x[n] e j n n Im z e j Re z Изменение на величину k 2 при любом целом k никак не влияет на результат преобразования. Поэтому величину можно понимать, как угол 1 5 при восстановлении аналогового сигнала моделью дискретного сигнала служит идеализированный АИМсигнал v(t ) n xа (nTd ) (t nTd ) Найдем преобразование Фурье этого аналогового сигнала, обозначив круговую частоту в его спектральном описании буквой V ( ) v(t )e jt dt n x(nTd ) n xа (nTd )e (t nTd )e jt dt jnTd 6 X (e j ) V () x[n] e j n n n xа (nTd )e jTd n Эти функции совпадают по форме, если x[n] xа (nTd ) Td , Это формальное совпадение позволяет оперировать спектральной плотностью последовательности вместо спектральной плотности аналогового сигнала, тогда любые действия над дискретным сигналом эквивалентны соответствующим действиям над аналоговым сигналом и обработка сигнала может производиться в цифровой форме. 7 Выражение X (e j ) x[n] e j n n можно рассматривать как разложение функции (левой части) в ряд Фурье по базисным функциям e jn 1 x[n] 2 X (e j )e j n d , n , Это обратное преобразование Фурье для последовательностей 8 Стационарные линейные дискретные цепи Удобно считать, что преобразование выполняется некоторой дискретной цепью. Цепи соответствует отображение множества входных (дискретных) сигналов на множество выходных (дискретных) сигналов. x[n] X T y[n] Y Задать отображение – значит задать эти множества и каждому входному сигналу сопоставить единственный выходной. Как и для аналоговых цепей, для упрощения этой задачи на отображение (цепь) накладываются определенные ограничения. 9 Положим, что множества входных и выходных сигналов совпадают (задача фильтрации), тогда понятие отображения сужается до оператора. Будем также считать, что оператор цепи линеен, т.е. удовлетворяет принципу суперпозиции L1x1 2 x2 1Lx1 2 L x2 Произвольный дискретный сигнал (последовательность) можно представить в виде обобщенного ряда Фурье x[n] x[k ] [n k ] k 10 2 2 1.5 ( n 0) 1 ( n 3) 0.5 0 10 5 10 0 5 n 10 10 2 1.466 1 xn 10 10 5 0 5 10 1 1.917 2 10 x[n] k n 10 x[k ] [n k ] 11 x[n] L x[k ] [n k ] y[n] k y[n] L x[k ] [n k ] k x[k ]L [n k ] k x[k ]h[n, k ] k x[n] k x[k ]h[n, k ] 12 Для любого линейного оператора y[n] x[n] L y[n] x[k ]h[n, k ] k Если к тому же h[n, k ] h[n k ] цепь линейная инвариантная к сдвигу (стационарная) y[n] x[k ]h[n k ] k Это дискретная свёртка h[k ]x[n k ] k h[n] - ИХ 13 Отличие цифровых цепей от аналоговых (!) Дискретная свертка представляет не только метод анализа ЛИС-цепи, подобно интегралу Дюамеля для аналоговых цепей, но также алгоритм работы вычислительного устройства. Таким образом, задача анализа дискретных ЛИС-цепей оказывается тесно связанной с задачей синтеза y[n] k x[k ]h[n k ] h[k ]x[n k ] k 14 Рассмотрим ЛИС-цепь при воздействии на ее вход комплексной экспоненциальной последовательности x[ n] e j n x[n] , n , y[n] h[k ]e y[n] L j n j k e k e j n h[k ]e j k e jn H (e j ) k H (e j ) n h[n]e j n - КЧХ 15 Рассматривая 1 x[n] 2 X (e j )e j n d , n , как представление произвольного дискретного сигнала суперпозицией несчетного множества комплексных экспоненциальных последовательностей j jn j n e 1 y[n] 2 H (e L H (e j ) X (e )e j )e j n d 16 Сравнивая 1 y[n] 2 H (e j ) X (e j )e j n d 1 y[n] 2 Y (e j )e j n d , получаем спектральный метод анализа ЛИС-цепей Y (e j ) H (e j ) X (e j ) 17 ЛИС-цепи с конечной импульсной характеристикой (КИХ-цепи) Предположим, что импульсная характеристика некоторой ЛИС-цепи имеет конечную длину h[n] 0, n 0, N 1 Тогда свёртка содержит конечное число слагаемых y[n] N 1 N 1 k 0 k 0 h[k ]x[n k ] bk x[n k ] y[n] b0 x[n] b1x[n 1] b2 x[n 2] ... ... bN 1x[n N 1] 18 Выражение y[n] b0 x[n] b1x[n 1] b2 x[n 2] ... ... bN 1x[n N 1] называется разностным уравнением (РУ), аналогично ДУ m y(t ) bm d x(t ) dt m ... b0 x(t ) Вычисление каждого значения выходного сигнала требует учета текущего и (N-1) предшествующих отсчетов входного сигнала и может быть выполнено цепью (трансверсальной, или цепью с конечной импульсной характеристикой (КИХ-цепью)). 19 y[n] b0 x[n] b1x[n 1] b2 x[n 2] ... ... bN 1x[n N 1] y[n] x[n] h[0] z-1 x[n-1] h[1] h[k ] bk z-1 x[n-2] h[2] z-1 x[n-N-1] h[N-1] 20 Рассмотрим КИХ-цепь при воздействии на ее вход комплексной экспоненциальной последовательности jn x[n 1] e j ( n 1) e j e j n x[n] e , n , y[n] x[n] h[0] z-1 x[n-1] h[1] x[n k ] e j ( n k ) e j k e j n z-1 x[n-2] h[2] ) b0 b1e z-1 x[n-N-1] H (e j h[N-1] N 1 h[n]e n 0 j ... bN 1e b2e j n j 2 ... j ( N 1) 21 КЧХ КИХ-цепи имеет вид полинома относительно e H (e j ) j N 1 j n h [ n ] e n 0 b0 b1e j b2e j 2 ... bN 1e ... j ( N 1) Итак, КИХ-цепь умножает спектральную плотность входного сигнала на полином: Y (e j ) H (e j ) X (e j ) N 1 j j j n Y (e ) X (e ) bne n 0 22 Рекурсивные цепи делят спектральную плотность входного сигнала на полином: j j j Y (e Y (e j ) H (e ) X (e j ) X (e ) 1 ) j A(e ) A(e j ) 0 1e j 2e j 2 ... M 1e j ( M 1) Тогда можно записать X (e j ) Y (e j ) A(e j ) 23 X (e j ) Y (e j ) A(e j ) x[n] 0 y[n] 1 y[n 1] 2 y[n 2] ... нормируем ... M 1 y[n M 1] 1 2 y[n] x[n] y[n 1] y[n 2] ... 0 0 0 M 1 ... y[n M 1] 0 переобозначаем 1 y[n] bx[n] a1 y[n 1] a2 y[n 2] ... aM 1 y[n M 1] 24 y[n] bx[n] a1 y[n 1] a2 y[n 2] ... aM 1 y[n M 1] y[n] x[n] b z-1 a1 z-1 a2 z-1 aM 1 25 Пример. Простейшая рекурсивная цепь КЧХ: РУ: H (e y[n] x[n] ay[n 1] j ) 1 1 ae j Импульсную характеристику можно вычислить рекуррентно n 0, [n] 1, y[0] 1 n 1, [n 1] 0, y[1] a n 2, [n 2] 0, y[2] a 2 Итак, ИХ n y[n] h[n] a , n 0 26 y[n] h[n] a n , n 0 Цепь с бесконечной импульсной ИХ (БИХ-цепь) 20 a 0.7 1 1 15.407 a 1.2 15 0.8 0.6 hn hn 10 0.4 5 0.2 3 4.74810 1 0 0 5 10 n 15 15 0 0 5 10 n 15 15 Рекурсивные цепи могут быть неустойчивыми! 27 ЛИС-цепь общего вида (конечного порядка) N 1 H (e j ) j k b e k k 0 M 1 1 r 1 ar e j r 28 ЛИС-цепь общего вида (конечного порядка) N 1 H (e j ) j k b e k k 0 M 1 1 r 1 ar e j r y[n] b0 x[n] b1x[n 1] b2 x[n 2] ... a N 1x[n N 1] ... a1 y[n 1] a2 y[n 2] ... aM 1 y[n M 1] Такой вид имеет РУ произвольной ЛИС-цепи конечного порядка 29 Обычно к цепям предъявляется требование устойчивости. Линейная цепь называется устойчивой, если отклик на воздействие, ограниченное по модулю, также ограничен. Для устойчивости ЛИС-цепи необходимо и достаточно условие абсолютной суммируемости h[n] n Для КИХ-цепей оно выполняется всегда, а для БИХ-цепей анализ устойчивости основан на z-преобразовании 30