Документ 4736129

1.5 Поток вектора напряженности электрического поля
Ранее отмечалось, что величина вектора напряженности
электрического поля равна количеству силовых линий,
пронизывающих перпендикулярную к ним единичную площадку.
Выберем малую площадку dS, расположенную под углом α к
силовым линиям.
Потоком вектора напряженности E через эту площадку
называется число пронизывающих ее силовых линий
dФЕ  En dS
где En – проекция вектора
Она равна
E
(1.5.1)
на нормаль к площадке
En  ( E  n )  E cos
n
.
Рисунок поясняет определение потока вектора
E
dS
E
.
dS = 1 м2 и
α = 0, cosα = 1 и получаем
Если площадка имеет единичную площадь
перпендикулярна вектору
E
, то
ФЕ = E  1м
2
Значит, величина вектора напряженности электрического поля
численно равна потоку этого вектора через перпендикулярную к
нему единичную площадку.
За единицу потока вектора напряженности электрического поля
принимают поток вектора E величиной
E = 1 B/м через
перпендикулярную к нему единичную площадку
2
В
[ФЕ ]  м  В  м
м
Введем вектор площади
Тогда
dS = dS  n
dФЕ = EndS = (E  n)  dS = (E  dS)
Пусть дана произвольная поверхность S . Поток вектора
через эту поверхность равен поверхностному интегралу
ФE   dФE   En dS   E  dS
S
S
E
(1.5.2)
S
Поток зависит от направления нормали n . Для замкнутых
поверхностей за положительное направление нормали принимают
внешнюю нормаль, направленную наружу области, охватываемой
поверхностью. Тогда из (1.5.2) следует, что поток положительный,
если линии напряженности выходят из поверхности, и поток
отрицательный, если линии входят в поверхность.
Найдем поток вектора
E , созданного точечным зарядом, через
S радиуса r. Пусть заряд находится в
сферическую поверхность
центре этой сферы. Величина вектора напряженности такого заряда
q
равна
E=k
r
2
N,
пересекающих сферу, равно произведению густоты линий, то есть Е ,
Силовые линии перпендикулярны сфере, поэтому число линий
на площадь сферы
qS
q4πr
q
1
N = ES = k 2 =
=
2
r
4πε0 r
ε0
Поток равен числу линий N, поэтому
2
ФЕ  N 
q
0
(1.5.3)
Следовательно, поток одинаков для сферы любого радиуса, а
его знак совпадает со знаком заряда. Для положительных зарядов
поток положителен, для отрицательных – отрицательный.
Этот результат справедлив и для случая, когда заряд
охватывает замкнутая поверхность любой формы. Действительно,
каждая силовая линия пересекает поверхность всегда нечетное число
раз, а входящим и выходящим из поверхности силовым линиям
отвечают потоки разных знаков. Поэтому не скомпенсированным
будет вклад в поток лишь от одного пересечения поверхности и,
следовательно, поток через произвольную охватывающую заряд
поверхность равен потоку через любую охватывающую его сферу.
E
E
+
+
S
S
а)
б)
Если замкнутая поверхность не
охватывает заряд, то поток через нее
равен нулю. Это показано на рисунке.
+
Итак, если замкнутая поверхность
заключает в себе точечный заряд q, то
поток вектора E через нее равен
ФE 
E

dS


S
q
0
S
E
ФЕ  0
1.6 Теорема Остроградского-Гаусса для электрического
поля в вакууме
Пусть внутри замкнутой поверхности
S находится n
зарядов qi (i = 1,…,n). Согласно принципу суперпозиции
напряженность поля, создаваемого всеми зарядами, равна
n
E =  Ei
i=1
Подставим ее в выражение для потока через поверхность
n
n
S
n
1
ФE =  E  dS =  Ei  dS = ФЕi =  qi
ε0 i=1
i=1
i=1
S
(1.6.1)
Эта формула выражает собой теорему Остроградского-Гаусса :
поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую
поверхность равен алгебраической сумме зарядов внутри этой
ε
В общем случае заряд может быть распределен непрерывно с
объемной плотностью
dq
ρ(r) =
dV
Элементарный заряд dq в малом объеме dV можно рассматривать
как точечный, поэтому поток вектора напряженности созданного им
поля равен
dq ρdV
dФЕ =
=
ε0
ε0
Суммарный поток от всех элементарных зарядов, заключенных в
конечном объеме
V, охватываемом поверхностью S , равен
ρdV 1
ФЕ =  dФЕ =  E  dS  
=  ρdV
ε0
ε0 V
S
V
Здесь интеграл по объему
V
ρdV

V
дает полный заряд внутри поверхности S, охватывающей объем V.
Итак,
1
ФЕ   E  dS   ρdV
ε0 V
S
(1.6.2)
эта формула выражает собой теорему Остроградского - Гаусса в
интегральной форме: поток вектора напряженности электрического
поля через замкнутую поверхность равен заряду внутри этой
поверхности, деленной на  0 .
1.7 Применение теоремы Остроградского-Гаусса к
расчету электрических полей в вакууме
Электрическое поле системы зарядов можно найти с помощью
принципа суперпозиции полей, но обычно такой расчет сложен.
Теорема Остроградского-Гаусса позволяет значительно упростить
вычисления.
Рассмотрим поля зарядов, непрерывно и равномерно
распределенных в пространстве. Введем понятия поверхностной и
линейной плотности заряда.
Пусть заряд находится в тонком слое. Его распределение
можно описать с помощью поверхностной плотности
, равной

dq

dS
где
dq
Кл


  2
(1.7.1)
м
– заряд, находящийся в слое площади
dS.
Если заряд находится внутри цилиндра, то используют
линейную плотность заряда
, равную

dq

dl
где
dq
Кл


 
(1.7.2)
м
- заряд внутри отрезка цилиндра длиной
dl.
А) Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости
Рассмотрим плоскость, на которой положительный заряд
распределен с постоянной поверхностной плотностью
.
Из симметрии задачи следует, что электрическое поле в точках,
расположенных зеркально относительно плоскости, должно быть
одинаковым по модулю и противоположным по направлению, а
силовые линии электрического поля должны быть перпендикулярны
к плоскости.
Выберем в качестве замкнутой
поверхности цилиндр, основания
+
которого параллельны плоскости.
+
Найдем поток вектора напряженности
через поверхность цилиндра.
+
E
E
Поток через боковую поверхность
+
равен нулю, так как силовые линии
S
+
ее не пересекают.

+
Поэтому полный поток равен сумме потоков через два
основания, площадь каждого из которых равна
Остроградского-Гаусса получаем
S.
По теореме
ФЕ = 2ES = σS
ε0
Откуда
σ
E=
2ε0
(1.7.3)
Следовательно,
напряженность
электрического
поля
равномерно заряженной бесконечной поверхности не зависит от
длины цилиндра и одинакова на любых расстояниях от плоскости, то
есть это поле однородно.
Для отрицательно заряженной поверхности расчет аналогичен,
меняется лишь направление поля.
Б) Поле двух разноименно заряженных бесконечных плоскостей
Пусть имеются две бесконечные плоскости, параллельные
друг другу и заряженные противоположными по знаку зарядами. Для
нахождения напряженности воспользуемся результатом предыдущей
задачи и принципом суперпозиции. Слева и справа от двух
поверхностей электрические поля направлены в противоположные
стороны и гасят друг друга,
E  E  E  0


поэтому в областях 1 и 3
суммарное поле равно нулю
E+
E-
1
2
3
Между плоскостями ( область
2 ) поля направлены в одну сторону
E  E
Поэтому величина напряженности суммарного поля здесь равна
σ
E = E+ + E- =
ε0
(1.7.4)
В) Поле равномерно заряженной сферической поверхности
Пусть сфера радиуса R заряжена так, что ее заряд Q
равномерно
распределен
по
поверхности.
Тогда
поверхностная плотность заряда равна
Q
σ=
2
4πR
Поле такой сферы обладает
сферической симметрией – силовые
линии направлены радиально.
Построим замкнутую поверхность
в виде сферы радиуса r и имеющую
один центр с заряженной сферой.
r R

r
Если
r<R,
то внутри замкнутой поверхности нет зарядов,
поэтому поле равно нулю E = 0.
Итак, внутри заряженной сферы поле равно нулю.
Если r  R , то внутрь замкнутой поверхности попадает
весь заряд сферы, поэтому по теореме Остроградского-Гаусса
Q
1
ФЕ =  EdS = 4πr E =  dq =
ε0 V
ε0
S
2
Откуда
2
2
Q
E = 1 2  1 4πR2    R2
4πε0 r
4πε0 r
ε0 r
(1.7.5)
Таким образом, вне сферы поле тождественно полю точечного
заряда той же величины Q и расположенного в центре сферы.
Непосредственно на сфере напряженность поля равна E =  /ε
0
На рисунке показано распределение напряженности
электрического поля заряженной сферы в зависимости от
расстояния, отсчитанного от ее центра.
E

E=(R2)/(r2)
0
R
r
На
поверхности
сферы
напряженность
электрического поля терпит скачок, равный  /ε0 .
Г) Поле объемно заряженного шара
Рассмотрим шар радиуса R заряженный с постоянной

объемной плотностью
. Его электрическое поле тоже обладает
сферической симметрией.
Снова
построим
замкнутую
поверхность
в
виде
концентрической сферы радиуса r. Если r
поверхности будет весь заряд шара Q, равный
 R , то внутри этой
3
4
Q  V    R
3
По теореме Остроградского-Гаусса, как и ранее, получаем
Q
2
ФЕ = 4πr E =
ε0
Откуда напряженность поля вне шара равна
3
4πR


Q
1
1
R
E=


2
2
2
4πε0 r
4πε0 3r
ε0 r
3
(1.7.6)
Если r < R , то внутри замкнутой поверхности
находится заряд, равный
3
4
Q = ρ πr
3
поэтому по теореме Остроградского-Гаусса
4 r  Q r 3
ФЕ = 4πr E =

3
3ε0
ε0 R
3
2
Следовательно, напряженность поля внутри шара равна

Q r
E=
r
3
3ε0
4πε0 R
(1.7.7)
Зависимость напряженности поля внутри шара от расстояния
линейная.
r
На рисунке показано распределение напряженности
электрического поля объемно заряженного шара в
зависимости от расстояния, отсчитанного от центра шара.
E

 R3
0
Q r
4πε0 R3
ε0 r 2
R
r
Д ) Поле бесконечного заряженного цилиндра
Рассмотрим цилиндр радиуса R заряженный равномерно с
линейной плотностью  . Из симметрии цилиндра как фигуры
следует, что напряженность поля в любой точке должна быть
направлена по прямой, перпендикулярной оси цилиндра.
Выберем замкнутую поверхность
в виде коаксиального цилиндра
L
радиуса r и длиной L. Поток через
его торцы равен нулю, так как
силовые линии их не пересекают.
Пусть r > R тогда поток через
боковую поверхность цилиндра
равен
Q
S EdS =E S dS =E  2πrL  ε0
r
R
E
где Q – заряд внутри выбранной замкнутой поверхности
(пунктирный цилиндр). Отсюда получаем напряженность поля вне
исходного цилиндра
где
Q

L
Q1
1
E=
 1 
2 ε0 L r 2 ε0 r
(1.7.8)
- линейная плотность заряда.
Введем поверхностную плотность заряда согласно
Q
Q
 
 
S 2 RL 2 R


где S – площадь боковой поверхности. Выражая
через
и
подставляя (1.7.8), получаем другое выражение для напряженности
поля вне цилиндра
E=
1 2 R   R
2 ε0 r
ε0 r
(1.7.9)
При r =
R напряженность поля равна E =  /ε0
.
Если r < R , то внутри замкнутой поверхности
зарядов нет, поэтому поле внутри заряженного цилиндра
равно нулю.
Значит, при прохождении через боковую поверхность
напряженность электрического поля терпит скачок,
равный  /ε0 , как и в случае заряженной сферы.
E
На рисунке показано

изменение напряженности
электрического поля от
расстояния, отсчитанного
от оси цилиндра.
E=(R)/(r)
0
R
r
На боковой поверхности цилиндра напряженность
электрического поля терпит скачок , равный  /ε0 .