Явление самоиндукции

Явление самоиндукции
Индуктивность
Индуктивность
Ток I, текущий в замкнутом
контуре, вокруг себя создает
магнитное поле B.
0 Idl sin 
Ф
~
I.
dB 
.
2
4r
ФB   BdS .
Ф  L  I,
S
где коэффициент
В СИ: [ФВ] = Вб; [В] = Тл.
пропорциональности L
называется
индуктивностью контура.
Явление самоиндукции
При изменении тока I в контуре
изменяется создаваемое им магнитное
поле. Следовательно, в контуре
dФ
индуцируется э.д.с.
ES  
.
dt
Этот процесс называется
самоиндукцией.
В системе СИ индуктивность измеряется
в генри: [L] = Гн = Вб/А = В·с/А.
Явление самоиндукции
• Э.д.с. индукции Ei создается внешним
магнитным полем.
• Э.д.с. самоиндукции ES создается при
изменении собственного магнитного поля.
В общем случае индуктивность контура L
зависит от
1) геометрической формы контура и его
размеров,
2) магнитной проницаемости среды, в которой
находится контур.
В электростатике аналогом индуктивности является
электроемкость С уединенного проводника, которая
зависит от формы, размеров, диэлектрической
проницаемости ε среды.
Закон Фарадея для самоиндукции




 dI
dФ
d LI 
dL 
dI
ES  

  L  I
  L .
dt
dt
dt 
dt

 dt
0, если 

L  const 

L = const, если магнитная проницаемость μ
среды и геометрические размеры контура
постоянны.
dI
Закон Фарадея для самоиндукции ES   L .
dt
Знак минус в законе Фарадея в
соответствии с правилом Ленца
означает, что наличие индуктивности L
приводит к замедлению изменения тока
I в контуре.
dI
ES   L .
dt
• Если ток I возрастает, то dI / dt > 0 и,
соответственно, ES < 0, т.е. ток самоиндукции
IS направлен навстречу току I внешнего
источника и замедляет его нарастание.
• Если ток I убывает, то dI / dt < 0 и,
соответственно, ES> 0, т.е. ток самоиндукции
IS имеет то же направление, что и
убывающий ток I внешнего источника и
замедляет его убывание.
Закон Фарадея для самоиндукции
• Если контур обладает определенной
индуктивностью L, то любое изменение
тока I тормозится тем сильнее, чем
больше L контура, т.е. контур обладает
электрической инертностью.
Индуктивность соленоида
Индуктивность L зависит только от
геометрических размеров контура и
магнитной проницаемости μ среды.
ФN NФ
L

, (1)
I
I
ФN – поток магнитной индукции через N
витков,
Ф = BS - магнитный поток сквозь площадку
S, ограниченную одним витком.
Индуктивность соленоида
N
Поле соленоида: B  0 nI  0 I , (2)
l
l – длина соленоида,
n = N / l – число витков на единицу длины
соленоида.
(2)
(1):
N0 NIS 0 N S 0 N Sl
2
L




n
V
.
0
2
lI
l
l
2
2
Экстратоки замыкания и размыкания
По правилу Ленца при включении и
выключении тока в цепи, содержащей
индуктивность L, возникает ток
самоиндукции IS, который направлен
так, чтобы препятствовать изменению
тока I в цепи.
Экстратоки размыкания
Ключ К в положении 1:
E
I 0  , R  R0  r.
R
r обычно мало и R  R0
ES
1 dI
IS    L
R
R dt
ln I
I
I0
Ключ К в положении 2
(размыкание цепи) :
Возникает ES и
обусловленный ею ток
I
dI t R
     dt
L
I I
0
0
R
 t
L
 I  I0
R
 t
e L .

Экстратоки размыкания
L

- постоянная,
R
называемая временем
релаксации – время, в
I  I 0 e  . течение которого сила
тока I уменьшается в е
раз.
Чем больше L, тем
больше τ, и тем
медленнее
уменьшается ток I.
На рисунке  2   1.

t
Экстратоки замыкания
При замыкании цепи
помимо внешней э.д.с.
E возникает э.д.с.
самоиндукции ES.
dI
EL
E  ES
L dI
dt
I

 I0 
 R dt
R
R
E
dI
R

  dt
I  I0
L
R
Замена переменных : I  I 0  a  dI  da
 перем енная
const
a
da t 1
a a  0   dt
0

a
Экстратоки замыкания
t
da
1
a a  0   dt
0
В момент замыкания t = 0 сила тока I = 0,
переменная a0 = – I0, в момент времени t сила тока
I , переменная a = I – I0
ln a 
a
a0
t

t
t
 ln I  I 0    
I
0
0

I  I0
t
I  I0
ln
  .
e  
 I0

 I0

t

 
I  I 0   I 0e ; I  I 0  I 0e  I 0 1  e .



t


t


t
Экстратоки замыкания

 
I  I 0 1  e .



t
I0 – установившийся
ток.
I0  E
R
 2  1
Установление тока
происходит тем
быстрее, чем
меньше L цепи и
больше её
сопротивление R
L

R
Экстратоки замыкания и размыкания
Поскольку сопротивление батареи r обычно
мало, то можно считать, что R  R0, где
R0
–
сопротивление
цепи
без
учета
сопротивления
источника
ЭДС.
Установившийся ток
E
I0 
R0
.
● Мгновенное увеличение сопротивления
цепи от R0 до R.
Установившийся ток был
I0  E
R0
.
При отключении источника э.д.с.
(размыкание цепи) ток
изменяется по закону
R
R
 t
 t
E
I  I 0e L 
e L .
R0
Величина э.д.с. самоиндукции
dI E LR
ES   L 
e
dt R0 L
R
 t
L
R
 Ee
R0
R
 t
L
.
R
ES  Ee
R0
R
 t
L
.
• Если цепь переключается на очень большое
внешнее сопротивление R, например,
происходит разрыв цепи (R >> R0), то ES
может стать огромным и образуется вольтова
дуга между разомкнутыми концами
выключателя.
э.д.с. самоиндукции
• В цепи, обладающей большой
индуктивностью, ES может оказаться больше
э.д.с. источника E, включенного в цепь, что
может привести к пробою изоляции и выходу
из строя оборудования.
Поэтому сопротивление в контур надо вносить
постепенно, уменьшая величину отношения
dI /dt.
Взаимная индукция
Два контура.
Магнитный поток,
образованный контуром 1,
пронизывает контур 2:
Ф21  L21 I1 ,
L21 – коэффициент
пропорциональности.
Если I1 изменяется, то в
контуре 2 индуцируется
э.д.с.
dФ21
dI1
Ei 2  
  L21
.
dt
dt
Взаимная индукция
Аналогично, если в
контуре 2 изменяется I2,
то в первом контуре
изменение магнитного
потока индуцирует э.д.с.:
dФ12
dI 2
Ei1  
  L12
.
dt
dt
Явление возникновения э.д.с. в одном из контуров
при изменении силы тока в другом называется
взаимной индукцией.
Коэффициенты L12 = L21 – взаимная
индуктивность контуров зависит от
1. геометрической формы,
2. размеров,
3. взаимного расположения,
4. магнитной проницаемости среды μ.
Для двух катушек на общем
тороидальном сердечнике
N1N 2 S
L12  L21  0
,
l
N1, N2 – число витков
первого и второго
контура, соответствен,
l – длина сердечника
(тороида) по средней
линии,
S – сечение сердечника.
Трансформатор – устройство,
состоящее из двух и более катушек,
намотанных на один общий сердечник.
Служат для повышения
или понижения
напряжения
переменного тока:
E2 N 2

K
E1 N1
коэффициент трансформации.
К > 1 – повышающий трансформатор.
К < 1 – понижающий трансформатор.
Конструктивно трансформаторы
выполняют так, что магнитное поле
почти полностью сосредоточено в
сердечнике.
В большинстве трансформаторов
вторичная обмотка наматывается
поверх первичной обмотки.
Автотрансформатор – трансформатор,
состоящий из одной обмотки.
Повышающий:
1-2 U подводится,
1-3 U снимается.
Понижающий:
1-3 U подводится,
1-2 U снимается.
Скин–эффект
• При прохождении переменного тока по
проводнику внутри проводника
магнитное поле изменяется.
Изменяющееся во времени магнитное
поле порождает в проводнике
вихревые токи самоиндукции.
Скин–эффект
I
Iв
B
d I /d t > 0
Плоскости вихревых токов
проходят через ось
проводника.
По правилу Ленца, вихревые
I в токи препятствуют
изменению основного тока
внутри проводника и
способствуют его изменению
вблизи поверхности.
Для переменного тока
сопротивление внутри
проводника больше
сопротивления на
поверхности Rвнутри > Rповерх.
Скин–эффект
I
Iв
Iв
B
d I /d t > 0
Плотность переменного тока
неодинакова по сечению:
jmax на поверхности,
jmin внутри на оси.
Это явление называется скин–
эффектом.
Следствие скин–эффекта
• ВЧ токи текут по тонкому
поверхностному слою, поэтому
проводники для них делают полыми, а
часть внешней поверхности покрывают
серебром.
Применение:
• метод поверхностной закалки металлов,
у которых при нагреве токами высокой
частоты (ТВЧ) происходит разогрев
только поверхностного слоя.
Энергия магнитного поля.
Объемная плотность энергии магнитного
поля
Энергия магнитного поля
равна работе, которая
затрачивается током на
создание этого поля.
Работа, обусловленная
индукционными явлениями
dI
dA  ES 
Idt   L Idt   LIdI.
dt
dq
Энергия магнитного поля
Работа dA затрачивается на изменение
магнитного потока на величину dФ.
Работа по созданию магнитного потока Ф:
I
2
LI
A  W   dA   LIdI 
.
2
0
Объемная плотность энергии магнитного
поля
W

V
.
Найдем ω на пример соленоида
L
0 N 2 S
l
0 NI
B
l
B  0 H .
.
Bl
I 
0 N
LI 2
W

2
1 0 N 2 S B 2l 2


2 2
2
2
l
 0 N
B2
BH

V 
V .
2 0
2
Магнитное поле соленоида однородное и
сосредоточено внутри него.
• энергия распределена в соленоиде с
постоянной объемной плотностью
W BH
 
.
V
2
ED
Для электрического поля  
.
2