Адиабатический квантовый компьютер, «квантовый отжиг» и неравновесная термодинамика А.М.Сатанин

Адиабатический квантовый
компьютер, «квантовый отжиг» и
неравновесная термодинамика
А.М.Сатанин
Нижегородский государственный университет им. Н.И.Лобачевского,
Кафедра теоретической физики,
Лаборатория «Теория наноструктур» НИФТИ,Н.Новгород, Россия
“Quantum computing is here NOW!
Moscow understands quantum!”
Mark A. Novotny, CSP2015 talk
План
Классические компьютеры
Элементная схема: транзистор и триггер
Квантовый компьютер
Элементная база: кубит
Эффект Джозефсона
Сверхпроводящие кубиты
Запись и считывание
Принцип суперпозиции
Запутанность (Entanglement)
Адиабатический квантовый компьютер
Туннелирование Ландау-Зинера
Краткие выводы
2
Краткая история классического
компьютера
1. Механические устройства. Счеты 3000 лет
до.н.э., 87 год до н. э. Греции- «антикитерский
механизм» -шестеренки. Счётная машина
Паскаля(«Паскали́на») ,1642 г.
2. Перфокарты. XIX века Герман Холлерит счетно-перфорационные машины (для хранения
числовой информации; перфорация, сортировка,
суммирование, вывод на печать числовых
таблиц) IBM!
(«Паскали́на»)
1822 Бэббидж
3. Релейные вычислительные машины
4. Электронные лампы. Z3 Конрад Цузе 1941,
1945 – ENIAC Конструкторами ENIAC были
Дж.Моучли и Дж.Эккерт.
5. Транзисторы. В 1949, Дж. Бардин, У. Браттейн и
У. Шокли
ENIAC,1945
Аналоговые и цифровые компьютеры
•
Цифровые: Z3 Конрад Цузе 1941 создал первую вычислительную машину
современного типа; 1945- ENIAC - электронный цифровой интегратор и
вычислитель).
Электрические АВМ - это аналоговые вычислительные машины, в которых
переменные представляются электрическим напряжением постоянного тока.
•
«Итера́тор» — специализированная АВМ, предназначенная для решения
линейных краевых задач систем линейных дифференциальных
уравнений,1962.
•
Мозг человека— самое мощное и эффективное «аналоговое устройство» из
существующих. И хотя передача нервных импульсов происходит за счет
дискретных сигналов, информация в нервной системе не представлена в
цифровом виде.
Нейрокомпьютеры— аналоговые, гибридные компьютеры (модели
реализованные на цифровых ЭВМ), построенные на элементах, которые
работают аналогично клеткам мозга.
•
4
Специализированные процессоры
GRAPE-6 задачи N тел, моделирующей формирование
Галактики с использованием 200 млн. частиц, показывает
производительность 38,9 млрд. оп./с.
5
Кассическая машина фон
Неймана
1946 году в журнале «Nature» вышла статья Дж. фон Неймана, Г.
Голдстайна и А. Беркса «Предварительное рассмотрение логической
конструкции электронного вычислительного устройства».
Полевой транзистор
Intel
Дж. Бардин, У. Браттейн и У.
Шокли,
Bell Laboratories, 1947 г.
Инки
Триггер
Английские физики В. Эклс и Ф. В.
Джордан (1918 г.)
Триггер (триггерная
система) — класс
электронных устройств,
обладающих способностью
длительно находиться в
одном из двух или более
устойчивых состояний и
чередовать их под
воздействием внешних
сигналов
От микро- к наноэлектронике
Silicon wafer
(12 inches)
100 mm
Minimum Feature Size
Silicon “chip”
(~ 2 cm sq.)
10 mm
1 mm
100 nm
10 nm
?
1 nm
1950
1970
1990
2010
2030
Year
Currently: >200M transistors/chip
2016:
Technology generation
L  L/√2
~10B transistors/chip
Cost per function drops 25% / yr
2050
Вице-президент NVIDIA: «Закон
Мура мертв»
Вице-президент NVIDIA Билл Дэлли в гостевой
колонке журнала «Форбс» написал, что знаменитый
закон Мура больше не работает и «мертв». По его
словам, современные многопроцессорные решения
становятся все менее эффективными, и простое
увеличение числа ядер уже не дает результата.
Решением проблемы Дэлли считает
энергоэкономичные параллельные системы типа
CUDA.
NVIDIA & ADM
CUDA (Compute Unified Device Architecture) и
CTM (Close To Metal или AMD Stream Computing),
Краткая история квантового компьютера
Richard P. Feynman. Simulating physics with computers. International
Journal
of Theoretical Physics, VoL 21, Nos. 6/7, 1982.
And therefore, the problem is, how can we simulate the quantum
mechanics?
There are two ways that we can go about it:
i) We can give up on our rule about what the computer was, we can
say: Let the computer itself be built of quantum mechanical
elements which obey quantum mechanical laws.
ii) Or we can turn the other way and say: Let the computer still be the
same kind that we thought of before - a logical, universal
automaton; can we imitate this situation?
1985 Deutsch - The concept of a quantum computer; quantum
generalisation of the classical universal Turing machine
1990s, Bernstein and Vazirani - quantum computing and quantum complexity
theory.
1992 Deutsch, Jozsa - rapid solution of problems by quantum computation
1993, Simon described an oracle problem for which quantum computers are
exponentially faster than classical ones.
1994, Shor described a quantum algorithm for efficient factorization of large
numbers
1996, Grover's search algorithm : a fast quantum mechanical algorithm for
database search
1980’s, Weisner and Bennett explored the idea of quantum key exchange
1998, the first functional two qubit nuclear magnetic resonance computer was
demonstrated at UC Berkeley
7-qubit NMR system was demonstrated at IBM Almaden to execute Shor’s
algorithm and successfully factor the number 15
12
Квантовая динамика
В квантовой механике система описывается:
а) волновой функцией

- ”чистое состояние”, замкнутая система;

i
 (t )  Hˆ  (t ) ,
t
б) матрицей протности
̂
 (t )  Uˆ (t )  (0) ,
t


i
Uˆ (t )  Tˆ exp    Hˆ (t )dt  
0


- “смесь”, незамкнутая система.

1 ˆ
ˆ (t )   H , ˆ (t )   St ( ˆ (t ))
t
i
 (t  t )  Uˆ (t )  (t )Uˆ  (t )  t  jums
 Hˆ dis t 
Uˆ (t )  exp  i



Sequential quantum computer
Последовательный квантовый
компьютер
Начальное состояние
 (0)  1 (0)   2 (0)   3 (0) 
Действуя на начальный вектор
 (t )  Uˆ (t )  (0) ,
  n (0)
t


i
ˆ
ˆ
ˆ
U (t )  T exp    H (t )dt  
0


Считываем ответ
Наблюдаемая
Sˆ sn  sn sn ,
pn  sn  (t )
2
14
Важная теорема. Пусть имеется унитарная матрица
ˆ ˆ †  Iˆ,
Uˆ , UU
размерности N*N.
Такую матрицу можно представить в виде
разложения на произведение двухуровневых
унитарных матриц, действующих не более чем
на двух базисных векторах.
Пример.
b 0  c 0 d   1 0
0
 a






*
*
ˆ
U   b a 0   0 1
0
e
f


* 
*
*
 0
  d *
0
1
c
0

f
e




Кубит
 
1
 0
       
 
 0
 1
   1
2
2
15
Universal gates
1 1 1 
Hadamard 
 1 1
2

0 
1
rotation  
i / 4 
0
e


1
0
CNOT  
0

0
0 0 0

1 0 0
0 0 1

0 1 0
16
Двухуровневая система
Классика
0
Квантовая система
1
Принцип суперпозиции
Фталоцианина
A.Tonomura, Am.J.Phys.57,117(1989)
University of Vienna,
Thomas Juffmann et
al./Nature
Nanotechnolog
Бит и кубит
Basis (logical) state 0
0
Superposition states

  cos( )
2

i

  sin( )e 2
2
1
Basis (logical) state 1
(a) One bit
(b) One qubit
Раби осцилляции в двухуровневой системе
При w  w0 (используя
приближение RWA)
Кубиты
NMR
Quantum Dot
Superconductor SET (charge)
Josephson Junctions (phase)
3 Junction SQUID
(flux)
RF SQUID
Quantum!!
Chip?
scalability
coupling
Ions
Neutral Atoms
CQED
Coherence
atomic
mesoscopic
macroscopic
Экспериметнальные системы
Требования: возможность контроля на квантовом уровне, большое
время декогерентности и т.д.
Decoherence free
circuit? Quantum?
Олег Астафьев (МФТИ, Лаборатория искусственных квантовых),
Алексей Устинов (Российский квантовый центр и МИСиС) и
Валерий Рязанов (Институт физики твердого тела РАН)
МАЙ 24, 2015
22
What are Josephson junctions?
A Josephson junction is composed of two bulk superconductors separated by a
thin insulating layer through which Cooper pairs can tunnel.
B. D. Josephson, “Possible new effects in superconductive tunneling,”
Phys. Lett., Vol. 1, pp. 251–253, July 1962. P.
The devices are named after Brian Josephson, who predicted in
1962 that pairs of superconducting electrons could "tunnel" right
through the nonsuperconducting barrier from one superconductor to
another. He also predicted the exact form of the current and voltage
relations for the junction. Experimental work proved that he was
right, and Josephson was awarded the 1973 Nobel Prize in Physics
for his work.
23
C.H. van der Wal. Technische Universiteit Delft, 2001.
How do they work?
R. P. Feynman, R. B. Leighton, and M.
Sands, The Feynman Lectures on Physics,
Vol. III
  L
 L   L ei L ,
i t  U L L  K R ,




 R   R ei R .

R

i
 U R R  K L .

t
The supercurrent through the junction is I  I c sin  , where the critical current
  L  R
Ic 
2K
L .R
is the phase difference of the two superconductors across the junction
The time variation of this phase difference is related to the potential difference
V between the two superconductors:
d 2eV

dt
In summary:
 I  I c sin 

 d 2eV
 dt 
24
 I  I c sin 

 d 2eV
 dt 
Energy of the junction:
CV
J  d 
H
 E J (1  cos  )  I ext  
  E J (1  cos  )  I ext
2
2e
2  dt 
2e
2
2
J  C ( / 2e ) 2
E J   / 2e  I c
U(φ)/EJ
Iext/Ic=0
5
2
4
6
-5
0.5
-10
-15
φ/ 2 
0.95
Tilted washboard potential of a Josephson junction for different values of a
bias current
25
Реализация JJ
Переход
Джозефсона
SQUID
Потоковый кубит (3JJ qubit)
2πf-φ1-φ2
EJ 1  EJ 2  IC 0 / 2
EJ 3   EJ 1  IC
(б)
 0  h / 2e
T  20mK
f   q /  0  внешний магнитный поток
i  разность фаз волновой функции на i-ом переходе
J.E. Mooij, et.al, Science 285, 1036 (1999).
Yu. Makhlin, G. Schon, and A. Shnirman, Rev. Mod.Phys. 73, 357 (2001)
Потенциальный рельеф
J.E. Mooij, et.al,
Science 285,
1036 (1999).
U J   EJ {2cos  cos    cos(2 f  2 )}
f   q /  0  внешний магнитный поток, может быть подстроен
При f  0.5 минимум потенциальной энергииU J :
SQUID readout of flux qubit
qubit
+underdamped SQUID
~20 ns
To hold voltage state
after switching
SQUID
Ib pulse
~30 ns rise/fall time
~1 ms
0
1
qubit
switch
0
Switching probability (%)
100
time
w/o
-pulse
80
60
40
20
w/ -pulse
0
1.30
1.32
1.34
I bias (a.u.)
I. Chiorescu, Y. Nakamura, C.J.P.M. Harmans, and J.E. Mooij, Science 299, 1869 (2003)
1.36
Entanglement
Entanglement is a term used in quntum theory to describe the way that particles
of energy/matter can become correlated to predictably interact with each other
regardless of how far apart they are.
E. Schrödinger, Naturwissenschaften 23, 807
(1935).
The superposition principle is the basis of quantum theory. When this principle is applied to composite
systems a new concept of entanglement is appeared. It was introduced by Schrödinger in quantum
theory in the last century and at present time this principle became a central topic in discussion as
main resource of quantum information and quantum computational problems. Entanglement is a
property shared by two or more correlated systems. Quantum correlations are also responsible for a
number of interesting effects in mesoscopic systems. These correlations may be realized in
superconducting waveguides and circuits with embedded Josephson junctions and such kind of
circuits are considered as promising candidates for future quantum information processing.
Interaction
c   c 
An initial state of the decoupled system:
Entanglement:
c



  c   0  c ,0  c ,0

U c ,0  c ,0  c , 1  c , 1
A maximal entangled state:
c  c
s 

1
, 1  , 1
2

Нow to prepare entangled states of photons in the microwave frequency
domain?
Связанные кубиты
Два связанных кубита
A. Izmalkov et al., Phys. Rev. Lett. 93, 037003 (2004);
M. Grajcar M. et al., Phys. Rev. B 72, 020503 (2005);
A. Izmalkov, M. Grajcar, E. Il`ichev, Phys. Rev. Lett. 101,
017003 (2008).
Схема для измерений
Three flux qubits coupled by Josephson junctions
Sample parameters were
reconstructed from measurements:
J12=J13=J23=0.61 K,
123 =70 mK,
Ip1=Ip2=115 nA, Ip3=125 nA
A. Izmalkov et al., EPL, 76, 533, (2006)
Four qubit sample
Layou
A3
Iq3
Micrograph
Iq1
q1
q3
A2
q2
Ib4
A1
Iq2
Tunable coupling
Layout
Coupler current-flux relation
0.6
0.4
7
Ia
fc
9
Ib
4
5
Ib2
6
I/IC7,9; dI/dfcIC7,9
3
qubit b
Ib1 2
coupler
1
qubit a
8
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
fc
E8/E7,9=1/2, E2,5/E1,3,4,6=0.75, E1/E7=7/20
Interaction strength
1 I C ( f C )
S. H.W. van der Ploeg et al., PRL 98, 057004 J ( f c )  2e I 2  I 2 ( f ) I a I b
7
C
C
(2007)
Адиабатический квантовый
компьютер
Идея:
H A |  A   E A | A 
t  0, | g 
H A  HB
Edward Farhi, Jerey Goldstone, Sam Gutmann, and
Michael Sipser.
Quantum computation by adiabatic evolution.
quant-ph/0001106, 2000.
D. Aharonov et al. quant-ph. 0405098 (2004)
Any quantum algorithm can be transfomed
to adiabatic quantum computation
H (t )  H A   (t )( H B  H A ), 0   (t )  1
B  считываемответ!
H есть N – кубитный («частичный») гамильтониан, но с
ростом числа частиц щель с спектре уменьшается.
Возрастает роль процессов туннелирования Ландау-Зинера!
Адиабатическое приближение
H=(t )  H=( p, q,  (t ))

i
 (t )  H =( t )  (t )
t
H=( p, q,  (t ))
k (t )   k (t ) k (t )
 (t )   ck (t )e

i
t
  k ( t) dt
0
k (t )
k

i
ck (t )  i
t
e
l
 i l ( t )
l (t )
k (t )
cl (t )
t
41
ck (t )  e
 i k ( t )
k 
ck (t )
i
t
  k ( t) dt
0
H =( t )
k ( t )
t
l (t )
 (t )
l (t )   k (t )   l (t )  k (t )

 kl
t
t

i
ck (t )  i  (t )
t
l
k ( t )
H =( t )
 ( t )
l (t )
  k (t )   l (t ) 
ei ( k ( t ) l ( t )) cl (t )
Условие адиабатичности
t  sT ,
0  s 1
max ck (0) k ( s )
 min 
k
H =( s )
l ( s )
s
( s)   l ( s) 
2
 T
42
Адиабатическая эволюция
AQC is essentially a form of analog computing
43
Пример: туннелирование ЛандауЗинера
i
 c 
  c 

H
(
t
)
,




t  c 
 c 
H (t ) |  (t )   E (t ) |  (t ) 
1  v
H (t )   
2 
E  
 
v 
1
( v ) 2   2
2
2
PLZ  exp(  2 / 2v )
Et
1
0
Ландау, Зинер, Штюкельберг и
Майорана
1
2
0
1
2
3
t
4
5
6
L.D. Landau, Phys. Z. Sowietunion, 1, 88 (1932); 2,
46 (1932)
C. Zener, Proc. R. Soc. A137, 696 (1932)
E.C.G. Stückelberg, Helv. Phys. Acta 5, 369 (1932)
E. Majorana, Nuovo Cimento 9, 43 (1932).
Теория Зинера
1  v
H (t )   
2 
 c 
  c 
i    H (t )   ,
t  c 
 c 
 
v 
H (t ) |  (t )   E (t ) |  (t ) 
 2c  iv (v )2   2 


c  0
2
t
4
 2

E  
1
( v ) 2   2
2
2
2




i / 4 
i / 4 
c ( )  A D 2  2e
   B D 2   2e

i
i
v 
v 
v 
v 
2
1
0.8
0
0.6
Pt
Et
1.0
0.4
1
0.2
2
0
1
2
3
t
4
PLZ  exp(  2 / 2v )
5
6
0.0
0
1
2
3
t
4
5
6
Два кубита
46
A. Deep Freezer
A massive refrigeration system uses liquid
helium to cool the D-Wave chip to 20
millikelvin—or 150 times colder than interstellar
space.
B. Heat Exhaust
Gold-plated copper disks draw heat up and
away from the chip to keep vibration and other
energy from disturbing the quantum state of the
processor.
C. Niobium Loops
A grid of hundreds of tiny niobium loops serve
as the quantum bits, or qubits, the heart of the
processor. When cooled, they exhibit quantummechanical behavior.
D. Noise Shields
The 190-plus wires that connect the
components of the chip are wrapped in metal to
shield against magnetic fields. Just one channel
transmits information to the outside world—an
optical fiber cable.
47
48
49
50
51
Температурная зависимость вероятности перехода
цепочки спинов в основное состояние при квантовом
отжиге (эксперимент и теория).
M.W.Johnson et al., Nature 473, 194
(2011).
52
Expanding simulated annealing
Tadashi Kadowaki and Hidetoshi Nishimori. Quantum annealing in the transverse
ising model. Physical Review E, 58(5):5355, 1998.
T. Lanting et al. Entanglement in a Quantum Annealing Processor
PHYSICAL REVIEW X 4, 021041 (2014)
53
T. Lanting et al. PHYS. REV. X 4, 021041 (2014)
54
55
T. Lanting et al. PHYS. REV. X 4, 021041 (2014)
56
T. Lanting et al. PHYS. REV. X 4, 021041
(2014)
57
T. Lanting et al. PHYS. REV. X 4, 021041 (2014)
58
59
Computational Complexity
Turing machines
Church-Turing thesis:
A function is efficiently calculable only if it is computable by a Turing machine
Complexity classes
O (n )
Class P (for Polynomial): those problems which
are for
O(n d )
input sized n and some constant d
NP class
A special group of problems are those that fall into the NP class: these are decision
problems (that is, problems whose output is either yes or no) for which verifying
whether or not a candidate solution is correct is in P.
Problems are considered hard to solve if they require an
exponential number of steps, e.g.
O (2n )
60
61
Layout of the qubits in the C4 Chimera chip
employed to train the car detector. The
irregular graph structure results from the
fabrication process not yet rendering all
qubits functional.
62
The traveling salesman problem
N
d ij
(i, j  1,..., N )
1
U  T  T 
2
S  2U  I
A tour : Tij  1  visit , Tij  0 novisit
H =
1
d U
2 i , j ij ij
H =
1
d U
2 i , j ij ij
 ij  Sij
1
H =  dij 
2 i, j 
2





63
64
Термодинамика и вычисления
1. Демон Максвелла ,1871 – нарушение второго
начала термодинамики: разделение частиц на
горячие и холодные путем управления заслонкой “gate”!
2.1921, Leo Szilard - превращение информации в
тепло
3. Rolf Landauer, 1961 - Landauer's principle – минимум энергии на
«стирание» бита kT ln 2,
4. 1970s, Bennett, Fredkin, Toffoli, вычисления обратимы пока нет «стирания»
65
66
Неравновесная термоднамика
1. Отклик систем на внешнее воздействие: формула Кубо
2. Переход в состояние равновесия: кинетическое уравнение
3. Флуктуации: Найквист, соотношение симметрии Онсагера,
флуктуационно-диссипационное соотношние Каллена-Велтона
P (Q ) 
J 
2
w
 w 2 Q 2 
w
1
e
2 CT
Q2

2 CT
J 
2
w
T

R
67
Бочков-Кузовлев (1977)
H=(t )  H=( p, q,  (t ))
z  ( p, q )
H =( t )  H =0 ( p , q )   ( t )Q ( p , q )
t
W    ( t )Q ( p ( t ),q( t ))dt 
0
Michele Campisi, Peter Ha“nggi, and Peter
68
Talkner,RMP(2011)
Work is not a quantum observable
Michele Campisi, Peter Ha”nggi, and 69
Peter
Talkner,RMP(2011)
Краткие выводы
1. Адиабатический квантовый компьютер –
реальный коммерческий проект
2. Проблема квантового отжига тесно связана с
рядом актуальных трудно решаемых задач:
фазовые переходы, коммивояжера
3. Адиабатическая эволюция имеет пересечение
с переходом системы в состояние
неравновесной термодинамики
70