ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ Чужков Юрий Петрович Доцент каф. физики Канд. физ.- мат. наук

ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ
Чужков Юрий Петрович
Доцент каф. физики
Канд. физ.- мат. наук
План занятия
1. Электрический заряд. Закон Кулона
2. Напряженность электрического поля.
Принцип суперпозиции. Распределенные заряды.
3. Поток вектора напряженности.
Теорема Гаусса
4. Применение теоремы Гаусса к расчету
некоторых электрических полей.
5 Решение задач
Известно четыре вида
фундаментальных взаимодействий:
• гравитационное;
• слабое
•электромагнитное.
• сильное
Электрический заряд
Электрический заряд – физическая
величина, характеризующая
способность тел или их составных
частей вступать в электромагнитные
взаимодействия.
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ЗАРЯД
Атом
Ядро
Электроны
Нуклоны
Протоны
qp = +1,6∙10-19 Кл
Электромагнитное
поле
Нейтроны
qn = 0
Наименьший электрический заряд, встречающийся в природе, называется
элементарным зарядом и обозначается e. e = 1,6∙10-19 Кл
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ЗАРЯД
В природе существует только два вида электрических зарядов –
положительные (протоны) и отрицательные (электроны)
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ЗАРЯДА:
• Закон сохранения электрического заряда
Q
 const
Суммарный заряд электрически изолированной системы не может
изменяться при любых процессах, происходящих внутри этой системы
i
i
• электрический заряд квантуется.
Всякий заряд q есть величина, кратная e:
q   Ne
• электрический заряд инвариантен по отношению к различным системам
отсчета. Во всех системах отсчета заряд тела или частицы имеет одно и то
же значение;
• электрический заряд – величина аддитивная. Заряд любой системы
равен сумме зарядов составляющих эту систему тел (частиц).
электростатика
Закон Кулона
Взаимодействие зарядов подчиняется третьему закону Ньютона: Силы
взаимодействия между зарядами равны по величине и направлены
противоположно друг другу вдоль прямой, связывающей эти заряды

F1

F2
+q1
+q
r
+q2
,
-q
 
F1 F2
+q1
-q2
.
.
Закон
Кулона
Задача 2
В вершинах квадрата со стороной а = 0,1 м находятся
положительные одинаковые заряды q по 4ˑ10-9 Кл. Какой
отрицательный заряд qx нужно поместить в центр
квадрата для того, чтобы вся система зарядов находилась
в равновесии?
Дано: а = 0,1 м; q1 = q2 = q3 = q4 = + 4ˑ10-9 Кл.
Найти: qx .
+q1
-qx
+q3
+q4

F13
1) Каждый из зарядов в вершинах квадратов находится в
эквивалентных условиях, поэтому достаточно рассмотреть
равновесие лишь одного (любого) заряда.
+q2

F14
+q1
F12
+q2
-qx
2) На любой из 4-х зарядов (например, на q1) со стороны других
трех зарядов действуют силы отталкивания, равнодействующая
которых направлена по диагонали квадрата в сторону от центра.
3) Между зарядами q1 и q2 действует отталкивающая сила
5) Векторное сложение этих сил по модулю дает:
+q3

q2
F12  k 2 .
a
4) Между зарядами q1 и q4 действует такая же по величине сила
q2
F1  2k 2
a
+q4

q2
F14  k 2
a
Закон
Кулона
..
.
6) В этом же направлении на заряд q1 со стороны
заряда q3 действует отталкивающая сила
Задача 2
F13  k
q2
F12
a 2 
2
7) Результирующая сила, действующая на заряд q1 со стороны
зарядов равна:
q2
q2
F  2k 2  0 ,5k 2 
a
a

F13


F14
+q1
+q2
-qx
+q4
+q3

q2
2  0 ,5 k 2
a
8) Для того, чтобы все заряды находились в равновесии необходимо приравнять
эту силу силе взаимодействия помещаемого в центр заряда q x с зарядом q
k
qx q
 2
 a

2


2



q2
2  0,5 k 2
a
Откуда
qx 

qx  0,96  4  10 9  3,84  10 9 Кл
qx  3,84  10 9 Кл

2  0 ,5
q  0 ,96 q
2
Закон
Кулона
Задача 3
На тонком кольце радиусом 58 см равномерно распределен заряд 54 нКл.
Определить силу, действующую на точечный заряд 66 нКл, находящийся
на осевой линии на расстоянии 23 см от центра кольца.
Дано: R = 0,58 см; Q = 54 нКл; q = 66 нКл; а = 0,23 см.
Найти: F.
dl
R
Q
Решение

r dF

q
а

dF
dF

d
F
dF
x
1) Закон Кулона справедлив только для точечных
зарядов, поэтому необходимо заряд кольца
представить как множество точечных зарядов.
2) На элементарном участке кольца
заряда равна
dl величина
dl
Q
dQ 
dl
2R
3) сила его взаимодействия с точечным зарядом :
dQq
Qq  dl
dF  k 2  k
r
2Rr 2
r 2  R2  a2
Закон
Кулона
Задача 3



4) Вектор dF можно разложить на две составляющих dF и dF

5)  dF  0
F
2 R
 dF
dF  dF  cos 

0
cos  
dl
R
Q

r dF

q
а

dF
dF

d
F
dF
2R
x
F
 k 2Rr
0
dl
a
a

r
R2  a2
Qqa
2
R a
2
dl  k
Qqa
F k 2
R  a2


Qqa
2R R  a
2

54  10 9  66  10 9 0,23
5
F  9  10

3

10
Н  30 мН
3
/
2
2
2
0,58  0,23 
9
Ответ: F = 30 мН
2R
dl ,


2 3/ 2
0
Напряженность
Напряженность электрического
электрического поля
поля

 F
E
q0
q
Ek 2
r


F  qE
Напряженность поля – силовая
характеристика
1 q
E
 2
40 r

E
Силовые линии
напряженности поля

F
+q

E

E

E
+q
-q
Распределенные заряды

dq
dS
Кл/м2
Поверхностная
плотность заряда

dq
dl

Кл/м
Линейная
плотность заряда
dq
dV
Кл/м3
Объемная плотность
заряда
Напряженность электрического поля
Задача 4
В электрическом поле Земли с напряженностью 490 В/м в равновесии находится заряженная
частица массой 5 миллиграмм . Определить. заряд частицы. Ответ выразить в нанокулонах.
Дано: Е = 490 В/м; m = 5·10-6 кг.
Найти: q (нКл).

E

Fe
,
Решение
.
1) На заряд действуют две силы: сила тяжести и сила
действия электрического поля :
FТ  mg
q

mg
2) Поскольку частица находится в равновесии
mg  qE
5  10 6  9,8
q
 10 7 Кл  100нКл
490
Ответ: q = 100 нКл.
Fe  qE
q
mg
E
Ответить на вопрос:
Какой знак заряда должна иметь частица,
чтобы находиться в состоянии равновесия?
Напряженность электрического поля
.


E   Ei
.
Принцип суперпозиции
Напряженность поля, созданного системой неподвижных зарядов, равна векторной
сумме напряженностей полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности:
В вершинах равностороннего треугольника со стороной а = 0,1 м
находятся заряды q1=q2=+20 нКл и q3= - 20 нКл. Найти
напряженность электрического поля в центре треугольника.
Задача 5
Дано: а = 0,1 м; q1  q2  20 нКл q3= - 20 нКл
Найти:
E( 0 )
Решение
B q
3

EC

EB
 


E  EC  E A  EB
EA
 
A
 q1
0
a
1) Напряженность электрического поля в центре
треугольника (в т.0) равна векторной сумме
напряженностей, создаваемых каждым зарядом
C
 q2
2) В равностороннем треугольнике высоты равны, а
расстояния от каждого заряда до т. 0
OA  OB  OC 
a
3
.
Напряженность электрического поля
Задача 5
Принцип суперпозиции
B q
3

EC

EB
3)
EA
 
A
0
 q1


E  2 EA 
a
3q
2 0 a 2



1
q
1 3q
E A  E B  EC 

2
4 0  a 
4 0 a 2


3


C
 q2
4) Из рисунка видно, что напряженность
электрического поля в т.0 направлена вдоль ОВ



E  E A  2 E A cos 
  60 0  равносторонний треугольник)
При расчете удобнее пользоваться
коэффициентом пропорциональности
Подставляя числовые данные, получим
 6  9  10 9  20  10 9
E 
 108 кВ / м
10 2

Ответ: E  108кВ / м
k
1
4 0
в виде k  9  10 9
Задача 6
Напряженность электрического поля
Две плоские пластины площадью 60 см2, заряженные
равными по величине зарядами притягиваются с силой 6
Н, находясь в вакууме. Расстояние между пластинами
много меньше их линейных размеров. Определить
находящиеся на них заряды.
Дано: S  60см 2 ; F  6H
Найти: q
Решение.
q
q
S
q1  q2  q
1) Имеем заряженную пластину, создающую вокруг себя
электрическое поле . В этом поле находится другая пластина
с зарядом q, которая испытывает силовое действие поля.
2) Сила, с которой поле Е действует на заряд q, равна F  qE
3) По условию задачи расстояние между пластинами много
меньше размеров пластин, что позволяет рассматривать
пластины, как бесконечные плоскости
Задача 6
Напряженность электрического поля
4) Напряженность электрического поля бесконечной заряженной
плоскости в вакууме находится по формуле

  q / S  поверхностная плотность заряда
E
5) С учетом этого напряженность поля будет: E 
6) Выражение для силы
q
q2
F q

2 0 S 2 0 S
7) Подстановка числовых данных
Ответ: q = 8 мкКл
2 0
q
2 0 S
q  2 0 SF
q  2  8,85 10 1260 10 4  6  8 10 6 Кл
q
q
S
Электростатика
электростатика
электростатика
Поток вектора напряженности поля. Теорема Гаусса
dS

E
E


n
S2
+q
 
Ф   EdS
S1
S
+q
n
 
dФ  E  dS  cosn, E   E  dS  cos   En  dS

Поток вектора E через поверхность S1 не
равен нулю, т.к. S1 охватывает заряд
q

Поток вектора E
нулю, т.к. S2
 
Ф   Ed S 
S
q
i 1
i
0
Теорема
Остроградского - Гаусса

Ф   EdS  0
S
через поверхность S2 равен
q
не охватывает заряд
Поверхность не охватывает заряды
Задача 7
Электростатика
Электростатическое поле создается в вакууме бесконечной равномерно заряженной
плоскостью с поверхностной плотностью σ = 1 мкКл/м2. На некотором расстоянии
от плоскости находится плоская круглая площадка радиусом r = 10 см. определить
поток вектора напряженности сквозь эту площадку, если ее плоскость составляет с
линиями напряженности угол β = 300.
Дано: σ = 1 мкКл/м2 ; r = 10 см; β = 300. r = 10 см.
Найти: Ф
1) Поток вектора напряженности
Решение
σ 
n
2) Поле бесконечной плоскости
En
β
S = πr2
Ф = 887 Вб

E
Ф = EScosα
r 2
Ф
sin 
2 0
Ф   E n dS
S
E

2 0


cos   cos     sin 
2

En = Ecosα
Ф = ESsinβ
10 6  3,14  10 2 
0
Ф
sin
30
 887 Вб
12
2  8,85  10
Электростатика
Электростатика
Применение теоремы Гаусса к расчету напряженности поля
Бесконечная
плоскость
Две
разноименныхп
плоскости
σ>0
σ>0
σ <0

E
Бесконечная
нить (цилиндр)

E
Заряженная
сфера
σ
λ>0
r
R
ρ
Е=0
r
r
E

2 0
E

0
E

2 0 r
При расчетах: расстояние r – от центра (оси)
сферы, шара (цилиндра) до точки наблюдения
r R , (внутри шара)
R 2
E
0r 2
1 q
E
4 0 r 2
E
1 q
r
r

4 0 R 3
3 0
1
q
E
40 r 2
rR
R 3
E
2
3 0 r1
(вне шара),
Электростатика
Задача 8
Сферическая поверхность радиуса R = 20 см с поверхностной
плотностью σ = 18 нКл/м, расположена в вакууме. Определить
напряженность электростатического поля : 1) на расстоянии r1 = 15 см от
поверхности сферы; 2) на расстоянии r2 = 10 см от центра сферы.
Дано: R = 20 см; σ = 18 нКл; r1 =15 см; r2 =10 см.
Найти: Е
Решение
r1
σ
R
r2
1) В качестве произвольной замкнутой поверхности
следует выбрать концентрическую сферу.
2) Из соображения имметрии для всех точек поверхности
En =E(r)=const
3) Согласно теореме Гаусса
 
q
E

d
S

E
dS

S
S n  0
q –общий заряд, охватываемый произвольной поверхностью S
Электростатика
Задача 8
σ
4)
r1
E
0
E~
R
1
r2
  4R 2
E  4r 
0
  R2
E
 0r 2
2
5) Вычисления
r1  r  R
E
18  10 9  0,2 2
8,85  10
12
 0,15  0,2
2
r
В случае когда r < R поверхность радиусом r2 не охватывает зарядов,
поэтому внутри равномерно заряженной сферической поверхности
электростатическое поле отсутствует: Е = 0
 660 В / м
Заряды могут сближаются по дуге окружности.
Вопрос: как при этом изменяется величина и направление вектора
электрического поля в точке 0 ?
Варианты ответов:
1. Возрастает;
Заряды
разного знака
0
Заряды одного знака
2. Убывает;
3. Не изменяется,
т.к.расстояние
до т.0 не изменяется
0
q>0
q <0
q >0
Верный ответ:
q >0
q >0
Заряды могут сближаются по дуге окружности.
Вопрос: как при этом изменяется величина и направление вектора
электрического поля в точке 0 ?
Варианты ответов:
Заряды
разного знака
0
Заряды одного знака
1. Возрастает;
2. Убывает;
3. Не изменяется,
т.к.расстояние
до т.0 не изменяется
0
q>0
q <0
q >0
q >0
q >0
Спасибо за внимание!