ugol pryamoj_ploskostu

Угол между
прямой и
плоскостью
Титова В.А.,
учитель математики СОШ № 5
Взаимное расположение прямой и плоскости
Прямая лежит в плоскости
а
Прямая не лежит в плоскости

а || 
0°
а 
а

а 

0°
а не  
а
90°

а
А
0°< А <90°
B
…
1. Наклонная АВ

А
2. Основание наклонной …
А
3. Перпендикуляр к плоскости …
ВН
4. Основание перпендикуляра …
H
5. Проекция наклонной АН
…
6. Угол между наклонной и плоскостью В
…АН
H
Задача 1
D
Дано: АВCD – треугольная пирамида,
АВС – прямоугольный ,
C=90°
ВD (АВС) .
Т
H
Найти: (DС; (АВD))
В
А
C
Решение:
1.
2.
3.
4.
5.
Наклонная - DC
Основание наклонной - D
Перпендикуляр - CH
Основание перпендикуляра - H
Проекция – DH
6. (DС; (АВD)) =
С DH
- искомый
Задача 2
А1
K1
C1
F1
D1
B
Дано: АВСDFKA1B1C1D1F1K 1 –правильная
призма,
АА1 (АВС)
Т
B1
Найти: (В1F; (BB1C1))
C
А
Решение:
D
K
F
C
120°
B
А
K
F
D
1.
2.
3.
4.
5.
Наклонная - B F
1
Основание наклонной - B1
Перпендикуляр - FC
Основание перпендикуляра - C
Проекция – B1C
6. (В1F; (BB1C1))=
FB1C - искомый
М
Задача 5
Дано:
– правильный
треугольник,
Из
центраАВС
О правильного
треугольника
АВС
АС=1212 3 3, восстановлен
т.О – центр АВС,
со стороной
перпендикуляр
ОМ. Угол
прямой
ОМ
(АВС),
(АМ;наклона
(АВС))=60°
АМ к плоскости треугольника равен 60°.
Найти: АМ
длину отрезка АМ.
В Найдите
Решение:
Т
60°
А
О
К
1.
С
АМО :
А+
АОМ = 90°
АМО = 30°
МАО = 60°
В + С = 180°
2. АСК: АС=12 3
АКС = 90°
АК= АС2 – СК2=
по свойству равностороннего треугольника
=
(12 3 )2 – (6 3 )2 = 18
СК=СВ:2=6 3
2
2
3. АО
=
АО = АК = 2 ·18 = 12
ОК
1
3
3
по свойству медиан равностороннего треугольника
4. АМ = 2 · АО = 2 · 12 = 24
Ответ: 24
АМ=2АО
М
Задача 5
АВС – правильный треугольник,
АС=12 3 , т.О – центр АВС,
ОМ
Т
Дано:
(АВС), (АМ; (АВС))=60°
В Найти: АМ
60°
А
О
Решение:
К
С
1.
АМО :
А+
АОМ = 90°
МАО = 60°
В + С = 180°
2. АО = R =
АМО = 30°
а3 3 12 3 3
= 12
=
3
3
3. АМ = 2 · АО = 2 · 12 = 24
Ответ: 24
АМ=2АО
В1
С1
А1
D1
Дан
прямоугольный
параллелепипед
Дано:
АВСDA1B1C
1D1 - прямоугольный
АВСDA1B1параллелепипед,
C1D1, в основании которого
АВСD – лежит
квадрат,
квадрат соAD
стороной
2,5. Диагональ
= 2,5, диагональ
B1D DB
= 51 равна 5.
Найдите градусную меру угла между диагональю
DВ1 и плоскостью основания АВС.
5
С
В
?
А
2,5
B1DB:
гипотенуза
B 1D = 5
Найти: (В1D; (АВC))
Решение:
(В1D; (АВC)) =
D
B1ВD = 90°
Задача 6
COS
В 1DB
2,5 2
BD
В 1DB =
=
=
B 1D
5
ABD: BD = AB2 + AD2 = 2•AD2 = 2 • 2,52 = 2,5 2
B1D В = 45°
(В1D; (АВC)) = 45°
Ответ: 45°
2
2
ЕГЭ 2004
Задача 7
Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Его диагональ B1D=4 2
составляет с гранью ABCD угол 30°, а с гранью DD1C1C угол 45°. Найдите
объём параллелепипеда.
С1
В1
D1
В
30°
45°
45°
А
Дано: АВСDA1B1C1D1 - параллелепипед,
АА1 (АВС), диагональ B1D=4 2
Т
А1
(В1D; (АВC))=30°, (В1D; (DD1C1))=45°
Найти: VАВСDA B C D
С
Решение:
1
1
1
1
По т.Пифагора:
B1D2=CD2+B1C2
D
1. B1АD :
B1AD = 90°
B1DA = 30°
B1D=4 2
2. B1DC:
B1DС = 45°
B1D=4 2
3. DCС1:
АB1=
1
B D =2 2
2 1
СB1D = 45°
B1DC - р/б
по свойству
DС1=АВ1= 2 2
В1С=DС
по свойству
р/б треугольника
С1СD = 90°
DС=4
( 4 2 )2 = 2CD2
По т.Пифагора:
CD2 = 16
CD = ±4
- 4 – не удовлетворяет
смыслу задачи
CD = 4
СС1= С1D2 – DС2
СС1=
(2 2 )2 – 4 =
-8
=…
Задача 8
ЕГЭ 2003
Основанием пирамиды АВСЕ является
прямоугольный треугольник с гипотенузой АВ2 = 120.
СЕ – высота пирамиды, боковые рёбра АЕ и ВЕ
наклонены к плоскости основания под углами 60° и
30°, соответственно. Найдите высоту пирамиды СЕ.
Е
30°
С
60°
Дано: АВCЕ– пирамида,
АВС – основание пирамиды,
гипотенуза АВ2 = 120, СЕ – высота,
В
(АЕ; (АВС)) = 60°, (ВЕ; (АВС)) = 30°,
Найти: СЕ
А
Ответ: 6
Задача 3
С1 Дано: АВСDA B C D - параллелепипед,
1 1 1 1
АВСD – параллелограмм,
АА1 (АВС) .
Т
В1
H
А1
D1
Найти: (В1D; (DD1C1))
Решение:
С
В
А
D
1.
2.
3.
4.
5.
Наклонная - В1D
Основание наклонной - D
Перпендикуляр - В1Н
Основание перпендикуляра - Н
Проекция – DН
6. (В1D; (DD1C1))=
B1DH - искомый
Задача 4
А1
С1
Дано: АВA1B1C1 – треугольная призма,
АВС – равносторонний треугольник,
ВВ1 (АВС) .
Т
H
В1
Найти: (ВС1; (АА1В1))
Решение:
А
В
1.
С 2.
3.
4.
5.
Наклонная - ВС1
Основание наклонной - В
Перпендикуляр - С1Н
Основание перпендикуляра - Н
Проекция – ВН
6. (ВС1; (АА1В1))=
С 1BH - искомый