раздел2

2. ОДНОФАЗНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА
2.1. Основные понятия о переменном токе
е
Em
t
T
Рис. 15. Временная диаграмма
изменения синусоидальной
ЭДС
e  Em sin t; 
i  I m sin t ; 
u  U m sin t ,
(57)
  2f
(58)
1
T
Im
U
E
I
U m E m
2
2
2
f 
(59)
(60)
2.2. Элементы и параметры электрических цепей переменного тока
2.2.1. Цепь переменного тока с активным сопротивлением
i
u, i
u
u
u=Um sin t
i
i
R
ω
t
i  I m sin t
I
U
I
Рис. 16. Электрическая схема, графики изменения напряжения, тока
и векторная диаграмма для цепи с активным сопротивлением
u, i,
p
p
u
i
ωt
Рис. 17. Графики изменения мгновенных значений тока,
напряжения и мощности в цепи с активным сопротивлением
u U msint

 I msint
R
R
U
R
(61)
(62)
(63)
р  u  i  U m I msin 2t
(64)
P  I 2R
(65)
2.2.2. Цепь переменного тока с индуктивным элементом
u, i, e
i
u
L
u
U
i
ωt
eL
I
90°
Рис. 18. Электрическая схема, графики изменения напряжения, тока, ЭДС
самоиндукции и векторная диаграмма для цепи с индуктивным элементом
u, i, p
eL   L
p
u
i
ωt
(66)
u  eL
(67)
d I msint 
di
 L
  I m L cost
dt
dt
u  I m L cost  U m cost  U msin t  90
X L  L  2πfL
(68)
(69)
(70)
U
XL
(71)
QL  I 2 X L
(73)
I
Рис. 19. Графики изменения напряжения, тока
и мощности в цепи с индуктивным сопротивлением
i  I msin t
(72)
1
р  u  i  U msin t  90  I msint   U m  I msin2t
2
2.2.3. Цепь переменного тока с емкостным элементом
u, i
i
u
C
u
i
ωt
I
U
90º
Рис. 20. Электрическая схема, графики изменения напряжения, тока
и векторная диаграмма для цепи с емкостным элементом
u  U m sin t
i
(74)
d U msint 
dq
du
C
C
 U mC cost  U mC sin t  90
dt
dt
dt
i  U mC sin t  90  I msin t  90
1
1

 С 2π f С
U
I
XC
XC 
(76)
(77)
(78)
1
р  u  i  U msint  I msin t  90   U m I msin2t .
2
(79)
QC  I 2 X C
(80)
(75)
2.3. Анализ неразветвленной цепи переменного тока
R
XL
Ua
UL
u(U)
XC
U
UL–UC=UP
UC
φ
Ua
i(I)
Рис. 23. Треугольник
напряжений
Рис. 21. Последовательное соединение активного,
индуктивного и емкостного сопротивлений
UL
UC
U
φ
Ua
I
Рис. 22. Векторная
диаграмма для схемы,
состоящей из
последовательно
соединенных активного,
индуктивного
и емкостного
сопротивлений
U a  I  R; 
U L  I  X L ;
U C  I  X C .
(81)
U  U a  U L  UC
(82)
U L  UC
(83)
U L  UC
(84)
U  U a2  U L  U C 2  I 2 R 2  I X L  I X C 2 
 I R 2   X L  X C 2 .
I
U
R  X L  X C 
2
2

Z  R 2   X L  X C 2
U
Z
(86)
(87)
(85)
Z
S
XL–XC=X
φ
QL–QC=Q
φ
R
P
Рис. 24. Треугольники сопротивлений и мощностей
Z  R 2   X L  X C 2
cos 
R
Z
sin  
X
Z
S  IU
(88)
(89)
(90)
S  P 2  Q 2  P 2  Q L  QC 2
cos 
P
S
P  S cos  IU cos
sin  
Q
S
Q  S sin   IU sin 
(92)
(93)
(94)
(95)
(91)
2.4. Резонанс напряжений
X L  XC
UL
 рез L 
UС
Ua=U
I
Рис. 25. Векторная
диаграмма при
резонансе напряжений
1
 резС
 рез 
I
(96)
1
 0
LC
(97)
(98)
U
U
U
U



Z
R2  ( X L  X C )2
R2  0 R
U L  UC
(100)
X L  XC  R
(101)
(99)
2.5. Пример расчета неразветвленной цепи переменного тока
R1
XL1
XL2
R2
XC1
XC2
u(U)
i(I)
Рис. 26. Неразветвленная цепь переменного тока
Дано:
R1=2 Ом;
R2=2 Ом;
XL1=4 Ом;
XL2=5 Ом;
XС1=4 Ом;
XС2=2 Ом;
U=220 B.
Z  R2  ( X L  X C )2
Z  R 2  ( X L  X C )2  42  (9  6)2  5 Ом
I
U 220

 44 
Z
5
cos  
R 4
  0,8
Z 5
sin  
XL  XC 9  6 3

  0,6
Z
5
5
φ=36º50′
S=U∙I=220∙44=9680 ВА=9,680 кВА
P  S  cos φ=9680∙0,8=7744 Вт=7,744 кВт
Q=S∙sin φ=9680∙0,6=5808 ВАр=5,808 кВАр
Ua=I∙R
UL2
Ua2
UL1
φ Ua1
UC1
UL=I∙XL
UC2
UС=I∙XС
U
I
Рис. 27. Векторная
диаграмма для
неразветвленной цепи
U L1  I  X L1  44  4  176  U a1  I  R1  44  2  88 
U L 2  I  X L 2  44  5  220  U a 2  I  R2  44  2  88
U C1  I  X C1  44  4  176
 I  I / mI 
U C 2  I C 2  4  2  88
44 А
 4,4 см
10 А/см
 UL1  U L1 / mU 
176 Β
 4 см
44 В / см
 Ua1  U a1 / mU 
88 Β
 2 см
44 В / см
 UL 2  U L 2 / mU 
220 Β
 5 см
44 Β / см
 Ua 2  U a 2 / mU 
88 Β
 2 см
44 Β / cм
 UC1  U C1 / mU 
176 Β
 4 см
44 Β / cм
 UC 2  U С 2 / mU 
88 Β
 2 см
44 Β / cм
U a1  U L1  U a 2  U L 2  U C1  U C 2
U  U a1  U L1  U a 2  U L2  UC1  UC 2 .
2.6. Анализ разветвленной цепи переменного тока
методом проводимостей
i(I)
R1
i1(I1)
u(U)
R2
U
U

Z1
R12  X L21
(102)
I2 
U
U

Z2
R22  X C21
(103)
i2(I2)
XL1
XC2
Рис. 28. Электрическая цепь
с двумя параллельными ветвями
cos1 
(105)
I1  I a1  I p1; 
I 2  I a 2  I p 2 .
(106)
φ
U
φ1
Ia1
Ip1
Ia2
(104)
U R1
R

  U  12  U  g1; 

Z1 Z1
Z1

U R2
R2
 I 2 cos  2 

 U  2  U  g 2 ,

Z2 Z2
Z2
I a1  I1 cos 1 
I
φ2
R1
R
cos2  2
Z1
Z2
I  I1  I 2
I2
Ip2
Ip
I1 
Ia
I1
Рис. 29. Векторная диаграмма для электрической цепи
с двумя параллельными ветвями
Ia2
g  g1  g 2
I p1  I1  sin 1 
(107)
(108)
U X L1
X

 U  L21  U  bL1
Z1 Z1
Z1
I р 2  I 2 sin 2  U  bC 2
(109)
(110)
i

1
;
g1  g 2 
1

X Lэ 
; 
bL1

1
X Cэ 
. 
bC 2 
Rэ 
Rэ
u
ia1+ia2
iL
XLэ
iC
ХСэ
Рис. 30. Эквивалентная схема разветвленной цепи
I p  I p1  ( I p 2 )  U  bL1  (U  bC 2 )  U  [(bL1  (bC 2 )]
g   g n b   bn
(113)
I  I a2  I 2p  (U  g ) 2  (U  b) 2  U g 2  b 2  U у
(114)
I  U ( g ) 2  ( b) 2
(115)
(112)
(111)
2.7. Резонанс токов
i
(116)
bL=bC
R
u
iL
ia
L
bL 
iC
C
1
 рез L
 резC 
Рис. 31. Электрическая схема разветвленной цепи,
иллюстрирующая резонанс токов
 рез 
; bС   резC (117)
1
 рез L
(118)
1
LC
(119)
U
Ia=I
IC
IL
Рис. 32. Векторная
диаграмма для
разветвленной
цепи при резонансе
токов
I  U y  U  g 2  b L bС 2
(120)
I  U g
(121)
2.8. Пример расчета разветвленной цепи переменного тока
Дано: U=127 В;
f=50 Гц;
R=10 Ом;
L=63,7 мГн;
С=212 мкФ.
(i)I
R
(i1) I1
(u)U
(i2)I2
L
C
Рис. 33. Схема разветвленной электрической цепи
XL=ωL=314·63,7·10-3=20 Ом
XC 
1
10 6

 15
C 314  212
Z1  R12  X L2  10 2  20 2  22,4
I1 
U 127

 5,67
Z1 22,4
I2 
U 127

 8,47
X C 15
g1 
R
10

 0,02
2
Z1 22,4 2
XL
20

 0,04
Z12 22,4 2
1
1

  0,067
X C 15
bL1 
bC 2
y  g12  (bL1  bC 2 ) 2  0,022  (0,04  0,067) 2  3,36 10 2
I=U·y=127·3,36·10-2=4,27 А.
I
Ip2
φ
1  arctg
U
Ia1
bL1
0,04
 arctg
 arctg2  64
g1
0,02
φ2=90º
Ip1
  arctg
Рис. 34. Векторная
диаграмма для
разветвленной цепи
b b
b
0,04  0,067
 arctg L1 C 2  arctg
 arctg(1,35)  5330
g
g1
0,02
S=U·I=127·4,27=542 ВА
Р=S∙cos φ=542·0,59=320 Вт
Q=S·sin φ=542·0,8=434 ВАр
Ia1=U·g1=127·0,02=2,54 A; Ip1=U·b1=127·0,04=5,08 A
Ip2=I2=8,47 A
mU  20
В
см
mI  2
A
см
2.9. Пример расчета цепи переменного тока
со смешанным соединением нагрузки
R2
R1
a
L1
C2
i2(I2)
b
c
L3
i1(I1)
(u)U
i3(I3)
Рис. 35. Схема электрической цепи
со смешанным соединением нагрузки
XL1=2πfL1=2·3,14·50·10·10-3=3,14 Ом
XC2 
1
1

 8 Ом
2πfC2 2  3,14  50  400 10  6
XL3=2πfL3=2·3,14·50·50·10-3=15,7 Ом
Z1  R12  X L21  32  3,142  4,34 Ом
Z 2  R22  X C2 2  32  82  8,5 Ом
Z3  R32  X L23  02  15,72  15,70 Ом
Дано: U=220 В;
f=50 Гц;
R1=3 Ом;
R2=3 Ом;
L1=10 мГн;
L3=50 мГн;
С2=400 мкФ
R
X
b 2
2
Z
Z
R
3
g 2  22  2  0,0414 См
Z 2 8,5
g
bС 2 
XС2
8

 0,1105 См
Z 22
8,52
bС 2 
XС2
8
 2  0,1105
2
Z2
8,5
bL3 
X L3 15,7

 0,0637 См
Z 32 15,7 2
а
b
Rbc
См
U bc  I1Z bc 
I1
13,45

 218 В
ybc 0,0622
U ab  I1Z1  13,45  4,34  58,4 В
bbc bL3  bC 2 0,0637  0,1105


 12,1 Ом
2
2
ybc
ybc
0,0622 2
I2 
U bc 218
U
218

 25,7 А I 3  bc 
 13,9 А
Z2
8,5
Z 3 15,7
S  U  I  220  13,45  2960 ВА  2,96кВА
P  U  I  cos  S  cos
cos 
Rэкв R1  Rbc 3  10,7


 0,84
Z экв
Z экв
16,35
Z экв  ( R1  Rbc )  ( X L1  X bc ) 
Р=2960·0,84=2490 Вт=2,49 кВт
Q  U  I  sin   S  sin 
 (3  10,7) 2  (3,14  12,1) 2  16,35 Ом
sin  
I1 
U
220

 13,45 А
Z экв 16,35
c
Рис. 36. Эквивалентная схема для расчета цепи
со смешанным соединением нагрузки
g bc g 2  g 3 0,0414  0


 10,7 Ом
2
2
ybc
ybc
0,0622 2
2
Xbc
i1(I1)
 (0,0414  0) 2  (0,0637  0,1105)2  0,0622 См
X bc 
XL1
u(U)
ybc  ( g 2  g3 ) 2  (bL3  bC 2 ) 2 
Rbc 
R1
2
X экв X L1  X bc 3,14  12,1


 0,54
Z экв
Z экв
16,35
Q=2960·0,54=1600 ВАр=1,6 кВАр
I2
φ1
Uab
I1
φ2
φ3
U
cos 2 
R2
3

 0,353
Z 2 8,5
cos3 
R3
0

0
Z 3 15,7
φ
Ubc
I3
Рис. 37. Векторная диаграмма
для схемы со смешанным
включением нагрузки
φ2=69º20'
φ3=90º
I1  I 2  I3
cos1 
R1
3

 0,692
Z1 4,34
φ1=46º15'
U  U ab  Ubc
cos 
Rэкв 13,7

 0,84
Z экв 16,35
φ=32º45'