Основы теории электрических цепей Юрия Петровича Усова Лекции профессора ЭЛТИ

Лекция 7
Основы теории
электрических цепей
Лекции профессора ЭЛТИ
Юрия Петровича Усова
1510.09
1
Лекция 7
ТРАНСФОРМАТОР
В ЛИНЕЙНОМ
РЕЖИМЕ
Лекция 7
Трансформаторы предназначены
для преобразования величин
переменных напряжений и токов.
Простейший трансформатор –
это две индуктивно связанные
катушки, помещенные на
ферромагнитный сердечник
(магнитопровод)
Лекция 7
1
+
u1
1’
i2
i1
w2
w1
Ф
Ф – магнитный поток, Вб
2
+
u2
2’
Лекция 7
В линейном режиме
магнитопровод ненасыщен или
отсутствует
(воздушный трансформатор)
При этом индуктивности и
сопротивления катушек
трансформатора постоянны
Лекция 7
Передача энергии из одной
катушки в другую
осуществляется за счет взаимной
индукции и ток i2(t) согласно
правилу Ленца выбирает
такое направление, что
катушки будут включенными
встречно
Лекция 7
Если пренебречь потерями
энергии в магнитопроводе,
то тогда схема замещения
трансформатора в линейном
режиме будет следующей
Лекция 7
Схема замещения:
1
+
i1
*
L1
u1
1’
М
R1
*
L2
R2
i2
2
+
u2
2’
Лекция 7
Если u1 является напряжением
источника, а u2 – напряжением
на пассивной нагрузке, то тогда
получаем
Лекция 7
Уравнения по 2 закону Кирхгофа:
di1
di2
u1  R1i1  L1
M
dt
dt
di2
di1
0  u 2  R2i2  L2
M
dt
dt
Лекция 7
Комплексная схема замещения:
1
U1
1’
I1
ZМ
*
Z1
I2
*
Z2
2
U2
ZН
2’
Лекция 7
Уравнения по 2 закону Кирхгофа
в комплексной форме:
U 1  Z 1 I 1  Z M I 2

0  ( Z 2  Z н ) I 2  Z M I 1
где
U2  ZН I2
Лекция 7
Из решения этих уравнений
можно найти токи I1 и I2
Лекция 7
Векторная диаграмма при
холостом ходе ( I2=0 ):
1
2
U1
 jX М I 1 U 2
R1 I 1
2’ 1’
jX L1 I 1
I 1  I1e
j 0
Лекция 7
Векторная диаграмма при
сопротивлении нагрузки
ZH=ZHejjH
jH>0
Лекция 7
+j
 jX М I 1
U2
1’
2’
2
jX L2 I 2
R2 I 2
jн
I2
+1
jX L1 I 1
R1 I 1
( jX М ) I 2
U1
1
I1
Лекция 7
Схема замещения трансформатора
без индуктивной связи:
1
+
I 1 Z1  Z M
Z2  ZM
ZM
U1
I2
2
+
U2
I0
2’
1’
I0
- ток намагничивания
Лекция 7
Линейные цепи
с гармоническими напряжениями
и токами, содержащие
трансформаторы, могут быть
рассчитаны при помощи
законов Кирхгофа или
метода контурных токов
в комплексной форме
Лекция 7
Пример:
I11
Z3
Е
*
I22
I3
ZM
I2
I1
*
I33
Z2
J
Z1
+
UJ
ZH
I11
Лекция 7
Дано:
E , J , Z1 , Z2 , Z3 , ZH
Определить:
I1 , I2 , I3 , UJ
Лекция 7
По методу контурных токов:
I11=J
I22(Z2+Z3) - I33ZM - I11Z3 = E
- I22ZM + I33(Z1+ZH) + I110 = 0
Лекция 7
Далее находим:
I1 = I11
I2 = I22
I3 = I22 – I11
UJ = E – Z3I3
Лекция 7
Резонанс в
линейных цепях
при гармонических
напряжениях и
токах
Лекция 7
Резонанс – это такой режим
пассивной цепи, содержащей
емкости и индуктивности,
при котором входные ток и
напряжение совпадают по
фазе
1510.09
24
Лекция 7
При резонансе цепь
потребляет только активную
мощность и входное
сопротивление этой цепи
будет вещественной
величиной - R
1510.09
25
Лекция 7
Различают:
резонанс напряжений;
резонанс токов;
резонанс в сложной цепи.
1510.09
26
Лекция 7
1. Резонанс
напряжений
Лекция 7
Резонанс напряжений – это
резонанс при
последовательно
соединенных емкости и
индуктивности
1510.09
28
Лекция 7
d
Rк
UR к
U
jX L
UL
катушка
 jX С
c
b
UС
UН
RН
a
1510.09
I
а
29
Лекция 7
По закону Ома:
U
I
Z вх
 Ie
j(  j)
, (A)
j
где U  Ue - входное напряжение
1510.09
30
Комплекс входного
сопротивления цепи
Лекция 7
Z вх  (R к  R н )  j(X L  X C ) 
jj
 R  jX  Z вх e ,
где R  Rк  Rн ,
X  XL  XC ,
Zвх  R2  X2 ,
1510.09
(Ом)
j  arctgX .
R
31
Лекция 7
Из определения резонанса
j0
тогда
1510.09
X  XL  XC  0
32
Лекция 7
В результате при
резонансе напряжений
XL  XC
или
1
L 
1510.09
C
33
Лекция 7
Другими словами –
условие резонанса:
 LC  1
  2f
2
1510.09
34
Лекция 7
Тогда
X0
Z вх  R
j0
U j
I e
R
1510.09
35
Лекция 7
Тогда
2
U
P
R
Q  UI sin j  0
1510.09
36
Лекция 7
Тогда
cos j  1
2
2
S P Q P
1510.09
37
Лекция 7
При этом
UL  UC  I  X L 
 I  XC  U  q
1510.09
38
Лекция 7
Если добротность
X
X
C
L
q

 1
R
R
1510.09
39
Лекция 7
то
U L  U C  U
 L ,
C
(Ом)
- характеристическое сопротивление
1510.09
40
Лекция 7
При резонансе напряжений
входное сопротивление цепи
будет минимальным, а ток
будет максимальным
1510.09
41
Лекция 7
Векторная диаграмма
при резонансе
напряжений
1510.09
42
Лекция 7
+j
UR к  R к I
Uн  R н I
b
U
I
d
Uк
a

+1
U C  ( jX C )I
U L  jX L I
c
1510.09
43
Лекция 7
Резонансные
характеристики
1510.09
44
Лекция 7
I
UL , UC
UС
I
UL
U
резонанс
0
1510.09
Сp  1
UХ L
UL 
Zк
U
I
Zк
UС  0
С
2L
45
Лекция 7
Резонанс напряжений
используется в
радиотехнике для
усиления сигналов
определенной частоты
1510.09
46
Лекция 7
и в электроэнергетике
для увеличения
активной мощности
нагрузки генератора
1510.09
47
Лекция 7
Например
RГ
jX Г
 jX С
RН
EГ
генератор
1510.09
I
48
Лекция 7
а)
XС  0
'
Pн

1510.09
(С  )
' 2
 (I ) R н 
2
EгRн
2
(R г  R н )

2
Хг
,
(Вт )
49
Лекция 7
б)
XС  XГ
"
Pн

1510.09
(резонанс )
" 2
 (I ) R н 
2
EгRн
(R г  R н )
2

'
Pн ,
(Вт )
50
Лекция 7
Примечание
Если Rk=0, то тогда
Zdb=jXL-jXC=0
- это идеальный резонанс
напряжений
1510.09
51
Лекция 7
2. Резонанс
токов
Лекция 7
Резонанс токов – это
резонанс при параллельно
соединенных емкости и
индуктивности
1510.09
53
Лекция 7
b
Iк
I
IС
U
Rк
UR к
jX L
UL
 jX С
a
1510.09
54
Лекция 7
По закону Ома
I  U  Y вх  Ie
j(  j)
,
(A)
j
где U  Ue - входное напряжение
1510.09
55
Лекция 7
Комплекс входной
проводимости цепи
Y вх
1
1



( jX C ) (R к  jX L )
j
R к  jX L



X C (R к  jX L )(R к  jX L )
 g  jb  Yвх е
1510.09
 jj

,1

Ом
56
Лекция 7
Где
g
Rк
2
Rк
,
2
 ХL
1Ом
- активная проводимость цепи
1510.09
57
Лекция 7
Где
b  bк  bC 
ХL
1
 2

,
2
Rк  ХL ХС
1Ом
- реактивная проводимость цепи
1510.09
58
Лекция 7
Где
Yвх 
2
2
g b ,
1Ом
- модуль входной проводимости цепи
1510.09
59
Лекция 7
Где
b
j  arctg ,
g
Град 
- угол сдвига фаз между
1510.09
Uи I
60
Лекция 7
Из определения резонанса
j0
тогда
1510.09
b  bк  bC  0
61
В результате при
резонансе токов
Лекция 7
bк  bC
или
XL
2
Rк
1510.09

2
XL
1

XC
62
Лекция 7
Тогда
b0
I  U  ge
1510.09
j0
Y вх  g
j
63
Лекция 7
Тогда
2
PU g
Q0
1510.09
cos j  1
SP
64
Лекция 7
При резонансе токов входная
проводимость цепи и
входной ток минимальны
1510.09
65
Лекция 7
Векторная диаграмма
при резонансе токов
1510.09
66
Лекция 7
+j
UR к
b
U
IС
UL
  jк
a
1510.09
I
+1
Iк  Iк е
j0
67
Лекция 7
Где
Zк 
2
Rк
Iк  U

2
ХL
Zк
U L  Iк X L
1510.09
68
Лекция 7
Где
UR к  R к Iк
XL
jк  arctg
Rк
IС  U
ХС
1510.09
69
Лекция 7
Резонансные
характеристики
1510.09
70
Лекция 7
I
IС
Iк
I
0
1510.09
Сp  L
С
Z 2к
71
Лекция 7
Резонанс токов
используется в
радиотехнике для
ослабления сигналов
определенной частоты
1510.09
72
Лекция 7
и в электроэнергетике
для уменьшения потерь
энергии в проводах
линии
1510.09
73
Лекция 7
Например
Iн
b I
RЛ
~
IС
U
Rн
 jX С
jX н
1510.09
a
74
Лекция 7
а)
'
PЛ
1510.09
XС  
' 2
 (I ) R Л 
(С  0)
2
U RЛ
R 2н  Х 2н
,
(Вт )
75
Лекция 7
б)
"
Pл
XС
R 2н  X 2н

Хн
(резонанс)
" 2
 (I ) R л 
2


1510.09
2
U R нR л
2
2 2
(R н  Х н )
'
Pл
Х


1  н
Rн 


2
 Pл' ,
(Вт )
76
Лекция 7
Примечание
Если Rk=0, то тогда
Zba=jXL(-jXC)/(jXL-jXC)=

- это идеальный резонанс
токов
1510.09
77
Лекция 7
3. Резонанс
в сложной
цепи
Лекция 7
Резонанс в сложной цепи –
это резонанс, отличающийся
от резонансов напряжений и
токов
1510.09
79
Лекция 7
Например
с
I
jX L
UL
 jX С
U
IR
b
IС
UR
R
a
1510.09
80
Лекция 7
Комплекс входного
сопротивления цепи
Z вх
R( jX C )
 jX L 

R  jX C
 jX L 
R( jX C )(R  jX C )
2
R 
2
XС
jj
 R вх  jX вх  Z вх e ,
1510.09

(Ом)
81
Лекция 7
Где
Rвх 
2
R  XC
,
2
2
R  XC
(Ом)
- активное сопротивление
Xвх  ХL 
2
R XC
,
2
2
R  XC
(Ом)
- реактивное сопротивление
1510.09
82
Лекция 7
Где
Zвх 
2
Rвх

2
Xвх
- полное сопротивление
X
j  arctg вх
1510.09
Rвх
83
Лекция 7
При резонансе
j0
и
X вх  0
1510.09
84
Лекция 7
Тогда
Z вх  R вх
2
U
P
R вх
1510.09
U j
I
e
R вх
Q0
85
Лекция 7
Векторная диаграмма
1510.09
86
Лекция 7
+j
I
IС
U
a
с
IR
U R  R  IR
1510.09

U L  jX L I
+1
b
87
Лекция 7
Где
( jXC )
IR  I
R  jXC
R
IС  I
R  jXC
1510.09
88
Лекция 7
Если
R  2,5  X L ,
то
X С  1,25  Х L
и
1510.09
UR 
5U
89
Лекция 7
Таким образом эта цепь в
режиме резонанса может
применяться для увеличения
напряжения на нагрузке R
1510.09
90