Glava1

Башкирский государственный
аграрный университет
Кафедра теоретической и общей электротехники
Профессор В.М.Сапельников
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
Часть 1
ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ЗАКОНЫ, ЭЛЕМЕНТЫ
И ПАРАМЕТРЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЦЕПЬ





Электрической цепью называется совокупность устройств, предназначаемых
для прохождения электрического тока, электромагнитные процессы в которых
могут быть описаны с помощью понятий напряжения и тока.
Источниками электрической энергии являются гальванические элементы,
аккумуляторы, термоэлементы, генераторы и другие устройства, в которых
происходит процесс преобразования химической, молекулярно-кинетической,
тепловой, механической или другого вида энергии в электрическую. К
источникам можно отнести и приемные антенны, в которых в отличие от
перечисленных выше устройств не происходит изменения вида энергии.
Приемниками электрической энергии, или так называемой нагрузкой,
служат электрические лампы, электронагревательные приборы, электрические
двигатели и другие устройства, в которых электрическая энергия превращается
в световую, тепловую, механическую и т. п. К нагрузкам относятся и
передающие антенны, излучающие электромагнитную энергию в пространство.
Расчеты электрических цепей и исследования процессов, происходящих в них,
основываются на различных допущениях и некоторой идеализации
реальных объектов электрических цепей.
В теории электрических цепей различают активные и пассивные элементы.
– Активными элементами считаются источники электрической энергии: источники
напряжения и источники тока.
– К пассивным элементам электрических цепей относятся сопротивления,
индуктивности и емкости.
ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ ТОКА И НАПРЯЖЕНИЯ
Электрический ток в проводящей среде есть упорядоченное движение
электрических зарядов.
Электрическому току приписывается направление. Хотя в общем случае ток
представляет собой движение электрических зарядов того и другого знака в
разные стороны, однако, за направление тока принимают направление
перемещения положительных зарядов; это направление противоположно
направлению движения отрицательных зарядов.
i = dq/dt
Электрический ток может быть постоянным (неизменяющимся) или переменным, т.е.
изменяющимся в зависимости от времени.
Направление тока характеризуется знаком тока. Понятия положительный ток или
отрицательный ток имеют смысл, только если сравнивать направление тока в проводнике с
некоторым заранее выбранным ориентиром  так называемым положительным
направлением.
i
1
u12
u21
2
Рисунок 1.1
Участок электрической цепи с выбранным положительным
направлением тока и напряжения
МГНОВЕННАЯ МОЩНОСТЬ И ЭНЕРГИЯ
элементарная работа или, что то же, поступающая в приемник элементарная
энергия равна
dw = udq = uidt.
мгновенная мощность, поступающая в приемник, равна произведению мгновенных
значений напряжения и тока
p
dq
dw
u
 ui
dt
dt
Энергия, поступившая в приемник за промежуток времени от t1 до t2, выражается
интегралом
t2
W   pdt
t1
В системе СИ работа и энергия измеряются в джоулях (Дж), мощность p  в ваттах
(Вт).
СОПРОТИВЛЕНИЕ
Сопротивлением называется идеализированный двухполюсный элемент цепи,
характеризующий потери энергии на нагрев, механическую работу или излучение
электромагнитной энергии.
u
R
i
Величина g = 1/R, обратная сопротивлению, называется проводимостью. В системе СИ
сопротивление R измеряется в омах (Ом), а проводимость g  в сименсах (Сим).
i
R
u
Рисунок 1.2
Условное обозначение сопротивления
Мгновенная мощность, поступающая в сопротивление, равна произведению мгновенных
значений напряжения и тока
p R  ui  Ri 2  gu 2
Следовательно, параметр R может быть численно определен как отношение мгновенной
мощности к квадрату мгновенного значения тока, проходящего через сопротивление
R
pR
i2
Электрическая энергия, поступившая в сопротивление и превращенная в тепло, начиная с
некоторого момента времени, например
t = 0, до рассматриваемого момента t, равна
t
t
t
0
0
0
WR   pR dt   Ri2 dt   gu2 dt
Зависимость напряжения на резисторе от тока, проходящего через данный
резистор, называется вольтамперной характеристикой, которая в общем
случае нелинейная.
Если значение сопротивления R не зависит от величины и направления тока, то
имеет место прямая пропорциональность между напряжением и током,
выражающая закон Ома. В этом случае сопротивление называется линейным.
На рисунке 1.3 показаны вольт-амперные характеристики резистора 
нелинейная (кривая а) и линейная (прямая б)
u
б
А
a
α
i
Рисунок 1.3
Вольт-амперная характеристика резистора
а – нелинейная; б  линейная
Очевидно, величина линейного сопротивления R пропорциональна тангенсу угла
наклона прямолинейной вольт-амперной характеристики к оси тока
u mu AB mu
R 

tg
i mi OB mi
где mu и mi  масштабы напряжения (В/мм) и тока (А/мм) на чертеже.
ИНДУКТИВНОСТЬ
Индуктивностью называется идеализированный двухполюсный элемент
электрической цепи, в котором накапливается энергия магнитного поля. При этом
термин «индуктивность» и соответствующее ему условное обозначение L
применяются для обозначения элемента цепи, способного накапливать энергию
магнитного поля, и для количественной оценки отношения потокосцепления
самоиндукции к току в данном элементе
L

i
Для обозначения физически существующего элемента применяется термин
катушка индуктивности.
Потокосцеплением самоиндукции цепи называется сумма произведений магнитных
потоков, обусловленных только током в этой цепи, на числа витков, с которыми
они сцеплены. Если все витки пронизываются одним и тем же магнитным потоком,
то потокосцепление равно произведению магнитного потока на число витков.
В Международной системе единиц Ψ измеряется в веберах (Вб), L в генри (Гн). При
этом всегда потокосцепление и ток имеют одинаковый знак, так что L > 0.
На рисунке 1.4 показаны нелинейная и линейная зависимости
потокосцепления от тока. В этом разделе рассматриваются линейные
индуктивности.
Ψ
a
б
i
Рисунок 1.4
Зависимость потокосцепления от тока:
а – нелинейная; б - линейная
На основании закона электромагнитной индукции ФарадеяМаксвелла изменение потокосцепления самоиндукции вызывает
электродвижущую силу (ЭДС) самоиндукции, которая
выражается формулой
eL  
d
dt
По закону Ленца, выражающему принцип электромагнитной инерции,
эта ЭДС противодействует изменению потокосцепления, что и
учитывается знаком минус в (1.2), поскольку положительное
направление для eL выбрано совпадающим с положительным
направлением i.
Ввиду совпадения положительных направлений eL и i положительные
направления магнитного потока вдоль оси витков и наводимой им ЭДС
самоиндукции, точно так же как и положительные направления тока и
создаваемого им магнитного потока, связаны правилом правоходового
винта.
Если L не зависит от i, то предыдущая формула принимает вид
di
eL   L
dt
i
L
eL
uL
Рисунок 1.5
Условное обозначение индуктивности и положительные
направления тока, э.д.с. самоиндукции и напряжения
Величина
di
u L  e L  L
dt
называется падением напряжения в индуктивности, или, что то же,
напряжением на индуктивности. Положительное направление uL
совпадает с положительным направлением i (рисунок 1.5).
На основании (1.4) ток в индуктивности
1
i   u L dt
L
1 t
i   u L dt
L 
Нижний предел интеграла принят равным -, так как до
рассматриваемого момента времени t процесс мог длиться сколь угодно
долго.
mА
i
2
1
0
1
2
mВ
6
5
4
3
2
1
t
0
3 мc -1
-2
-3
-4
-5
-6
uL
2
мc
1
a
t
3
б
Рисунок 1.6
Ток (а) и напряжение (б) в индуктивности
При t = 0 ток в индуктивности равен
1 0
i( 0 )   u L dt
L 
следовательно,
1t
i  i( 0 )   u L dt
L0
т. е. в интервале времени от нуля до t ток в индуктивности изменяется на
величину , определяемую площадью, ограниченной в этом интервале
кривой напряжения uL.
Мгновенная мощность, поступающая в индуктивность, равна
произведению мгновенных значений напряжения и тока
p L  u L i  Li
di
dt
Она связана с процессом нарастания или убывания энергии магнитного
поля. Энергия магнитного поля в произвольный момент времени t
определяется по формуле
Li 2  2
wL   p L dt   Lidi 

2
2L

0
t
t
Здесь учтено, что при t = - ток в индуктивности i(-) = 0.
Если часть магнитного потока, связанного с индуктивным элементом,
связана одновременно и с другим индуктивным элементом, то эти два
элемента, кроме параметров L1 и L2, обладают параметром М,
называемым взаимной индуктивностью. Взаимная индуктивность
представляет собой отношение потокосцепления взаимной индукции
одного из элементов к току в другом элементе
M
12  21

i2
i1
здесь Ψ12 – потокосцепление первого элемента, обусловленное током
второго элемента;
Ψ21 – потокосцепление второго элемента, обусловленное током первого
элемента.
В этом случае в первом и во втором элементах наводятся ЭДС взаимной
индукции, равные соответственно:
d12   M di 2 ;


e1M
dt
dt 

d 21
di1 
e2M   dt  M dt .
М измеряется, так же как и L, в Генри. Однако в отличие от параметра L
взаимная индуктивность М обозначает не какой-либо самостоятельный
элемент электрической цепи, а лишь магнитную связь между
индуктивными элементами.
ЕМКОСТЬ
Емкостью называется идеализированный двухполюсный элемент электрической
цепи, приближенно заменяющий конденсатор, в котором накапливается энергия
электрического поля. При этом термин «емкость» и соответствующее ему
буквенное обозначение С применяются для обозначения способности накапливать
энергию электрического поля и для количественной оценки отношения заряда к
напряжению на этом элементе:
C
q
uC
Для обозначения физически существующего элемента применяется термин
конденсатор.
Если q и uC измеряются в кулонах (К) и вольтах (В), то С измеряется в фарадах
(Ф). При этом всегда заряд и напряжение имеют одинаковый знак, так что С > 0.
Зависимость заряда от напряжения в общем случае нелинейна, и, следовательно,
параметр С зависит от напряжения.
В случае, когда характеристика q(u) прямолинейна, емкость С постоянна
(линейная емкость). На рисунке 1.7 показаны нелинейная и линейная зависимости
заряда от напряжения. В этом разделе рассматриваются линейные емкости.
q
a
б
u
Рисунок 1.7
Зависимость электрического заряда от напряжения
(а – нелинейная; б – линейная)
Предположим, что емкость образована двумя пластинами,
разделенными диэлектриком. Под влиянием приложенного
напряжения на пластинах сосредоточатся равные количества
электричества противоположных знаков; пластина с более
высоким потенциалом зарядится положительным
электричеством, а пластина с более низким потенциалом 
отрицательным электричеством.
Ток равен производной электрического заряда по времени. Поэтому с
изменением напряжения на емкости в присоединенной к ней
последовательно электрической цепи создается ток, величина которого
определяется скоростью изменения заряда на емкости
duC
dq
i
C
dt
dt
Здесь знак заряда q соответствует знаку пластины, к которой направлен
ток i.
Благодаря введению понятия тока смещения ток в цепи с емкостью
представляется замкнутым через диэлектрик.
Напряжение на емкости
1
uC   idt
C
1 t
uC   idt
C 
Здесь, как и в предыдущем параграфе, предполагается, что до
рассматриваемого момента времени t процесс мог длиться сколь угодно
долго, и поэтому нижний предел интеграла принят равным -.
При t = 0 напряжение на емкости равно
1 0
uC ( 0 ) 
 idt
C 
Следовательно,
1t
uC  uC ( 0 )   idt
C0
Условное графическое изображение емкости с указанием
положительных направлений тока и напряжения приведено на рисунке
1.8.
i
C
+ 
uC
Рисунок 1.8
Условное обозначение емкости и положительные
направления тока и напряжения
Полярность емкости, указанная на рисунке 1.8 знаками «+» и «-»,
соответствует положительному напряжению uC, т. е. положительному
заряду на пластине «+».
Мгновенная мощность, поступающая в емкость, равна
du C
p C  u C i  CuC
dt
Она связана с процессом накопления или убыли электрического заряда в
емкости.
Когда заряд положителен и возрастает, то ток положителен, и в емкость
поступает электрическая энергия из внешней цепи.
Когда заряд положителен, но убывает, т.е. ток отрицателен, энергия,
ранее накопленная в электрическом поле емкости, возвращается во
внешнюю цепь.
Допустим, что к емкости С приложено некоторое напряжение uC. Энергия
электрического поля в произвольный момент времени t определится по
формуле
uC
CuC2 q 2
wC   pC dt   CuC duC 

2
2C

0
t
Здесь учтено, что при t = - напряжение на емкости uC (-) = 0.
ЗАМЕЩЕНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ УСТРОЙСТВ
ИДЕАЛИЗИРОВАННЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ ЦЕПИ
Представление о сопротивлении, индуктивности и емкости как идеализированных
элементах электрической цепи основано на предположении, что потери энергии,
магнитное поле и электрическое поле сосредотачиваются в отдельных, не
зависящих друг от друга элементах цепи. Раздельное рассмотрение
сопротивления, индуктивности и емкости представляет приближенный метод
исследования цепи. В действительности потери энергии, магнитные и
электрические поля сопутствуют друг другу.
Электропроводность всякого изотропного вещества характеризуется так
называемой удельной электрической проводимостью, равной отношению величины
плотности тока проводимости к величине напряженности электрического поля.
Величина, обратная удельной электрической проводимости, называется удельным
электрическим сопротивлением.
Электрическое сопротивление проводника при постоянном токе, равное
отношению постоянного напряжения на рассматриваемом проводнике к
постоянному току в нем, зависит от длины проводника l (м), площади поперечного
сечения S (м2) и удельного сопротивления  (Омм)
l
R
S
В широких пределах изменения температуры зависимость удельного
сопротивления проводника от температуры практически прямолинейна,
причем в случае металлических проводников кривая ρ = f() с
повышением температуры возрастает, а в случае неметаллических
материалов (например, угля) и электролитов  падает.
Если обозначить через ρ1 и ρ2 удельные сопротивления при температурах
1 и 2, а через 0  температуру, соответствующую точке пересечения
спрямленной характеристики  = f() с осью (рисунок 1.9), то получится
пропорция
 2 0   2

1 0  1
Эта пропорция служит для вычисления ρ2, если известно ρ1.
ρ
ρ(θ)
2
1
ρ0
θ
θ0<0
θ
θ2
1
Рисунок
1.9
Спрямленная характеристика ρ = f(θ С)
Как было пояснено выше, понятие сопротивления непосредственно
связано с потерей энергии, т.е. c необратимым процессом поглощения
электромагнитной энергии.
Количество тепла, выделяемого при прохождении тока через какой либо
проводник, зависит от целого ряда факторов, в том числе от частоты
тока. При невысоких частотах сопротивление проводника мало
отличается от сопротивления при постоянном токе. С повышением же
частоты ток распределяется по сечению проводника неравномерно:
внутри проводника плотность тока уменьшается, ток вытесняется к
поверхности проводника, что вызывает как бы уменьшение сечения
проводника, а значит увеличение сопротивления. Последнее приводит к
увеличению тепловых потерь в проводнике. Это явление носит название
поверхностного эффекта.
Неравномерность распределения тока по сечению проводника и
возрастание вследствие этого тепловых потерь происходят также под
влиянием тока, проходящего по соседнему проводнику. Это явление
носит название эффекта близости.
Кроме того, переменное магнитное поле наводит в окружающей
проводник проводящей среде вихревые токи, что вызывает
дополнительную потерю энергии на нагрев.
К этому можно еще добавить излучение в пространство
электромагнитной энергии, наблюдаемое при высоких частотах и
вызывающее дополнительное увеличение сопротивления.
При постоянном токе напряжение на зажимах катушки определится
величиной падения напряжения на ее сопротивлении, и ток во всех
точках витков будет одинаковым.
При переменном же токе изменяющееся магнитное поле будет
наводить в витке ЭДС самоиндукции. Между витками, так же как и между
отдельными точками смежных витков, электрическое поле станет
переменным. В связи с этим ток в различных витках будет
неодинаковым, так как появится ток смещения между витками. Чем
выше частота переменного тока, тем больше будут ЭДС самоиндукции и
ток смещения. При низких частотах током смещения можно пренебречь;
при высоких же частотах ток смещения, обусловленный изменением
напряженности электрического поля, может быть соизмерим по
величине с током в витках или даже может превышать его.
Таким образом, в зависимости от выбранного диапазона частот
индуктивная катушка может быть представлена либо как сопротивление
R (при постоянном токе  рисунок 1.10, а), либо как индуктивность L с
последовательно включенным сопротивлением R (при низких частотах 
рисунок 1.10, б), либо как индуктивность L и сопротивление R,
соединенные параллельно с емкостью С (при высоких частотах  рисунок
1.10, в).
Если катушка имеет много витков, то проходящий через нее ток создает
магнитный поток, пропорциональный числу витков. Считая, что этот
магнитный поток сцеплен со всеми витками катушки, приходим к
выводу, что потокосцепление самоиндукции и соответственно
индуктивность катушки пропорциональны квадрату числа витков.
а
R
L
R
б
L
в
R
С
Рисунок 1.10
Электрические схемы индуктивной катушки
а  при постоянном токе; б  при низких частотах;
в  при высоких частотах
Магнитный поток в сердечнике определяется отношением
намагничивающей силы (н.с.) всей катушки iw к магнитному
l
Rм 
сопротивлению магнитопровода
a S
iw a S

, Вб
l
Поэтому индуктивность катушки согласно определению
2
w w a S
L

i
l
Она определяется геометрическими размерами катушки, магнитной
проницаемостью сердечника и квадратом числа витков.
Перейдем теперь к рассмотрению плоского конденсатора, состоящего из
двух параллельных пластин, разделенных диэлектриком.
При постоянном напряжении и идеальном диэлектрике тока в цепи не
будет. Если напряжение переменно, то в процессе изменения
электрического заряда возникает переменный ток, создающий
переменное магнитное поле. Эффект, вызываемый магнитным полем,
может быть учтен в электрической схеме замещения с помощью
некоторой индуктивности, включенной последовательно с емкостью
конденсатора. Обычно этой индуктивностью пренебрегают из-за ее
относительной малости. Наконец, в диэлектрике благодаря некоторой
проводимости возникают тепловые потери, которые возрастают с
частотой. Потери на нагрев учитываются в схеме замещения
конденсатора посредством сопротивления R, включенного параллельно
емкости С (рисунок 1.11).
Емкость конденсатора определяется размерами пластин, расстоянием
между ними и диэлектрическими свойствами среды, заполняющей
пространство между пластинами.
Если расстояние между пластинами конденсатора (толщина
диэлектрика) достаточно мало по сравнению с размерами пластин, то
емкость конденсатора вычисляется по формуле
a S
C
,Ф ,
d
где а  абсолютная диэлектрическая проницаемость изоляции между
пластинами (равная произведению относительной диэлектрической
проницаемости  на электрическую постоянную 0 = 8,855∙10-12 Ф/м);
S  площадь поверхности каждой пластины, м2;
d – расстояние между пластинами, м.
Абсолютная диэлектрическая проницаемость для изотропного вещества
— скалярная величина, характеризующая электрические свойства
диэлектрика; она равна отношению величины электрического смещения
к величине напряженности электрического поля.
Чем выше частота и чем больше линейные размеры самих устройств, тем
в большей мере проявляется взаимосвязь электрических и магнитных
параметров и неотделимость друг от друга электрического и магнитного
полей, являющихся лишь двумя сторонами единого электромагнитного
поля.
Строго разграничить области частот, при которых справедлива та или
иная схема замещения, не представляется возможным, так как это
зависит от множества факторов.
ИСТОЧНИК ЭДС И ИСТОЧНИК ТОКА
В теории электрических цепей пользуются идеализированными источниками
электрической энергии: источником ЭДС и источником тока. Им приписываются
следующие свойства.
Источник ЭДС (или идеальный источник напряжения) представляет собой
активный элемент с двумя зажимами, напряжение на которых не зависит от тока,
проходящего через источник.
Предполагается, что внутри такого идеального источника пассивные элементы (R,
L, С) отсутствуют, и поэтому прохождение через него тока не вызывает в нем
падения напряжения.
Упорядоченное перемещение положительных зарядов в источнике от меньшего
потенциала к большему возможно за счет присущих источнику сторонних сил.
Величина работы, затрачиваемой сторонними силами на перемещение единицы
положительного заряда от зажима «» к зажиму «+», называется
электродвижущей силой (ЭДС) источника и обозначается е(t).
В соответствии со сказанным выше напряжение на зажимах рассматриваемого
источника равно его ЭДС, т. е. u(t) = е(t).
Условные обозначения идеального источника напряжения приведены на рисунке
1.12, а и б. Здесь стрелкой или знаками «+» и «» указано положительное
направление ЭДС, или полярность источника, т.е. направление возрастания
потенциала в источнике для тех моментов времени, в которые функция е(t)
положительна.
+
e(t)
u(t)
e(t)=u(t)
u(t)
e(t)

а
б
в
Рисунок 1.12
Источники напряжения: идеальные (а, б) и конечной мощности (в)
Источник напряжения конечной мощности изображается в виде
источника ЭДС с подключенным к нему последовательно
пассивным элементом, который характеризует внутренние
параметры источника и ограничивает мощность, отдаваемую во
внешнюю электрическую цепь (рисунок 1.12, в). Обычно
внутренние параметры источника конечной мощности
незначительны по сравнению с параметрами внешней цепи; они
могут быть отнесены к последней или в некоторых случаях могут
вовсе не учитываться (в зависимости от соотношения величин и
требуемой точности расчета).
Идеальный источник тока представляет собой активный элемент, ток
которого не зависит от напряжения на его зажимах. Предполагается, что
внутреннее сопротивление идеального источника тока бесконечно
велико, и поэтому параметры внешней электрической цепи, от которых
зависит напряжение на зажимах источника, не влияют на ток источника.
Условные обозначения идеального источника тока приведены на
рисунке 1.13, а и б. Стрелка в источнике тока или знаки «+» и «»
указывают положительное направление тока i(t) или полярность
источника, т.е. направление перемещения положительных зарядов, или,
что то же, направление, противоположное направлению движения
отрицательных зарядов, для тех моментов времени, когда функция i(t)
положительна.
+
i(t)
i(t)
i(t)

а
б
в
Рисунок 1.13
Источники тока: идеальные (а, б) и конечной мощности (в)
По мере неограниченного увеличения сопротивления внешней
электрической цепи, присоединенной к идеальному источнику тока,
напряжение на его зажимах и соответственно мощность, развиваемая
им, неограниченно возрастают. Поэтому идеальный источник тока, так
же как и идеальный источник напряжения, рассматривается как
источник бесконечной мощности.
Источник тока конечной мощности изображается в виде идеального
источника тока с подключенным к его зажимам пассивным элементом,
который характеризует внутренние параметры источника и
ограничивает мощность, отдаваемую во внешнюю электрическую цепь
(рисунок 1.13, в).
u источник
u
u
ЭДС
источник
тока
i
a
i
б
i
в
Рисунок 1.14
Вольт-амперные характеристики источников напряжения и тока
а  идеальные источники; б  генератор постоянного тока
с независимым возбуждением; в  генератор постоянного тока
с последовательным возбуждением
ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
Настоящее пособие посвящено в основном рассмотрению электрических цепей, в
которых сопротивления, индуктивности и емкости не зависят от значений и
направлений токов и напряжений. Такие электрические цепи, как и сами
элементы, из которых они состоят, называются линейными, так как напряжение и
ток в каждом элементе связаны между собой линейным уравнением –
алгебраическим или дифференциальным.
Действительно, в случае, если параметр R не зависит от u и i, то закон Ома (1.1)
выражает линейную зависимость между напряжением и током.
Если L и С не зависят от u и i, то напряжение и ток связаны линейными
дифференциальными уравнениями (1.4) в случае индуктивности и (1.8) в случае
емкости.
Если в рабочем диапазоне, на который рассчитывается то или иное устройство,
т.е. при заданных ограниченных пределах изменений напряжения, тока и т.п.,
закон линейности с достаточной для практики степенью точности сохраняется, то
такое устройство рассматривается как линейное.
Исследование и расчет линейных цепей сопряжены, как правило, с меньшими
трудностями, чем исследование и расчет нелинейных цепей. Поэтому в тех
случаях, когда линейный закон достаточно близко отражает физическую
действительность, цепь рассматривается как линейная.
В линейной электрической цепи соблюдаются принципы
наложения и пропорциональности сигналов.
Принцип наложения заключается в том, что если входным
сигналам f1вх(t) и f2вх(t), порознь подводимым к цепи,
соответствуют выходные сигналы f1вых(t) и f2вых(t), то суммарному
входному сигналу f1вх(t) + f2вх(t) будет соответствовать выходной
сигнал f1вых(t) + f2вых(t).
Принцип пропорциональности состоит в том, что входному
сигналу Аfвх(t) соответствует выходной сигнал Аfвых(t), где А 
постоянный множитель.
Если с течением времени параметры и схема цепи сохраняются
неизменными, то цепь называется инвариантной во времени.
то для линейных электрических цепей, инвариантных во
времени, выполняется следующее условие: дифференцирование
или интегрирование входного сигнала влечет за собой
дифференцирование или соответственно интегрирование
выходного сигнала.
ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ,
ОТНОСЯЩИЕСЯ К ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ
СХЕМЕ
Электрическая схема представляет собой графическое изображение электрической
цепи. Она показывает, как осуществляется соединение элементов
рассматриваемой электрической цепи.
«Электрическими» элементами схемы служат активные и пассивные элементы
цепи. «Геометрическими» элементами схемы являются, ветви и узлы.
Ветвь образуется одним или несколькими последовательно соединенными
элементами цепи (рисунок 1.15). При этом под последовательным соединением
элементов цепи понимается такое их соединение, при котором через все эти
элементы проходит один и тот же ток.
i
узел
Один узел
а
б
e
Рисунок 1.15
Изображение ветвей
электрической схемы
Рисунок 1.16
Изображение узла
электрической схемы
Узел  место соединения трех или большего числа ветвей (рисунок 1.16).
Место соединения двух ветвей рассматривается как «устранимый узел».
Линии, связывающие ветви в схеме, представляют соединения без
сопротивлений. Поэтому, например, схемы рисунка 1.16, а и б в
электрическом смысле одинаковы: они содержат один узел.
Ветви, присоединенные к одной паре узлов (рисунок 1.17), называются
параллельными.
Рисунок 1.18 в виде примера иллюстрирует электрическую схему,
содержащую пять ветвей и три узла.
Ветвь
Узел
Рисунок 1.17
Параллельное
соединение двух ветвей
Контур
Ветвь
Узел
Ветвь
Ветвь
Ветвь
Ветвь
Узел Ветвь Узел
Узел
Рисунок 1.18
Схема электрической цепи
Любой замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям, называется
контуром. На рисунке 1.18 указано стрелкой направление обхода одного
из контуров, образованных в данной электрической схеме.
В зависимости от числа контуров, имеющихся в схеме, различают
одноконтурные и многоконтурные схемы.
Таким образом, при рассмотрении электрической цепи постоянного тока
в установившемся режиме, при котором напряжения и токи в цепи
являются постоянными, пассивными элементами схемы являются
сопротивления, а активными  источники постоянной ЭДС или
постоянного тока.
Индуктивности и емкости учитываются в схемах цепей переменного тока
и при переходных (неустановившихся) процессах, возникающих в
электрических цепях при переходе от одного режима к другому.
ВОЛЬТ-АМПЕРНАЯ
ХАРАКТЕРИСТИКА
УЧАСТКА ЦЕПИ С ИСТОЧНИКОМ
Закон Ома может быть применен к участку цепи с источниками, и для такого
участка может быть построена вольт-амперная характеристика.
На рисунке 1.19, а показана ветвь с последовательно соединенными источником
постоянной ЭДС Е и сопротивлением R. Через ветвь проходит ток i, величина и
направление которого в общем случае зависят не только от данного источника
ЭДС, но и от источников остальной части электрической цепи, присоединенной к
зажимам 1 и 2.
u12
1
E
R
Rx
ux
i
i
2
0

-E
E

u
a
u = u21
б
i
в
Рисунок 1.19
Последовательное соединение сопротивления и источника
постоянной ЭДС: а  схема; б, в  вольт-амперные характеристики
При указанных на рисунке 1.19, a направлениях ЭДС и тока потенциал зажима 1
ниже потенциала зажима 2 на величину ЭДС за вычетом падения напряжения от
тока I в сопротивлении R.
Следовательно, напряжение на зажимах ветви составляет:
и = u12 = -E + RI.
Вольт-амперная характеристика для этого случая показана на рисунке
1.19, б.
Разность потенциалов, взятая в направлении от зажима 2 к зажиму 1
(рисунок 1.19, б), обратна по знаку выражению (1.9), т.е. равна ЭДС
источника за вычетом падения напряжения от тока i в сопротивлении R:
u21 = -u12 = E  RI.
Следовательно, напряжение на зажимах ветви равно
u = -u21 = E  RI.
Характеристика, построенная по этому уравнению, называемая внешней
характеристикой, приведена на рисунке 1.19, в.
Тангенс угла  пропорционален сопротивлению R. При отрицательном знаке тока i
напряжение на сопротивлении R складывается с ЭДС Е, и в этом случае u >Е.
На рисунке 1.20, а показан участок цепи, состоящий из источника
постоянного тока I с параллельным сопротивлением R. Так же как и в
предыдущем случае, направление и величина тока i, проходящего через
зажимы 1 и 2, зависит не только от данного источника, но и от
источников остальной части цепи, присоединенной к зажимам 1 и 2.
При указанных на рисунке 1.20, а направлениях токов через
сопротивление R от зажима 2 к зажиму 1 проходит ток I  i, создающий
напряжение u12 = Ri – RI.
По этому уравнению строится вольт-амперная характеристика (рисунок
1.20, б).
u12
u
u
21
I
1
i
R I-i
2
0
Ri
i
-Ri

a

I
б
I
i
в
Рисунок 1.20
Параллельное соединение сопротивления и источника постоянного
тока: а  схема; б, в  вольт-амперные характеристики
Разность потенциалов, взятая в направлении от зажима 2 к зажиму 1,
составляет u21 = RI – Ri.
Соответствующая вольт-амперная характеристика показана на рисунке
1.20, в.
Таким образом, вольт-амперные характеристики участков цепи,
состоящих из линейного сопротивления, соединенного последовательно
с источником ЭДС или параллельно с источником тока, прямолинейны.
Из сопоставления вольт-амперных характеристик (рисунки 1.19, б, в и
1.20, б), видно, что источник напряжения эквивалентен источнику тока
при условии Е = RI, и потому они могут быть взаимно заменяемы.
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛА ВДОЛЬ ЦЕПИ
С СОПРОТИВЛЕНИЯМИ И ИСТОЧНИКАМИ НАПРЯЖЕНИЯ
Допустим, что на участке цепи, изображенном на рисунке 1.19, а, величина тока i
= I задана. Обозначив через Rx и ux некоторую часть сопротивления R и
соответствующее напряжение относительно зажима 1, получим по аналогии с
(1.10) ux = E  RxI. Следовательно, зависимость ux(Rx) представляется прямой
линией (рисунок 1.21), причем тангенс угла наклона прямой к оси абсцисс
пропорционален I
BC RI R
mR
tg 

:
AB mu m R
I
mu
где mu и mR — масштабы, в которых на рисунке 1.21 отложены напряжения и
сопротивления.
ux
C
RI
E
B
A

u21
Rx
0
R
Рисунок 1.21
Зависимость напряжения от сопротивления (при заданном токе)
Теперь рассмотрим неразветвленную электрическую цепь постоянного тока,
содержащую сопротивления и источники ЭДС (рисунок 1.22, а), и построим для
нее график изменения потенциала. Приравняем нулю потенциал одной точки
этого контура. Начав обход контура с этой точки, придем к исходному потенциалу.
Примерный график распределения потенциала в этом случае показан на рисунке
1.22, б. Следует обратить внимание на то, что при переходе через источник ЭДС в
направлении, противоположном ЭДС, потенциал снижается на величину этой ЭДС.
Е1
R1
Е2
I
Е3
R3
R2
Направление обхода контура
а
E1
E2
R
E3
0
R1
R2
R3
б
Рисунок 1.22
Распределение потенциала вдоль цепи постоянного тока
а  схема; б  график потенциалов
ЗАКОНЫ КИРХГОФА
Основными законами теории цепей, наряду с законом Ома, являются законы
баланса токов в разветвлениях (первый закон Кирхгофа) и баланса напряжений на
замкнутых участках цепи (второй закон Кирхгофа).
Первый закон Кирхгофа.
i  0
i1
i1
i2
i4
i3
а
i2
i3
б
Рисунок 1.23
Иллюстрация к первому закону Кирхгофа
На рисунке 1.23, а в качестве примера показан узел, в котором сходятся
четыре ветви. Уравнение (1.11) имеет в этом случае вид
i1  i2 + i3 + i4 = 0.
Первый закон Кирхгофа выражает тот факт, что в узле электрический
заряд не накапливается и не расходуется. Сумма электрических зарядов,
приходящих к узлу, равна сумме зарядов, уходящих от узла за один и тот
же промежуток времени.
Первый закон Кирхгофа применим не только к узлу, но и к любому
контуру или замкнутой поверхности, охватывающей часть электрической
цепи, так как ни в каком элементе цепи, ни в каком режиме
электричество одного знака не может накапливаться.
Так, например, для схемы на рисунке 1.23, б имеем:
i1 + i2 + i3 = 0.
Второй закон Кирхгофа.
Алгебраическая сумма ЭДС в любом контуре цепи равна алгебраической
сумме падений напряжения на элементах этого контура
e  u
Обход контура совершается в произвольно выбранном направлении,
например по ходу часовой стрелки. При этом соблюдается следующее
правило знаков для ЭДС и падений напряжения, входящих в (1.12): ЭДС
и падения напряжения, совпадающие по направлению с направлением
обхода, берутся с одинаковыми знаками.
e1
u4
u1
Направление обхода
контура
e2
u2
u3
Рисунок 1.24
Иллюстрация ко второму закону Кирхгофа
Например, для схемы на рисунке 1.24 имеем
e1  e2 = u1 + u2 + u3 – u4 .
Уравнение (1.12) можно переписать так
( u  e )  0
Здесь (u – e)  напряжение на ветви.
Следовательно, алгебраическая сумма напряжений на ветвях в любом
замкнутом контуре равна нулю.