Ëåêöèÿ3

Характеристики поля
излучения в астрофизике
Содержание
• Интенсивность, яркость, плотность
потока
• Поляризация излучения
• Перенос излучения в среде
• Тепловое излучение тел, яркостная и
эффективная температуры
Интенсивность и яркость
Интенсивность излучения (Iν) определяется как
спектральная плотность мощности, проходящей
через единичную площадку, ориентированную
перпендикулярно к вектору групповой скорости, в
единичный телесный угол.
В пустом пространстве интенсивность излучения
вдоль луча постоянна.
dE1  I(1) dA1 d 1 d 1 dt  dE2  I(2) dA2 d 2 d 2 dt
d 1  d 2 d 1  dA2 R12 d 2  dA1 R21 R12  R21
Интенсивность излучения поверхности объекта
обычно называется его яркостью (B)
Плотность потока
Интеграл от яркости по всему источнику дает
плотность потока излучения от источника:
Единицей плотности потока в радиоастрономии
является 1 Янский (1 Ян) = 10-26 Вт м-2Гц-1
Иногда плотность потока определяется несколько
иначе (Θ – угол, отсчитываемый от центра источника):
Разница между этими определениями существенна
только для очень протяженных объектов.
Поляризация излучения
Эллипс поляризации для излучения с
волновым вектором, направленным
на нас (p – отношение осей эллипса).
Направление вращения учитывается
знаком p.
Параметры
Стокса
V
c 
I
Q2  U 2
Q
l 

I cos 2 
I
(нормированные)
Сфера Пуанкаре
Если использовать
параметры Стокса в
качестве декартовых
осей, то любое
состояние
поляризации будет
соответствовать точке
на поверхности сферы
радиусом S,
называемой сферой
Пуанкаре.
Связь параметров Стокса с
измеряемыми величинами
Для антенн, измеряющих
две линейные поляризации
две круговые поляризации
Перенос излучения
dI
  I  
dx
Уравнение переноса излучения
(без учета коэффициента
преломления)
αν – коэффициент поглощения (может быть
отрицательным)
εν – коэффициент излучения
Для изотропного излучателя
P
 
4
Коэффициенты поглощения и излучения
определяются микрофизикой и состоянием вещества
Частные случаи
• Только излучение (αν = 0)
x
I ( x)  I ( x0 )    ( x) dx
x0
• Только поглощение (εν = 0)
 x

I ( x)  I ( x0 ) exp     ( x) dx
 x0

Оптическая толща
x
    ( x) dx
x0
  1
  1
Оптически толстый случай
Оптически тонкий случай
Средняя длина свободного пробега фотона l
 1/ 
Функция источника

S 

Функция источника часто
находится проще, чем
коэффициент излучения
dI
  I  S
d
Решение уравнения переноса
t ( 0® X )
t ( x ¢® X )
é
ù
é
ù
ê X
ú X
ê X
ú
In ( X ) = In (0)exp ê - ò an x ¢ dx ¢ ú + ò en x ¢ exp ê - ò an x ¢¢ dx ¢¢ ú dx ¢
ê 0
ú 0
ê x¢
ú
ê
ú
ê
ú
ë
û
ë
û
( )
( )
( )
Физ. смысл: первое слагаемое –
начальное излучение, ослабленное
поглощением, второе – излучение
источника с учетом поглощения.
I ( )  I (0)e


  S ( ) e
0
 (  )
d
Пример
S  const
I ( )  I (0)e
  
  1
Обычно
измеряется


 S 1  e


I  S
I  I (0) 1     S

I  I (0)   S  I (0)  1  e


Образование
спектральных линий в
однородных облаках
Уравнение переноса в неоднородной
преломляющей среде
В прозрачной и неизлучающей неоднородной
изотропной среде с показателем преломления n
I
 const
2
n
d  Iv 
n
 2      I
dx  n 
2
Тепловое излучение
В равновесном случае

 S  B (T )

2hν
B (T )  2
c
3
Закон Кирхгофа
1
e
h
kT
Функция Планка
1
Интенсивность равновесного излучения в
прозрачной изотропной среде с показателем
преломления n равна n2Bν(T).
ФДТ и равновесное тепловое
излучение
• Флуктуационно-диссипационая теорема
(ФДТ) связывает равновесное
флуктуационное электромагнитное поле с
величиной потерь в некотором объеме. Она
представляет собой обобщение закона
Кирхгофа.
• В формулы ФДТ для равновесных
флуктуаций входит слагаемое,
соответствующее нулевым колебаниям.
Однако, в формулах для потока энергии его
не надо учитывать, так как это всегда стоячие
волны.
Приближения Рэлея-Джинса и Вина
• Приближение Рэлея-Джинса (hν << kT)
2k
2kT
B (T )  2 T  2
c

2
• Приближение Вина (hν >> kT)
2h
B (T )  2 e
c
3

h
kT
Законы теплового излучения
• Закон смещения Вина
kT
10
 max  2.82
 6 10 T
h
[Гц]
• Закон Стефана-Больцмана

F   B cos  d d    B d   BT 4
0
σB – постоянная Стефана-Больцмана
Излучение нагретых тел
I  B (T ) 1  R 
R – коэффициент отражения
R = 0 → абсолютно черное тело (АЧТ)
Отражение и преломление волн
Из равенства
тангенциальных компонент
волновых векторов:
1   0
sin  2
1 n1


sin  0
 2 n2
Амплитуды отраженной и преломленной волн
находятся из условий непрерывности
соответствующих компонент электрического и
магнитного поля на границе раздела.
Формулы Френеля
• Для случая, когда вектор E перпендикулярен
к плоскости падения
E0  E1  E2
k0 z  E0  E1   k2 z E2
Отсюда:
1 cos 0   2  1 sin 2  0
k0 z  k 2 z
E1 
E0 
E0
k0 z  k 2 z
1 cos 0   2  1 sin 2  0
2 1 cos  0
2k0 z
E2 
E0 
E0
k0 z  k 2 z
1 cos 0   2  1 sin 2  0
Коэффициент отражения по
мощности
При нормальном падении (как для
прозрачной, так и для
поглощающей отражающей среды)
Если обе среды прозрачны, то при
наклонном падении для случаев,
когда вектор электрического поля
перпендикулярен и параллелен
плоскости падения
sin (q 2 - q 0 )
2
R^ =
R =
sin (q 2 + q 0 )
2
tg 2 (q 2 - q 0 )
tg 2 (q 2 + q 0 )
При q 0 + q 2 = p / 2 R = 0, так что в отраженном
свете электрическое поле будет перпендикулярно к
плоскости падения. Это - угол Брюстера или угол
полной поляризации
Если отражающая среда оптически
2
менее плотная, то при  0   r , где
tg  p 
sin  r  n2 / n1 происходит полное
1
отражение падающей волны
Яркостная температура
• Яркостная температура излучения TB
определяется через соотношение
I  B (TB )
• Часто она определяется, используя
приближение Рэлея-Джинса (TR).
I 
2kTR

2
Уравнение переноса для
яркостной температуры

TR  T0 e   T ( ) e d 

 
0
TR  T0e  T 1  e



TR  T0  T  T0  1  e
TR ~ T ( ~ 1)


Эффективный уровень выхода
излучения из оптически толстого
слоя
Функция взаимной когерентности
• При радиоинтерферометрических измерениях непосредственно
измеряется так называемая функция взаимной когерентности
Вольфа или, что то же самое, корреляционная функция
случайного поля, создаваемого источниками, расположенными
в дальней зоне антенны.
Для абсолютно некогерентного и стационарного во времени излучения
(что обычно имеет место в радиоастрономии):
Средняя интенсивность излучения на частоте ω
по направлению n
Случайное поле
в этом случае будет стационарным
процессом как по временным, так и по пространственным
координатам, и корреляционная функция будет зависеть лишь от
разности аргументов:
Пуст
ь
(
– временной спектр сигнала)
Тогда
Временная корреляционная функция
сигнала
Теорема ван Циттерта - Цернике