p
реклама
3.24 Парамагнетизм У парамагнетиков магнитные моменты атомов pm отличны от нуля даже в отсутствие внешнего магнитного поля. Однако, за счет теплового движения атомов их магнитные моменты ориентированы хаотично, поэтому в отсутствие внешнего магнитного поля суммарный магнитный момент всех атомов парамагнетика равен нулю. Вследствие этого, парамагнетики, как и диамагнетики, магнитными свойствами не обладают. Примерами парамагнитных веществ являются Pt, Al, редкоземельные элементы и т.д. Внешнее магнитное поле устанавливает магнитные моменты атомов вдоль направления вектора магнитной индукции B . В результате возникает преимущественная ориентация магнитных моментов атомов p m , парамагнетик намагничивается по направлению внешнего поля и усиливает его. Пьер Кюри экспериментально установил закон, согласно которому восприимчивость парамагнетика зависит от температуры как C (3.24.1) χ = m T где С – постоянная Кюри, Т – абсолютная температура. Классическую теорию парамагнетизма развил Ланжевен в 1905 г. Рассмотрим теорию Ланжевена для случая не слишком сильных магнитных полей и не очень низких температур. Определим потенциальную энергию, которую приобретает атом в присутствие внешнего магнитного поля. Со стороны магнитного поля с индукцией B на атом действует момент сил M = [pm × B] Величина этого момента равна M = pmB sin где - угол между векторами pm и B . Чтобы увеличить угол на величину d надо совершить работу против сил магнитного поля, равную dA = Md = pmB sin d При возвращении в начальное положение атом совершает работу над окружающими телами. Поэтому работа dA идет на увеличение потенциальной энергии атома dU = dA = pmB sin d При повороте на конечный угол потенциальная энергия атома возрастает на величину U = dU = pmBsin d pmB cos const Будем считать, что в отсутствие магнитного поля потенциальная энергия атома равна нулю, тогда const 0 Поэтому U pm Bcos У разных атомов магнитные моменты p m направлены в разные стороны. В равновесном состоянии устанавливается некоторое стационарное угловое распределение этих моментов, которое зависит от потенциальных энергий атомов и подчиняется закону Больцмана. Согласно распределению Больцмана вероятность того, что вектор магнитного момента атома p m образует с вектором индукции B угол в пределах ÷ +d, равна U pm B cos dw A exp( ) A exp( ) kT kT (3.24.2) Коэффициент А найдем из рассмотрения предельного случая, когда магнитное поле отсутствует B = 0 . В этом случае все направления магнитных моментов равновероятны, поэтому вероятность того, что вектор p m образует с некоторым направлением z угол в пределах ÷ +d равна d 2 sin d 1 dw |B0 sin d 4 4 2 Но согласно (3.24.2) эта же вероятность должна быть равна константе А 1 dw |B0 sin d A 2 Подставляя коэффициент А в формулу (3.24.2), получаем окончательное выражение для вероятности в присутствии магнитного поля 1 pm B cos dw sin d exp( ) 2 kT Пусть теперь магнитное поле и температура таковы, что выполняется неравенство pmB << kT (3.24.3) Тогда показатель экспоненты мал и вероятность можно приближенно представить в виде 1 pm B cos dw sin d (1 ) 2 kT Пусть n - концентрация атомов в парамагнетике, pm которых тогда число атомов, магнитные моменты образуют с направлением магнитного поля углы в пределах ÷+d , равно n pm B cos dn ndw sin d (1 ) 2 kT Каждый атом вносит в результирующий магнитный момент вклад p mcos Магнитный момент единицы объема парамагнетика по определению есть намагниченность J, - она равна сумме моментов атомов, находящихся в таком объеме J = pmcos dn 0 n pm B pm (1 cos ) cos sin d 2 0 kT 2 m n 2 pm B np B pm 2 3 kT 3kT Итак, намагниченность парамагнетика равна 2 m np B J= 3kT (3.24.4) Разделив ее на напряженность внешнего магнитного поля Н, получим магнитную восприимчивость 2 m np B χ= 3kTH Магнитная проницаемость парамагнетиков близка к B единице ( 1), поэтому тогда μ0 np χ= 3kT 2 m H = μ0 μ μ0 на объем одного моля вещества Vm и m Vm nVm = N A Умножим учтем, что где NA - число Авогадро. В результате находим молярную восприимчивость μ0 N A pm2 (3.24.5) χμ = 3kT Это и есть закон Кюри (3.24.1), в котором постоянная Кюри 2 равна μ0 N A pm (3.24.6) C= 3k Данная формула справедлива при выполнении условия (3.24.3), когда магнитные поля не слишком сильные, а температура не очень низкая. 3.25 Ферромагнетики Ферромагнетики вещества, обладающие спонтанной намагниченностью. Это значит, что они намагничены даже в отсутствие внешнего магнитного поля. Ферромагнетиками являются железо, кобальт, никель, ... В отличие от диамагнетиков и парамагнетиков, у которых намагниченность J меняется пропорционально напряженности внешнего магнитного ферромагнетиков зависимость J(H) поля Н, у имеет сложный вид. При больших внешних полях Н намагниченность ферромагнетиков стремится к максимальному значению Jнас ~ 106 А/м, которое называется магнитным насыщением. Характерной особенностью ферромагнетиков является магнитный гистерезис (от греч. - запаздывание). Рассмотрим в чем заключается это явление. Пусть в начальном состоянии ферромагнетик был ненамагниченным (точка 0). При включении внешнего магнитного поля H он начнет намагничиваться (нулевая кривая намагничения 0-1) вплоть до насыщения (точка 1). Если затем H уменьшать, то изменение намагничения J будет описываться кривой 1-2, лежащей выше кривой 0-1. При H = 0 намагничение J 0, значит у ферромагнетика имеется остаточное намагничение Jос. Чтобы размагнитить ферромагнетик, к нему надо приложить внешнее поле Hс, направленное против поля, вызвавшего намагничение. Это поле Hс называют коэрцитивной силой. При дальнейшем увеличении противоположного поля H ферромагнетик перемагничивается (кривая 3-4), а при H = -Hнас намагничение J достигает насыщения (точка 4). Затем ферромагнетик можно опять размагнитить (4-5-6) и вновь перемагнитить до насыщения (6-1). Кривая 1-2-3-4-5-6-1, по которой изменяется намагниченность ферромагнетика J, называется петлей гистерезиса. Ферромагнетики, имеющие широкую петлю гистерезиса, называют жесткими, у них большая коэрцитивная сила Hс. Ферромагнетики с малой Hс имеют узкую петлю гистерезиса, их называют мягкими. У каждого ферромагнетика имеется определенная температура Тс (точка Кюри), при которой он теряет свои магнитные свойства. При нагревании тела выше Тс ферромагнетик превращается в парамагнетик, восприимчивость которого подчиняется закону Кюри-Вейсса C χm = T - Tc Tс (Fe) = 1043 К (3.25.1) Теория ферромагнетизма была развита Вейссом. Согласно теории Вейсса явление ферромагнетизма связано с тем, что при температурах ниже точки Кюри ферромагнетик разбивается на множество малых макроскопических областей – доменов, которые самопроизвольно намагничены до насыщения. В отсутствие внешнего магнитного поля Н магнитные моменты доменов ориентированы хаотически и компенсируют друг друга, поэтому результирующий магнитный момент ферромагнетика равен нулю и ферромагнетик не намагничен. Внешнее магнитное поле приводит к увеличению размеров доменов, магнитные моменты которых направлены по полю, поэтому намагниченность с ростом Н увеличивается и достигает своего max значения. Cлева – в ненамагниченном железе домены ориентированы случайным образом. Cправа – в магните домены имеют преимущественную ориентацию. Длины стрелок пропорциональны магнитным моментам доменов. Размеры больше у тех доменов, магнитные моменты которых совпадают с внешним магнитным полем. При ослаблении внешнего магнитного поля до нуля ферромагнетик сохраняет остаточное намагничение, поскольку тепловое движение не в состоянии дезориентировать магнитные моменты крупных образований в виде доменов. Эксперименты подтвердили гипотезу Вейсса о существовании доменов. Линейные размеры доменов оказались равными ~ 1 – 10 мкм. Точка Кюри является температурой, начиная с которой происходит разрушение доменной структуры ферромагнетика. Дальнейшие исследования ферромагнетизма были выполнены Гейзенбергом и Френкелем на основе квантовой теории. Они показали, что свойства ферромагнетиков определяются спиновыми магнитными моментами электронов. Чтобы вещество было ферромагнетиком необходимо, чтобы атомы вещества имели незаполненные электронные оболочки с нескомпенсированными спинами. Тогда возникают обменные силы, вынуждающие спиновые магнитные моменты электронов ориентироваться параллельно друг другу в области доменов. При изменении внешнего магнитного поля домены меняют свои размеры и направления магнитных моментов. Эти процессы являются необратимыми, что и служит причиной гистерезиса. 4. Основы электромагнитной теории Максвелла 4.1 Вихревое электрическое поле Пусть переменное магнитное поле пронизывает неподвижный замкнутый проводник. Согласно закону Фарадея в проводнике в этом случае возникает ЭДС электромагнитной индукции , действие которой i приводит к возникновению индукционного тока. Опыт показывает, что появление данной ЭДС не зависит от рода проводника и его состояния, в частности, его температуры. Значит, она не связана с изменением свойств проводника в магнитном поле и может быть обусловлена только самим магнитным полем. Поскольку проводник считается не подвижным, то возникший в нем индукционный ток нельзя объяснить силой Лоренца (как это было сделано раньше при рассмотрении контура с током и подвижной перемычкой 3.13), так как на неподвижные заряды она не действует. Возникает вопрос о природе ЭДС электромагнитной индукции. Известно, что ЭДС в цепи возникает тогда, когда в ней на носители тока действуют сторонние силы. Причем эти силы должны быть не электростатического происхождения. Максвелл выдвинул гипотезу о том, что причиной возникновения ЭДС электромагнитной индукции является некоторое новое электрическое поле, которое по своим свойствам отличается от электростатического поля и создается не зарядами, а переменным магнитным полем. Обозначим напряженность этого нового электрического поля как EB . Оно возникает в пространстве, окружающем переменное магнитное поле. Согласно Максвеллу, замкнутый проводник выступает всего лишь прибором, позволяющем обнаружить это поле. Имеется важное отличие нового поля EB от электростатического поля. Силовые линии электростатического поля всегда разомкнуты – они начинаются и заканчиваются на электрических зарядах. Поэтому напряжение по замкнутому контуру в электростатическом поле равно нулю (циркуляция напряженности электростатического поля равна нулю). Электростатическое поле не может поддерживать замкнутое движение зарядов и поэтому не может приводить к возникновению ЭДС. В отличие от электростатического поля, электрическое поле EB , возникающее в явлении электромагнитной индукции, имеет замкнутые силовые линии, поэтому оно, как и магнитное поле, является вихревым полем. Это вихревое электрическое поле EB вызывает в проводнике движение электрона по замкнутым траекториям и создает вихревой ток с замкнутыми линиями. Именно оно и выступает в роли сторонних сил и является причиной возникновения ЭДС электромагнитной индукции. На рисунке магнитная индукция B растет с течением времени. Найдем связь вектора напряженности вихревого электрического поля с вектором индукции EB магнитной . B Согласно (2.3.4), ЭДС в замкнутом контуре равна циркуляции вектора напряженности EB по этому контуру Учитывая, что можем записать = E dl i i dФ =dt B Ф BdS d EBdl dt S BdS S где интеграл справа берется по любой поверхности опирающейся на контур из проводника. S, Так как проводник и связанная с ним поверхность S неподвижны, то операции дифференцирования и интегрирования можно поменять местами B E dl dS B S t Здесь под знаком интеграла использован символ для частной производной по времени, так как вектор магнитной индукции B в общем случае может зависеть не только от времени, но и от координат. Применим к левой части равенства теорему Стокса E dl rotE dS = [ E ] dS B B B Поскольку поверхность S может быть выбрана произвольно, то из равенства интегралов B rotE dS dS B S S t следует равенство подинтегральных функций B rotEB = t (4.1.1) EB взятой Ротор вихревого электрического поля равен с обратным знаком производной по времени от вектора магнитной индукции . B Уравнение (4.1.1) показывает, что изменяющееся во времени магнитное поле B порождает вихревое электрическое поле EB . Данный результат получен из рассмотрения проводящего контура. Но вихревое электрическое поле возникает не только в точках этого контура, но и в любых других точках пространства, где магнитное поле меняется со временем. В отличие от вихревого поля, электростатическое поле потенциально и согласно (1.18.4) ротор его вектора напряженности Eq в любой точке пространства равен нулю (4.1.2) rotEq = 0 Итак, существуют два вида электрического поля – потенциальное E и вихревое EB . q В общем случае электрическое поле равно сумме этих двух полей E = EB Eq Сложив уравнения (4.1.1) и (4.1.2), уравнение для суммарного электрического поля B rotE = t получим (4.1.3) Это одно из основных уравнений теории Максвелла. 4.2 Ток смещения Опыт подтверждает, что переменное магнитное поле создает в окружающем пространстве вихревое электрическое поле. Возникает вопрос, справедливо ли обратное – создает ли в свою очередь переменное электрическое поле магнитное поле ? Вообще говоря, этого следовало бы ожидать, исходя из симметрии законов природы. Однако, до сих пор в рассмотрении источниками магнитного поля выступали только токи, то есть движущиеся заряды. Чтобы утвердиться в положительном ответе на этот вопрос, Максвелл заметил, что если на него ответить отрицательно, то для нестационарных процессов возникает противоречие между уравнением непрерывности для плотности заряда и формулой ( j ) = t (4.2.1) [ H] = j (4.2.2) связывающей напряженность магнитного поля с вектором плотности тока. Убедимся в этом. Возьмем дивергенцию от обеих частей уравнения (4.2.2) div[ H] = divj = ( j) ( [ H]) = ( j) Известно, что дивергенция ротора любого вектора равна нулю ( [ H]) = divrotH 0 Поэтому должна равняться нулю и дивергенция плотности тока ( j) = divj = 0 тогда из (4.2.1) следует, что 0 t Таким образом, получили, что плотность заряда ρ не меняется с течением времени. Но это справедливо только для стационарных процессов. В случае же не стационарных процессов плотность ρ , как показывает опыт, меняется со временем. Чтобы устранить возникшее противоречие Максвелл ввел в рассмотрение так называемый ток смещения, который существует помимо токов проводимости. Этому току смещения отвечает своя плотность тока j , смещ которая определяется так, чтобы выполнялось условие ( j + jсмещ ) = div( j + jсмещ ) = 0 (4.2.3) Суммарный ток (ток проводимости + ток смещения) называют полным током. Так как дивергенция вектора характеризует наличие источников, то равенство нулю дивергенции полного тока (4.2.3) говорит о том, что у полного тока нет источников, а поэтому линии полного тока не могут нигде ни начинаться, ни кончаться, они должны быть замкнутыми, либо уходить на бесконечность. Следовательно, там где обрываются линии тока проводимости, к этим линиям должны непосредственно примыкать продолжающие их линии тока смещения. Согласно Максвеллу, именно плотность полного тока должна входить в уравнение (4.2.2) и поэтому в действительности оно должно иметь вид [ H] = j + jсмещ (4.2.4) Равноправность вхождения двух токов в правую часть этого уравнения говорит о том, что токи смещения в магнитном отношении подобны токам проводимости, то есть они возбуждают магнитное поле по тем же законам, что и токи проводимости. В тоже время, в уравнении непрерывности (4.2.1) необходимо использовать только плотность токов проводимости j . Тогда из (4.2.3) следует ( j ) = -( jсмещ ) Подставляя этот результат в (4.2.1), получаем уравнение, которому должна удовлетворять плотность токов смещения ( jсмещ ) = t (4.2.5) Найдем явный вид для плотности тока смещения. Для этого выразим ее через вектор электрического смещения D . Используем уравнение (1.16.5) ( D ) = ρ Продифференцируем его по времени ρ ( D ) = t t Поменяем в левой части порядок дифференцирования по времени и координатам ρ D = ( ) t t Подставим производную от плотности в уравнение (4.2.5) D ( jсмещ ) = ( ) t Отсюда следует, что с точностью до произвольной функции времени F(t) не зависящей от координат, выражения под знаком градиента слева и справа должны совпадать. Полагая эту функцию равной нулю F(t) = 0, получаем D jсмещ = t Это и есть искомый результат. (4.2.6) Подставляя (4.2.6) в формулу (4.2.4), получим еще одно уравнение Максвелла D [ H] = j + t (4.2.7) Оно показывает, что магнитное поле порождается не только токами проводимости (первое слагаемое), но и меняющимся во времени электрическим полем (второе слагаемое). Введение тока смещения сделало электрическое и магнитное поля равноправными и взаимно связанными. Согласно уравнениям Максвелла (4.1.3) и (4.2.7) электрическое и магнитное поля способны порождать друг друга и превращаться друг в друга. Всякое изменение магнитного поля всегда сопровождается появлением электрического поля и, наоборот, всякое изменение электрического поля приводит к появлению магнитного поля. Поэтому электрическое и магнитное поля образуют единое электромагнитное поле. Термин ток смещения является условным. По существу ток смещения – это изменяющееся во времени электрическое поле. Из всех свойств, присущих току проводимости, ток смещения обладает лишь одним свойством – способностью создавать магнитное поле. Ток смещения получил название тока лишь потому, что его размерность D jсмещ = t совпадает с размерностью плотности тока. Ток смещения всегда возникает там, где есть изменяющееся во времени электрическое поле. В частности, ток смещения возникает внутри проводов, по которым течет переменный ток. Но обычно он здесь мал по сравнению с токами проводимости. Для тока смещения, как и для тока проводимости, можно строить линии тока. Рассмотрим в качестве примера плоский конденсатор. Согласно (1.17.2) электрическое смещение в зазоре конденсатора равно поверхностной плотности заряда на обкладке D Возьмем производную по времени D t t Согласно (4.2.6), левая часть этого равенства есть плотность тока смещения в зазоре. Правая же часть равна плотности тока проводимости внутри обкладок. Их равенство означает, что на границе обкладок линии тока проводимости непрерывно переходят в линии тока смещения. Это показывает, что линии полного тока действительно непрерывны и замкнуты. Выпишем все уравнения Максвелла, которым удовлетворяют электрическое и магнитное поле (4.2.8) вытекает из закона электромагнитной индукции Фарадея, говорит о существовании вихревого электрического поля B [ E ] = t указывает на отсутствие магнитных зарядов, источником магнитного поля являются только токи (4.2.9) ( B ) = 0 (4.2.10) выражает зависимость магнитного поля от токов проводимости и токов смещения (4.2.11) эквивалентно закону Кулона, показывает, что источниками электрического смещения являются сторонние заряды D [ H] = j + t ( D ) = Четыре уравнения (4.2.8) - (4.2.11) называются уравнениями Максвелла в дифференциальной форме. В них неизвестными являются E, D, B, H, j, их больше, чем уравнений. Поэтому одних только уравнений Максвелла недостаточно, чтобы найти все неизвестные. Для этого их надо дополнить полученными ранее “материальными” уравнениями (4.2.12) D = ε0 εE B = 0 H j =E (4.2.13) (4.2.14) Уравнения (4.2.8) - (4.2.14) являются основными уравнениями электродинамики покоящихся сред. Из принципа относительности Эйнштейна следует, что отдельное рассмотрение электрического и магнитного полей имеет относительный смысл. Например, если электрическое поле создается системой неподвижных зарядов, то эти заряды, являясь неподвижными относительно одной инерциальной системы отсчета, будут двигаться относительно другой и поэтому будут порождать не только электрическое, но и магнитное поле. Аналогично, неподвижный относительно одной инерциальной системы отсчета проводник с постоянным током, возбуждая в каждой точке пространства постоянное магнитное поле, движется относительно других инерциальных систем, и создаваемое им переменное магнитное поле возбуждает вихревое электрическое поле.
