Document 4734750

Чернявская Ирина Александровна
Член региональной предметнометодической комиссии Всероссийской
олимпиады школьников по математике,
учитель БОУ «Гимназия №117» г. Омска.
Количество задач
5-8 класс – 5 задач
Время выполнения
5-6 класс – 90 минут
7-8 класс – 120 минут
9-11 класс – 6 задач
9-11 класс – 180 минут
По трудности
2 легкие
2 средние
1 трудная
По тематике
Арифметика
Конструкции
Логика
Геометрические
мотивы
По трудности
2 легкие
2 средние
2 трудные:
«школьная» и
«на здравый
смысл»
По тематике
Конструкции
Алгебраические
преобразования
Текстовые
задачи
Геометрия
Три ёжика делили три кусочка сыра массами 5 г, 8
г и 11 г. Лиса стала им помогать. Она может от
любых двух кусочков одновременно отрезать и
съесть по 1 г сыра. Сможет ли лиса оставить
ёжикам равные кусочки сыра?
Решение. Лиса может, например, отрезать три
раза по 1 г от первого и третьего кусочка, а затем
отрезать шесть раз по 1 г от второго и третьего
кусочка. В результате получится три кусочка весом
по 2 г.
Первый член последовательности равен 76. Чтобы найти
следующий член, к произведению цифр предыдущего
члена прибавляют 12. Найдите 2014-ый член
последовательности.
Ответ: 18.
Решение. Найдем несколько первых членов
последовательности: 76→54→32→18→20→
12→14→16→18→…. Так как каждый последующий член
определяется только предыдущим, то далее члены
последовательности будут повторяться с периодом 5
(18, 20, 12, 14, 16). Найдем значение 2014-ого члена:
(2014 – 3):5=402 (ост.1). Значит 2014-ый член равен 18.
В парке росли липы и клены. Кленов среди них было 60%. Весной в
парке посадили липы, после чего кленов стало 20%. А осенью
посадили клены, и кленов стало снова 60%. Во сколько раз
увеличилось количество деревьев в парке за год?
Решение.
1) Пусть изначально в парке было x деревьев. Тогда среди
них было 0,6x клёнов и 0,4x лип.
2) После первой посадки число клёнов не изменилось, но они
стали составлять пятую часть от числа всех деревьев. Значит,
всего деревьев стало 3x, а лип среди них стало 2,4x.
3) После второй посадки число лип не изменилось, и они
стали составлять две пятых часть от числа всех деревьев.
Значит всего стало 2,4x:0,4=6x деревьев.
Это и показывает, что количество деревьев возросло в шесть
раз.
1.Степень сложности последней
задачи сопоставима с задачами
следующего этапа олимпиады.
2.Участник, решающий последние
задачи, - это потенциальный
призер муниципального этапа
олимпиады.
Латыпов Ильяс Абдульхаевич
Член региональной методической комиссии ВОШ по
математике (Омская область).
Доцент кафедры математического анализа
ОмГУ им. Ф.М. Достоевского
Не знают или не помнят
1.
2.
3.
4.
5.
Свойство биссектрисы треугольника.
Угол между касательной и хордой.
Свойство и признак вписанного четырехугольника.
Свойство и признак описанного четырехугольника.
Свойство медианы, проведённой к гипотенузе.
Помнят, но плохо используют
1.
2.
3.
Неравенство треугольника.
Теорема о вписанном угле.
Подобие.
10-й класс, 2013-14
Диагонали AD, BE, CF выпуклого
шестиугольника ABCDEF пересекаются в точке
K. Оказалось, что BA = BC = BK, DC = DE = DK, FA
= FE = FK. Докажите, что около шестиугольника
можно описать окружность.
ABC = ABK+CBK = 180–2+180–2 = 360–2(+),
CDK = 180–2.
ABC+CDK = 360–2(+)+180–2 = 540–2(++) =
=540–2(BKA+BKC+DKC) =180.
Вокруг ABCD можно описать окружность.
Аналогично вокруг BCDE тоже можно описать окружность.
A и E лежат на одной и той же окружности проведенной
через точки B, C, D.
Вокруг CDEF тоже можно описать окружность, и F лежит на
одной окружности с остальными вершинами
шестиугольника.
8-й класс, 2012-13
На диагонали BD параллелограмма ABCD
есть точка M, находящаяся на
одинаковом расстоянии от вершин A, B,
C. Докажите, что ABCD либо
прямоугольник, либо ромб.
Нарисуйте чертёж самостоятельно!
Пусть диагонали параллелограмма
пересекаются в точке О. Если точки М и О
совпадают, то в треугольнике АВС медиана
ВМ равна половине стороны АС,
следовательно угол АВС прямой и
параллелограмм АВСD – это прямоугольник.
Если точки М и О различны, то в
треугольнике АМС отрезок МО является
медианой, а значит и высотой,
следовательно, АС перпендикулярно BD и
параллелограмм АВСD – это ромб.
Просто, но забывается
1. Формулы сокращенного
умножения: куб суммы (разности),
сумма (разность) кубов
2. Попарная группировка и
разложение на множители
3. Выделение полного квадрата
9 класс, 2012-13
Два различных числа подобраны так,
что их сумма равна 1, а произведение
суммы квадратов на сумму кубов равно
сумме четвёртых степеней. Докажите,
что одно из чисел равно нулю, а другое
единице.
Из условия задачи получаем систему
Используем разложение суммы кубов и первое
уравнение для преобразования второго уравнения:
 x  y   x  y   x  xy  y   x  y ,
 x  y  1  x  xy  y   x  y ,
2
2
2
2
2
2
2
2
4
4
4
4
x 4  x 2 y 2  x3 y  xy 3  x 2 y 2  y 4  x 4  y 4 ,
2 x 2 y 2  x3 y  xy 3  0 ,
 xy  x 2  2 xy  y 2   0 ,
 xy  x  y   0 .
2
Так как числа различны, то
второе 1.
, то есть одно из чисел 0, а тогда
1. Галицкий М.Л.
и др. «Сборник задач
по алгебре для 8–9 классов».
2. Гордин Р.К. «Геометрия. Планиметрия.
7 – 9 классы».
3. Полонский В.Б., Рабинович Е.М., Якир
М.С. «Геометрия: Задачник к
школьному курсу»
Штерн Александр Савельевич
Председатель региональной
методической комиссии ВОШ по
математике (Омская область).
Заведующий кафедрой алгебры
ОмГУ им. Ф.М. Достоевского.
9 класс, 2012-13 (годится и для 6-го )
Раскрасьте в два цвета числа 1, 2, 3,
…, 16 так, чтобы числа 4, 8 и 16 нельзя
было представить в виде суммы двух
различных чисел одного цвета.
Под микроскопом
1.
2.
3.
Синие числа: 1. Красные числа: 3, 7, 15.
4.
Синие числа: 1, 5, 9, 13, 2. Красные числа: 3, 7, 15,
11, 6, 14. И 10 тоже в синий.
5.
Осталось: 4, 8, 12, 16. Выводы: 4 и 12 в разные
цвета; 8 и 16 как угодно. Отсюда один из вариантов.
Синие числа: 1, 5, 9, 13. Красные числа: 3, 7, 15, 11.
Развилка: как красить двойку? Непонятно? Тогда
красим в синий.
Синие числа: 1, 5, 9, 13, 2, 10, 4, 8, 16.
Красные числа: 3, 7, 15, 11, 6, 14, 12.
9 класс, 2009-10
Докажите, что существует три последовательных 1000значных натуральных числа, каждое из которых делится на
произведение всех своих цифр.
Спасительная идея. На единицу делится всё! Поэтом
начнём с числа 11…1 (всего 1000 единиц).
Решение. Тогда получаем три числа: 11..11, 11..12, 11..13
(во втором и третьем числе по 999 единиц). Легко видеть,
что сумма цифр третьего числа равна 999+3. Поэтому это
число делится на 3. Пригодность второго числа очевидна.
6 и 7 классы, 2013-2014
Можно ли, используя каждую из десяти цифр ровно один
раз, записать натуральное число и его квадрат?
Решение. Нет, нельзя. 1000²=1000000. Отсюда видно, что
квадрат трёхзначного числа содержит не более шести
знаков, а квадрат четырёхзначного числа не менее семи
знаков. В первом случае общее число знаков не более
девяти, во втором – не менее 11.
Ключевая идея: транзитивность неравенств.
Если a<b и b<c , то a<c.
1.
2.
3.
4.
Начинаем с числа 6. На 1 это число делится (как и всякое
другое), а больше ничего и не надо. Значит, число 6 –
своеобразное.
А от каких ещё чисел ничего не надо? Конечно, от чисел 7, 8,
9. 10, 11. Значит они тоже своеобразные. А вот число 12
должно делиться ещё и на 2. Но оно чётное, и потому тоже
своеобразное.
А число 13 не будет своеобразным, поскольку оно на 2 не
делится. И вообще ясно, что в полуинтервале [12;17)
своеобразными будут только чётные числа.
Ясно, что теперь надо переходить к промежутку [18;23).
Своеобразные числа из этого промежутка должны делиться на
3 и на 2, то есть на 6. Единственное такое число – 18. Число 24
делится на 3 и 4, поэтому тоже будет своеобразным. А
дальше?
Задачи омских муниципальных олимпиад в
книжке
Агаханов Н.Х., Подлипский О.К., Рубанов И.
«Пять Колец. Математика. Всероссийские
олимпиады – 4». Серия: Пять колец
Сайт www.problems.ru
Разделы «Логика и теория множеств», «Методы»,
«Алгебра и арифметика. Делимость и теория
чисел».
http://perspektiva-omsk.ru/
Осенняя олимпиадная смена
для учеников 3-11 классов Омска, Омской области и
других регионов
С 2 по 9 ноября на базе отдыха им. И.И. Стрельникова
http://www.baza-strelnikova.ru/
Некоторые курсы: «Процессы и их математические
характеристики», «Олимпиадная алгебра-8»,
«Комбинаторика и теория чисел для абитуриентов»,
«Инверсия и комплексные числа в геометрии», «Выпуклые
множества и выпуклые функции», «Типы дополнительных
построений», «Олимпиадная стереометрия».
Адреса для переписки:
ashtern@yandex.ru
gms@perspektiva-omsk.ru
Спасибо за
участие!