2.1 Характеристики электрического тока : сила и плотность тока носители тока
реклама
II. Постоянный электрический ток 2.1 Характеристики электрического тока : сила и плотность тока Электрическим током называется упорядоченное движение электрических зарядов. Проводниками тока могут быть тела, в которых имеются свободные заряженные частицы – носители тока, способные перемещаться в пределах тела (электроны в металлах и полупроводниках, ионы в электролитах и газах, или макроскопические носители в виде заряженных пылинок и капелек). Ток возникает, если внутри проводника напряженность электрического поля отлична от нуля. В отсутствие электрического поля носители заряда участвуют в хаотическом тепловом движении, при котором в любом направлении в среднем движется одинаковое число зарядов. Поэтому в отсутствие электрического поля ток равен нулю. Количественной характеристикой тока является сила тока I – его величина равна заряду, проходящему через поперечное сечение проводника в единицу времени ( 1 сек ). Если за время dt через сечение проводника прошел заряд dQ, то ток равен dQ I= dt (2.1.1) За направление тока принимают направление движения положительных зарядов. 1 Кл Единицей силы тока является ампер (А) 1А = 1 сек Если сила и направление тока с течением времени не меняются, то ток считается постоянным. Для постоянного тока Q I= t где Q - заряд, переносимый через поперечное сечение проводника за конечное время t. Ток может течь через сечение проводника неравномерно. Поэтому для более детального описания тока вводят плотность тока j. Величина плотности тока численно равна силе тока, проходящего через единичную площадку, перпендикулярную к направлению движения носителей заряда в данной точке dI j= dS (2.1.2) Вектор плотности тока j направлен в сторону упорядоченного движения положительных зарядов. Единицей плотности тока является A м 2 . Поле тока изображают с помощью линий тока, касательные к которым дают направление плотности тока. Зная вектор плотности тока j проводника, можно найти силу тока поверхность S в каждой точке I через любую I = jdS (2.1.3) S где dS = ndS ,а к элементарной площадке n- единичный вектор нормали dS . Из формулы (2.1.3) следует, что сила тока есть поток вектора плотности тока через поверхность S. Пусть в единице объема проводника содержится n+ положительных зарядов q+ и n- - отрицательных зарядов q-. Под действием электрического поля они приобретут некоторые средние скорости и . За 1 сек через единичную площадку пройдет n положительных зарядов, которые перенесут заряд, равный q n . Аналогично, отрицательные заряды перенесут за 1 сек через единичную площадку отрицательный заряд, равный q n . Поэтому для плотности тока получаем выражение j q n q n (2.1.4) Здесь оба слагаемых направлены в одну сторону, так + противоположны как скорость и заряд q соответственно скорости и заряду q- . 2.2 Уравнение непрерывности плотности тока Пусть S - некоторая замкнутая поверхность в проводнике. Тогда поверхностный интеграл S jdS S равен заряду, выходящему за 1 сек из объема V, ограниченного поверхностью V S. j Согласно закону сохранения заряда, вышедший заряд должен равняться убыли заряда q, находящегося внутри объема V. Эта убыль заряда равна Приравнивая, получаем S dq dt dq jdS = dt Выразим заряд плотность заряда ρ q в объеме V через объемную q = ρdV V тогда можем записать S ρ jdS = - dV t V где под знаком интеграла стоит частная производная от плотности заряда по времени. Производная частная, поскольку плотность может зависеть не только от времени, но и от координат. Воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса и перейдем в левой части уравнения от поверхностного интеграла к объемному jdS = ( j )dV S в результате получим V ( j ) dV = dV V V t Данное равенство должно выполняться для произвольно выбранного объема V проводника, поэтому должны равняться подинтегральные функции Уравнение непрерывности (2.2.1) ( j ) = divj = плотности тока t Уравнение непрерывности (2.2.1) выражает собой закон сохранения заряда. Оно показывает, что убывание заряда происходит в тех точках проводника, которые являются источниками вектора плотности тока. Если ток постоянен, то его плотность неизменна во времени, тогда ( j ) = divj = 0 Поэтому в случае постоянного тока вектор плотности тока не имеет источников, а линии постоянного тока нигде не начинаются и нигде не заканчиваются – они всегда замкнуты. Поток вектора плотности S постоянного тока через любую замкнутую V j поверхность равен нулю. dq/ dt = 0 2.3 Электродвижущая сила Пусть носителями тока в проводнике являются положительные заряды. В присутствие электрического поля они двигаются вдоль проводника по направлению поля - от конца проводника с большим потенциалом к концу проводника с меньшим потенциалом. Это приводит к выравниванию потенциалов во всех точках проводника и исчезновению тока. Поэтому, чтобы ток в проводнике не прекратился необходимо постоянно поддерживать разность потенциалов на его концах. Для этого надо непрерывно отводить заряды от конца проводника с меньшим потенциалом, а концу с большим потенциалом, наоборот, их подводить. Следовательно, необходимо осуществлять круговорот зарядов, при котором бы они двигались по замкнутому пути. Перемещение зарядов от конца с меньшим потенциалом к концу с большим потенциалом (вдоль пунктирной линии) против сил электрического поля возможно лишь с помощью сил не электростатической природы. Эти силы называют сторонними силами. + + + + + + Природа сторонних сил может быть различной. Они могут быть обусловлены химическими реакциями (в гальванических элементах), механической работой ротора генератора, диффузией зарядов через границу раздела двух разных проводников и т.д. Количественной характеристикой сторонних сил является работа, которую они совершают по перемещению зарядов. Работа сторонних сил над единичным положительным зарядом называется электродвижущей силой (ЭДС) . Если работа сторонних сил над зарядом q равна А, то ε ε A = q (2.3.1) Поэтому размерность ЭДС совпадает с размерностью потенциала (Вольт). Стороннюю силу Fст , действующую на заряд q, можно записать в виде, аналогичном (1.3.1) Fст = Eст q где Eст (2.3.2) - напряженность поля сторонних сил. Найдем работу сторонних сил на участке цепи 1-2 2 2 1 1 A12 = Fст dl = q Eст dl Разделив работу А12 на величину заряда q, получим ЭДС, действующую на данном участке цепи = E 2 12 ст dl (2.3.3) 1 Если цепь замкнутая, то интеграл по замкнутому контуру дает ЭДС, действующую в цепи =E ст dl (2.3.4) Следовательно, ЭДС в замкнутой цепи равна циркуляции вектора напряженности сторонних сил. В общем случае, на заряд q кроме сторонних сил действуют и силы электростатического поля E FE = qE Поэтому результирующая сила, действующая на заряд q в каждой точке цепи, равна F = FE + Fст = q(E + Ест ) Работа, совершаемая результирующей силой над зарядом q на участке цепи 1-2 , согласно (1.9.6) равна 2 A12 = q (E + Ест )dl q( 1 - 2 ) + q 1 12 (2.3.5) Если цепь разомкнута, то и получаем 12 А12 = 0 2 - 1 Электродвижущая сила равна разности потенциалов при разомкнутой внешней цепи. Величина, численно равная работе, совершаемой электростатическими и сторонними силами при перемещении единичного положительного заряда, называется напряжением U на участке цепи 1-2 U12 = 1 - 2 + 12 (2.3.6) Напряжение является обобщением понятия разности потенциалов. Они совпадают друг с другом лишь в том случае, если на участке не действуют ЭДС, такой участок называется однородным. Если же на участке на заряд действуют сторонние силы, то участок называют неоднородным. 2.4 Законы постоянного тока 2.4.1 Закон Ома Немецкий физик Ом установил, что сила тока I, текущего по однородному металлическому проводнику пропорциональна напряжению на концах проводника Закон Ома для участка цепи где U I= R U (2.4.1) - электрическое сопротивление проводника. Единицей сопротивления является Ом – он равен сопротивлению такого проводника, в котором при напряжении 1 В течет ток силой 1 А. R Сопротивление проводника зависит от формы, размеров и свойств материала из которого он сделан. Для однородного цилиндрического проводника l R= S где l - длина проводника, S (2.4.2) - площадь поперечного сечения, - удельное электрическое сопротивление. Единицей удельного сопротивления является (Oм·м). Наименьшим удельным сопротивлением обладают серебро (1.6·10-8 Ом·м) и медь (1.7·10-8 Ом·м). На практике чаще используется алюминий (2.6·10-8 Ом·м) . 2.4.2 Закон Ома в дифференциальной форме Найдем связь между плотностью тока j и напряженностью электрического поля E . В изотропном проводнике упорядоченное движение положительных носителей тока происходит в направлении вектора . Поэтому направления векторов E j и E совпадают. Выделим вблизи некоторой точки проводника dl элементарный объем в виде цилиндра, ось которого параллельна E векторам j и E . dS j Через поперечное сечение цилиндра течет ток силой Напряжение, приложенное к цилиндру, равно Edl, где jdS. E - напряженность поля в данной точке. Сопротивление цилиндра, согласно (2.4.2), равно Подставим эти величины в закон Ома (2.4.1) dS jdS = Edl ρdl Поскольку вектора закон Ома в дифференциальной форме где dl dS E j= ρ j и E параллельны, то можем записать E j = = σE ρ (2.4.3) - удельная электрическая проводимость ( = 1/). Величина, обратная 1 Ом, называется сименсом (См). Поэтому единицей измерения удельной проводимости является сименс на метр (См/м). Опыт показывает, что удельное сопротивление и сопротивление R большинства металлов при температурах, близких к комнатной, меняются от температуры почти линейно ρ = ρ0 (1 + αt) где - и 0 R = R0 (1 + αt) , R и R0 - удельные сопротивления и сопротивления проводника при температурах (2.4.4) - температурный коэффициент. t и 0°C, Для чистых металлов температурный коэффициент 1/273 К-1 Поэтому сопротивление записано в виде металлов R = R0T где Т - термодинамическая температура. может быть (2.4.5) При низких температурах возникают отклонения от линейного закона (2.4.4). В большинстве случаев зависимость следует кривой 1. Остаточное сопротивление ост зависит от чистоты материала и механических напряжений в нем. Однако, у многих металлов и сплавов при очень низких температурах сопротивление скачком обращается в ноль – кривая 2. Это впервые обнаружил Камерлинг-Оннес в 1911 году 1 у ртути. Данное явление называется 2 сверхпроводимостью. Tk T У каждого сверхпроводника имеется своя критическая температура Тк, при которой он переходит в сверхпроводящее состояние. металл Тс (ºK) Al Hg Pb Nb Nb3Ge 1.18 4.15 7.20 9.25 23.20 При действии магнитного поля В на его сверхпроводник сверхпроводящее внешнего состояние нарушается при некотором критическом значении Вк растет равна нулю при Тк. Величина Вк. с понижением температуры и Объяснение явления сверхпроводимости было дано Бардиным-Купером-Шрифером и Боголюбовым в 1957 г. на основе законов квантовой механики. В 1986 году Беднорц и Мюллер обнаружили в керамике La2-xBaxCuO4 резкое падение сопротивления при 30-35 ºК. Позднее были найдены другие высокотемпературные сверхпроводники керамика Тс (ºK) YBa2Cu2O7 95 Bi2Sr2Ca2Cu2O10 115 HgBa2Ca2Cu3O8+δ 133 Теория ВТСП еще не создана. 2.4.3 Закон Ома для неоднородного участка цепи Рассмотрим неоднородный участок цепи 1-2, в котором действует ЭДС 12. Пусть разность потенциалов на концах участка равна 1 - 2 . На носитель тока с зарядом q кроме электростатической силы FE = Eq действует сторонняя сила Fст = Eст q , которая тоже вызывает упорядоченное движение носителей тока. Поэтому плотность тока пропорциональна сумме напряженностей E + Eст j = (E + Eст ) (2.4.6) Формула (2.4.6) обобщает формулу (2.4.3) на случай неоднородного проводника. Она выражает собой закон Ома в дифференциальной форме для неоднородного участка цепи. Из закона сохранения заряда следует, что ток на неоднородном участке должен быть одинаковым. Выберем поперечное сечение, перпендикулярно направлению тока I, причем так, чтобы в его пределах плотность тока j можно было считать постоянной. Площадь такого сечения может меняться вдоль участка. Тогда ток записать как I можно S I = jS = (E + Eст )S (E + Eст ) S Данное уравнение можно переписать в виде I S = E + Eст Умножим его на малый элемент участка цепи dl и проинтегрируем по всему участку от начальной точки 1 до конечной точки 2 I 1 R S 2 2 2 1 1 dl = Edl + Eст dl Согласно (2.4.2) интеграл слева равен сопротивлению участка цепи. Напряженность электрического поля меняется вдоль участка и связана с потенциалом формулой (1.10.2) d E dl Edl d Поэтому первый интеграл справа равен 2 2 1 1 Edl = d 1 2 Второй интеграл справа согласно (2.3.3) равен ЭДС на участке цепи 1- 2 : 12 Поэтому можем записать IR 1 2 12 Или I 1 2 12 (2.4.7) R Это и есть закон Ома для неоднородного участка цепи. Здесь R – полное сопротивление цепи, включающее в себя внутреннее сопротивление источника тока сопротивление внешней цепи Rвц R = Rвц+ r r и Если цепь замкнута, то закон Ома для замкнутой цепи I I= 1 2 и получаем 12 r Rвц (2.4.8) Если цепь разомкнута, то ток в ней отсутствует 0, а из (2.4.7) находим 2 1 12 ЭДС равна разности разомкнутой цепи. потенциалов (2.4.9) на концах
