Механические колебания и волны

Механические колебания и
волны
Механические колебания и волны –
раздел механики, изучающий особый вид движения –
колебания, а так же распространение колебаний в
пространстве
1. Колебания
Колебания – это движения или процессы,
которые точно или приблизительно
повторяются через определенные
интервалы времени.
Примеры колебательных процессов
Круговая
волна
на
поверхности
жидкости,
возбуждаемая
точечным
источником
(гармонически
колеблющимся шариком)
Генерация акустической волны
громкоговорителем
3
Примеры колебательных процессов
Поперечная
волна
в
сетке,
состоящей из шариков, скреплённых
пружинками.
Колебания
масс
происходят
перпендикулярно
направлению
распространения
волны.
Возможные
типы
атомов в кристалле.
колебаний
4
Рисунок 1
Закон Гука
Fв = – kx
x = 0 – положение равновесия;
Fвн – внешняя растягивающая сила;
Fв – возвращающая сила;
A – амплитуда колебаний.
k - жесткостью пружины.
Знак минус означает, что возвращающая сила,
всегда противоположна направлению перемещения
x
5
Признаки КД:
повторяемость
(периодичность)
–
движение по одной и той же траектории
туда и обратно;
ограниченность
положений;
пределами
крайних
действие силы, описываемой функцией F =
– kx.
6
Механические колебания
• Колебания механических величин (смещения,
скорости, ускорения, энергии и т. п.)
Виды колебаний
Свободные
Вынужденные
Автоколебания
КС –
это система тел, совершающих колебание
Свободные
Колебания, возникающие
при однократном
воздействии внешней
силы (первоначальном
сообщении энергии) и при
отсутствии внешних
воздействий на КС.
Условия возникновения свободных
колебаний
1. КС должна иметь положение
устойчивого равновесия.
2. При выведении системы из
положения равновесия должна
возникать равнодействующая сила,
возвращающая систему в исходное
положение
3. Инертность системы
4. Силы трения (сопротивления) очень
малы.
Математический маятник
•
Это МТ, подвешенная на невесомой и
нерастяжимой нити. Реальный маятник ...
•
КС в данном случае образуют нить,
присоединенное к ней тело и Земля.
•
Причины свободных колебаний
математического маятника являются:
1. Действие на маятник Fн и Fт
2. Инертность маятника.
•
Т свободных колебаний математического
маятника не зависит от его m, а
определяется лишь l и g в том месте, где
находится маятник.
Пружинный маятник
 и Т:
• МТ, закрепленная на
абсолютно упругой
пружине
Гармонические колебания – это колебания, при которых колеблющаяся величина
изменяется со временем по закону синуса или косинуса
Уравнения ГК (законы движения
точек) имеют вид :
Смещение описывается уравнением
x  Acos(0t   )
dx
 0 Asin (0t   )
скорость  x 
dt
d x
 02 Acos(0t   )
ускорение a x 
dt
0 A   m – амплитуда скорости;
02 A  am – амплитуда ускорения.
13
Графики смещения скорости и ускорения
Уравнения колебаний запишем в следующем виде:
 x  Acos(0t   )

 x  m sin( 0t   )
a  a cos( t   )
m
0
 x
14
Рисунок 3
15
Основное уравнение динамики гармонических
колебаний
•
F  ma
Fx  m02 Acos(0t   )  m02 x
Fx  m02 x
возвращающая сила.
Период и фаза силы совпадают с периодом и фазой
ускорения.
• Примером сил являются упругие силы. Силы,
имеющие иную природу, но удовлетворяющие
называются квазиупругими. Квазиупругая сила
Fx   kx,
где k – коэффициент квазиупругой силы.
16
d2 x
ax  2
dt
k
 
m
2
0
2
2
d x
d x
m 2  kx m 2  kx  0
dt
dt
2
d x k
 x0
2
m
dt
Основное уравнение
d x
2
динамики


x

0
0
2
гармонических
dt
колебаний
Решением этого уравнения всегда будет
выражение вида:
2
x  Acos(0t   )
17
Круговая частота колебаний
k
но  
m
2
0
Период колебаний
тогда
2
0 
T
2
k

T
m
m
T  2
k
x  A cosφ
18
Колебания груза под действием сил тяжести
Максимум потенциальной энергии,
U max
1 2
 mgh  kA
2
Максимум кинетической энергии
K
max
но когдаK  max
(из 1.5.1)
, 0
U
mυ
1 2

 kA
2
2
и наоборот.
2
19
При
колебаниях
совершающихся
под
действием
потенциальных
(консервативных) сил,
происходит
переход
кинетической энергии в
потенциальную
и
наоборот, но их сумма
в
любой
момент
времени постоянна.
Рисунок 5
• Вынужденные
Колебания, возникающие под действием внешних,
периодически изменяющихся сил (при
периодическом поступлении энергии извне к КС)
Частота вынужденных
колебаний равна частоте
изменения внешней силы

3.2 Коэффициент затухания и
логарифмический декремент затухания
 t
A0e
A(t )
T

e
  ( t T )
A(t  T ) A0e
где β – коэффициент затухания
Рисунок 1
Превращение энергии
• график зависимости Ер и Ек
пружинного маятника от
координаты х.
• качественные графики
зависимостей Ер и Ек от t.

Резонанс – это явление, при котором резко возрастает
амплитуда вынужденных колебаний (происходит наиболее
полная передача энергии от одной колебательной системы к
другой )
Чем меньше трение, тем больше возрастает амплитуда
резонансных колебаний
 Резонанс наблюдается, когда частота собственных

колебаний совпадает с вынужденной частотой
 = o
• При автоколебаниях необходимо периодическое
поступлении энергии от собственного источника
внутри КС
x
dU
Fx  
; dU   Fdx  kxdx, отсюда U  k  xdx или
dx
0
kx2 1 2 2
U
 kA cos (0t   )
2
2
m 2 1
K
 m02 A2sin 2 (0t   )
2
2
1
E  U  K  m02 A2
2
, или
1
1 2
2 2
E  m0 A  kA
2
2
Полная механическая энергия гармонически колеблющегося
тела пропорциональна квадрату амплитуды колебания.
27
2.1 Способы представления гармонических колебаний
Гармонические колебания можно представить несколькими
способами:
аналитический:
 x  m cos(0t   )
x  A cos(0t   )
ax  am sin( 0t   )
графический;
геометрический, с помощью вектора амплитуды (метод векторных диаграмм).
геометрический способ, с
Рассмотрим подробнее
помощью вектора амплитуды
(метод векторных диаграмм).
x  A cos(t  0 )
x0  A cos 0
Ox – опорная прямая
2.2 Сложение гармонических колебаний. Биения
Круговая волна на
поверхности жидкости,
возбуждаемая
гармонически
колеблющимся шариком.
Интерференция
между
двумя круговыми волнами
от точечных источников,
колеблющихся в фазе друг с
другом. На поверхности
жидкости образуются
узловые линии, в которых
колебание max или
отсутствует.
Метод биений используется
инструментов, анализа слуха и т.д.
для
настройки
музыкальных
Пусть точка одновременно участвует в двух гармонических
колебаниях одинакового периода, направленных вдоль одной прямой.
x1  A1 cos(0t  1 )
(2.2.1)
x2  A2 cos(0t  2 )
Такие два колебания называются
когерентными,
их разность фаз не зависит от
времени:
2  1  const
По правилу сложения векторов найдем суммарную амплитуду, результирующего
колебания:
A  A  A  2 A1 A2 cos(2  1 )
2
2
1
2
2
(2.2.2)
Начальная фаза определяется из соотношения
A1 sin 1  A2 sin 2
tg  
A1 cos 1  A2 cos 2
(2.2.3)
Амплитуда А результирующего колебания зависит от разности начальных
фаз
2  1
Рассмотрим несколько простых случ
1. Разность фаз равна нулю или четному числу π, то есть
, где
2
1
Тогда
    2n
cos(2  1 )  1
колебания синфазны
Рисунок 3
n  0,  1,  2,  3, ...
и
A  A1  A2
(2.2.4)
2. Разность фаз равна нечетному числу π, то есть
2  1   (2n  1) , где n  0,  1,  2,  3, ...
Тогда
cos(2  1 )  1 . Отсюда
A  A2  A1
(2.2.5)
колебания в противофазе
Рисунок 4
4. Все остальные разности фаз дают эллипсы с различным углом наклона
относительно осей координат.
Фигуры, получаемые при сложении взаимно перпендикулярных колебаний
разных частот, называются фигурами Лиссажу.
Здесь рассматривались простейшие случаи, когда
1  2  .
Если
1  2
тогда в результате будут
получаться уже не эллипсы, а более сложные фигуры Лиссажу (рисунок 8)
Фигуры Лиссажу при
Рисунок 8
1  2
волны
Модель
вещества
Уравнение волны
Причины возникновения механических волн
1. Упругая среда
2.
1.
2.
Инертность частиц
Волны и энергия
Вместе с колебаниями волной переносится энергия
колебаний, хотя сами носители этой энергии, колеблющиеся
частицы, с волной не переносятся
Волна является переносчиком энергии
•
Поперечные - это волны, в которых
частицы среды колеблются
перпендикулярно направлению
волны,
•
Деформация сдвига в твердых телах, на
поверхности жидкости

Продольные – это волны, в
которых частицы среды
колеблются вдоль направления
распространения волны.

Деформация сжатия в газах, жидкостях,
твердых телах
Распространение поперечных волн проиллюстрировано на рисунке:
Продольные
волны
Из рисунка видно, что при распространении продольной волны в среде
одни частицы двигаются к положению равновесия , а другие от
положения равновесия , поэтому внутри вещества создаются
чередующиеся сгущения и разрежения частиц, перемещающиеся в
направлении распространения волны со скоростью v.
Волна на поверхности жидкости - суперпозиция
продольного и поперечного движения молекул
47
Фотография механической волны
Гребни
волны
Узлы
волны
Волны в среде
Волновая поверхность – геометрическое место точек,
колеблющихся в одинаковой фазе
Волновой фронт – геометрическое место точек, до которых
доходят колебания к моменту времени t
Луч – линия перпендикулярная волновой поверхности (эта
линия показывает направление распространения волны)
Виды волн
Уравнение
бегущей
волны
Свойства волн
• Принцип Гюйгенса
Каждая возбужденная волной точка
сама становится источником
элементарных волн. Огибающая
элементарных волн дает новое
положение волнового фронта
Принцип суперпозиции волн
При распространении в среде
нескольких волн каждая из
них распространяется так,
как будто другие волны
отсутствуют

Преломление волн
При распространении
механических волн можно
наблюдать и явление
преломления. Рассмотрим,
например, морские волны,
набегающие на прибрежную
мель. Взгляните на рисунок.
Серо-желтым цветом
изображен песчаный берег, а
голубым – глубокая часть моря.
Между ними – песчаная мель.
В месте набегания на мель
волна преломляется: изменяет
направление распространения.
Отражение механических волн
Присоединим громкоговоритель (динамик) к ЗГ.
Мы услышим свистящий звук. Направим
динамик так, как показано на рисунке. Рядом с
громкоговорителем поставим микрофон,
присоединенный к осциллографу. Он отметит,
что микрофон воспринимает слабый звук.(
Звуковые волны уходят вверх )
Расположим теперь над громкоговорителем
лист фанеры. Осциллограф сразу же покажет,
что звук, доходящий до микрофона, стал
заметно громче. Из опыта следует вывод, что
звуковые волны способны отражаться от
фанеры.
Опыты с другими механическими волнами
позволяют сформулировать обобщение:
механические волны любого
происхождения обладают способностью
отражаться от границы раздела двух сред.
Интерференция волн
•
•
Устойчивая картина чередования максимумов и
минимумов колебаний точек среды при
наложении когерентных волн
Когерентные волны – это волны одинаковой
частоты с постоянной разностью фаз
Дифракция волн
•
Отклонение направления
распространения волн от
прямолинейного у границы
преграды (огибание волнами
препятствий)
•
Условие: размеры препятствия
должны быть сравнимы с
длиной волны
•
Звук – продольная механическая
волна определенной частоты
•
Звуковые волны с частотами от 16
до 2104 Гц воздействуют на органы
слуха человека, вызывают
слуховые ощущения и называются
слышимыми звуками. Звуковые
волны с частотами менее 16 Гц
называются инфразвуками, а с
частотами более 2104 Гц –
ультразвуками.
•
Восприятие звука органами слуха
зависит от того, какие частоты
входят в состав звуковой волны.
•
Скорость звука в воздухе
приблизительно 330 м/с
•
Высота тона зависит от частоты
•
Громкость звука зависит от
интенсивности звука, т.е.
определяется амплитудой
колебаний в звуковой волне.
Рис.11 Осциллограмма
пустого бокала
Рис.10
Поющий
толстый
бокал,
емкостью
600 мл
Рис.12 Осциллограмма
бокала, наполненного
водой
58
Загадка Древнего Китая
Китайский таз, известный со
времен династии Мин (13681644).
59