Презентация "Прогрессии"

Предмет «Использование
вычислительной техники
в учебном процессе»
1.Арифметическая прогрессия
2.Геометрическая прогрессия
3.Решение задач
Числовая
последовательность,
каждый член которой,
начиная со второго,
равен
предшествующему
члену,сложенному с
одним и тем же
числом,называется
арифметической
прогрессией.
Обозначение:


a1 ,a2 ,a3 , ,an ,
Числовая
последовательность,
первый член которой
отличен от нуля ,а
каждый член,начиная
со второго,равен
предшествующему
члену,умноженному на
одно и то же не равное
нулю число,называется
геометрической
прогрессией.
Обозначение:


b1 ,b2 ,b3 ,,bn ,
У арифметической
прогрессии
Разность между любым членом
последовательно-сти и ему
предшествующим равна
одному и тому же числу.
Это число называется
разностью
арифметической
прогрессии и
обозначается буквой
b
ba2  a1  a3  a2    ak  ak 1  
У геометрической
прогрессии
Отношение любого члена
последовательности к
предшествующему равно
одному и тому же числу.
Это число называется
знаменателем
геометрической
прогрессии и
обозначается буквой q
b2 : b1  b3 : b2    bn : bn1    q
Чтобы задать:

Арифметическую
прогрессию,нужно
знать ее первый
член а1 и разность
d

Геометрическую
прогрессию,нужно
знать ее первый
член b1 и
знаменатель q
Если:
Характеристические
свойства
Последовательность
Последовательность
(an) является
(bn) является
арифметической
геометрической
прогрессией тогда и
пргрессией тогда и
только тогда,когда
только тогда,когда
любой ее
каждый ее
член,начиная со
член,начиная со
второго,является
второго,есть
средним
среднее
арифметическим
геометрическое
предшествующего и
соседних с ним
последующего
членов.
членов.
an 
a
n 1
 a n 1
2
, где n  N .
bn  bn1  bn1 , где n  N.
Сумма членов,
равноудаленных от
концов
арифметической
прогрессии,есть
величина
постоянная,т.е.
a a  a a
1
n
2
n1

Произведение членов,
равноотстоящих от
концов
геометрической
прогрессии,есть
величина
постоянная,т.е.
b b b b
1
n
2
n1

an  a1  d n  1
n1
bn  b1 q
, где n  N

 Д л я


 Д л я

Sn
 an
a
1

n
 Арифметической
прогрессии
2
q  b1
b
n
q 1
Sn 
q 1
да
нет
 Геометрической
прогрессии
Хочешь посмотреть
другие формулы для
вычисления Sn?
Сумму n первых членов
прогрессии можно вычислить и по
таким формулам:






d
n

1
2
a
1
Для



n
 
Sn
2

Sn 



q  1  Для 

b1 q n 1

q 1
---арифметическая прогрессия
---геометрическая прогрессия
---Первым членом и разностью
---Первым членом и знаменателем
Sn
 an
a
1

n
2
--Сумму n первых членов арифметической
прогрессии
-- Сумму n первых членов геометрической
прогрессии
n1
bn  b1 q
, где n  N
--N-ный член арифметической прогрессии
--N-ный член геометрической прогрессии
Если известны 3 величины из таблицы, всегда
можно найти 2 оставшиеся.
1
2
3
Арифметическая прогресия
a1
d
an
Sn
3
4
4
105
2
87
801
1
2
3
Геометрическая прогрессия
b1
q
bn
Sn
6
3
2
635
2
128
n
15
7
n
8
7
7
Если хочешь посмотреть решение какой-либо задачи,
нажми на кнопку с ее номером; если нет– на кнопку
Задача 1
АРИФМЕТИЧЕСКАЯ
ПРОГРЕССИЯ
Дано: а1=3;d=4;n=15
Найти: an, Sn
Решение:
По формуле
Найдем
По формуле
Найдем
a  a  d n1
n
a
15
1
 a1  d
S
151341459

a 
a

n
1
n
S
n
2
15

3  59

 15  465
2
Задача 2
АРИФМЕТИЧЕСКАЯ
ПРОГРЕССИЯ
Дано: Sn=105;d=4;n=7
Найти: an, a1.
Решение:
Подставив заданные значения переменных в формулы

 an
Получим:
a
an  a1  d n1 и
1

n
S
n
2

a1  a7 
 4  6, 105 
7
Составим систему:
a7  a1
2
a7  a1  24, Сначала сложим почленно оба равенства,

a7  a1  30. а затем вычтем почленно из второго равенства первое. Получим:
2a7  54, 2a1  6. a1  3, a7  27.
Задача 3
АРИФМЕТИЧЕСКАЯ
ПРОГРЕССИЯ
Дано: Sn=801; an=87; a1=2.
Найти: d, n..
Решение:
Из формулы
n
S

a 
a

n
1
n
n
2
выразим n:
2 S n 2801

 18. Из формулы
a1  an 2 87
выразим d:
a  a  d n1
n
1
a n  a1 87  2 85
d


 5.
n 1
18  1 17
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ
ПРОГРЕССИЯ
Дано: b1=6; q=3; n=8
Найти: Sn, bn.
Задача 1
Решение:
Для нахождения S8 используем формулу :


b1 q n  1
Sn  q  1


6  38  1
 19680.
Получим: S 8 
31
Для того чтобы найти b8, используем формулу:
bn  b1q n1 Тогда:
b8  6  3 7  13122.
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ
ПРОГРЕССИЯ
Дано: Sn=635; q=2; n=7
Найти: b1, bn.
Задача 2
Решение:
Для нахождения b7 используем формулу :
bn  b1q
n1
6
Получим: b7  b1  2  64b1 .
Для нахождения b1 используем формулу :
bn q  b1
64b1  2  b1

S n q  1 Тогда: S 7  2  1  127b1 ,
т.е. 635  127b1 , откуда b1  5. Найденное значение
b1  5 подставим в уравнение  , получим:
b7  64  5  320.
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ
ПРОГРЕССИЯ
Дано: ; bn=128; q=2; n=7
Найти: Sn, b1.
Задача 3
Решение:
Для того чтобы найти b1, используем формулу:
bn
128
n1
bn  b1q
Получим: b1  n1  6  2.
q
2
Для нахождения S7 используем формулу :


b1 q n  1
Sn  q  1
Тогда:


2 27  1
S7 
 127  2  254.
21
Если хочешь узнать примеры, щелкни
нужную кнопку. Если нет - кнопку ‘Далее’.
Далее
Рассажено 100 деревьев по прямой линии на расстоянии 5 футов
одно от другого. Для поливки этих деревьев садовник должен для
каждого из них отдельно приносить воду из колодца, находящегося
в 10 футах от первого дерева. Сколько футов пройдёт садовник,
полив все деревья и вернувшись к колодцу?
Решение.
Чтобы полить 1-ое дерево, садовник должен пройти 10*2=20 футов,
2-е дерево - 20+5*2=30 футов, 3-е - 30+5*2=40 футов и т.д. Получили
арифметическую прогрессию, у которой а1=20, d=10, n=100. Требуется найти S100. Для этого сначала найдём а100 (сколько футов пройдёт
садовник для поливки 100-го дерева): a100=a1+d(n-1)=20+10(100-1)=
=1010.
S100 
a1  an
20  1010
n
 100  51500 .
2
2
Ответ: садовник пройдет
51500 футов.
K
1
10
3
2
5
5
100
На скачках выделено 1000 рублей на призы. Больший
приз в 300 рублей, а ценность следующих постепенно
уменьшается на одну и ту же сумму до меньшего, ценой
в 100 рублей. Сколько всего выделено призов?
Решение.
Здесь мы имеем арифметическую прогрессию, у которой:
а1=300, аn=100, Sn=1000. Нужно найти n.
a1  an
n
Используем формулу суммы n-первых членов : S n 
2
И выразим из неё n :
2S n
2  1000
n

 5.
a1  an 100  300
Ответ:всего выделено 5 призов.
Бактерия,попав в питательную среду,к концу 20-й мин
делится на две,каждая из них к концу следующей 20-й мин
опять делится на две и т.д.Найдите число бактерий,
образовавшихся к концу 24-го часа.
Решение
Имеем геометрическую прогрессию,первый член которой
b1= 1,знаменатель q=2.Найдем число деления бактерий за
24 часа,зная,что на одно деление требуется 20 мин.
n=24*1/3=72 Итак,из условия

 

b1=1,q=2,n=72 найдем Sn
b1 q n  1 1 272  1
72



2
1
Sn
q 1
1
Ответ:к концу 24-го часа образовалось
бактерий.
(272  1)
Сколько веса в драгоценном камне ценой в 6400 рублей,
если камень весом в 1 карат стоит 25 рублей, в 2 карата100 рублей и т.д. по мере увеличения веса камня на 1 карат
цена его увеличивается в 4 раза.
Решение.
Запишем краткое условие задачи: 1 кар.- 25 руб. Здесь мы имеем
2 кар.- 100 руб.
3 кар.- 400 руб.
*********
геометрическую прогрессию, у которой b1=25, b2=100,…, q=4.
Нужно найти n (n карат), если bn=6400.
n 1
Используем формулу n-го члена прогрессии: bn  b1q
Имеем:
6400  25  4 n 1  4 n 1  4 4  n  5.
Ответ:камень весит 5 карат.
Фермер из одной четверти овса получил через четыре года
256 четвертей,засевая каждую весну то,что собирал
осенью.Во сколько раз увеличился сбор по сравнению с
посевом,предполагая,что увеличение это было ежегодно в
одинаковое число раз.
Решение
Имеем геометрическую прогрессию,у которой
b1=1,n=4,an=256
Найдем знаменатель прогрессии q
1*q4=256;
q4=256;
q=4
Ответ:сбор по сравнению с посевом увеличился в 4 раза.
Студент,утверждая,что Нева покроется льдом не ранее 18-го
ноября,держал пари с другим на таких условиях:если река
станет раньше,он платит,а если позже,то получает за первый
день 50 копеек,а за каждый следующий втрое больше,чем в
предыдущий.Нева покрылась льдом 10-го ноября.Сколько
проигравший должен заплатить?
Решение
Ясно, что проиграл некто, значит он платит за 8 дней. Здесь мы
имеем геометрическую прогрессию, у которой b1=50, q=3, n=8.
Нужно найти S8 (Сколько проигравший должен заплатить за 8
дней).




b1 q8  1 50 38  1
S8 

 164000.
q 1
3 1
Ответ: проигравший должен заплатить
164000 копеек или 1640 рублей.
До новых встреч!!!
2004 год