ПОТЕНЦИАЛ И РАБОТА ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ

ПОТЕНЦИАЛ И РАБОТА
ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ
Теорема о циркуляции.
Работа сил поля и потенциальная энергия.
Потенциал поля.
Связь между напряженностью и потенциалом поля.
Характеристики поля

Напряженность поля – силовая
характеристика. Существует еще одна
характеристика поля – энергетическая,
названная потенциалом. Потенциал – это
потенциальная энергия единичного заряда.
Докажем, что электростатическое поле
потенциально, а силы, действующие на
заряд в электростатическом поле
консервативны.
Работа сил электростатического
поля

Рассмотрим поле,
создаваемое
неподвижным
точечным зарядом q .
В любой точке этого
поля на пробный
точечный заряд q
действует сила
1 qq ' r
F
40 r 2 r
F
1 qq ' r
40 r 2 r
Работа сил электростатического
поля
Вычислим работу, которую
совершает электростатическое
поле, созданное зарядом q 
по
перемещению заряда q из точки 1
в точку 2.
Работа на пути dl равна:
1 qq '
A  Fdlcos 
dlcos,
2
40 r
dr  dl cos ,
A 
qq '
40r
2
dr.
Работа сил электростатического
поля

Полная работа при перемещении заряда
точки 1 в точку 2 равна:
qq '
A12 
40
Работа
r2
q
из
qq '  1  r2
qq '  1 1 
 r 2  40   r  r1  40  r1  r2 .
r1
dr
электростатических сил не зависит
от формы пути, а только лишь от координат
начальной и конечной точек перемещения.
Следовательно, силы поля консервативны, а само
поле – потенциально.
Работа сил электростатического
поля

Работу сил электростатического поля по
перемещению заряда q можно
записать:
A  qEdl .

Полная работа по перемещению из точки 1
в точку 2 определится
2
A  q  Edl.
1
Циркуляция вектора напряженности
электростатического поля

Возьмем перемещение заряда по замкнутому
контуру. Так как силы электростатического поля
консервативны, то работа сил по замкнутому
контуру равна нулю:
 
 qEdl  0


Если в качестве пробного заряда взять единичный
заряд ( q  1 ), то
 
E
d
l

0


Циркуляция вектора напряженности
электростатического поля
 
 Интеграл
 qEdl называют циркуляцией,

 
 Edl  0
а утверждение
- теоремой о

циркуляции.
Теорема о циркуляции говорит о том, что
любое электростатическое поле является
потенциальным.

Теорема о циркуляции позволяет сделать ряд
важных выводов, практически не прибегая к
расчетам.

1)Линии электростатического поля не могут
быть замкнутыми.
Если это не так, и какая-то линия – замкнута, то,
взяв циркуляцию вдоль этой линии, мы сразу же
придем к противоречию
с теоремой о циркуляции

вектора E .Интегрирование вдоль замкнутой
силовой линии даст результат отличный от нуля.
Потенциальная энергия



Электростатическое поле потенциально.
Следовательно, можно ввести функцию
состояния, зависящую от координат –
потенциальную энергию.
Работа консервативных сил равна убыли
потенциальной энергии
A12  W1  W2 .
Расчет работы сил электростатического поля,
выполненный ранее, привел к результату:
qq '
qq '
A12 

.
40r1 40r2
Потенциальная энергия точечного
заряда
Из сопоставления формул для потенциальной
энергии заряда q
в поле, созданном точечным
зарядом q  , получаем
1 qq '
W
 const.
40 r
Потенциал численно равен потенциальной энергии,
которой обладает в данной точке поля единичный
W
заряд


Следовательно
равен
q'
.
потенциал поля точечного заряда
1 q

 const.
40 r
Потенциал поля точечного заряда

Если принять потенциал поля на бесконечном
удалении от заряда равным нулю, то можно дать
другое определение потенциала: потенциал
численно равен работе, которую совершают
силы поля над единичным положительным
зарядом при удалении его из данной точки в
бесконечность
A

q
Потенциал поля системы зарядов

Потенциал поля, создаваемый системой зарядов, в
соответствии с принципом суперпозиции, равен
алгебраической сумме потенциалов, создаваемых
каждым из зарядов в отдельности.
qk
1


40 k rk

Для непрерывного распределения зарядов
1
dV
1
dS
1

;

; 
40  r
40
r
4
V

S
dl

0L r
Связь между напряженностью и
потенциалом

Работу, совершенную силами электростатического

поля на бесконечно малом отрезке d l можно найти
так:
A  Fdl  Fdl cos   Fl dl  qEl dl ,
Эта работа равна убыли
потенциальной энергии
A  qd;
El qdl  qd
Связь между напряженностью и
потенциалом

Приравнивая два выражения для работы,
получаем:
d

El  

dl
l

Поступим по другому. Вспомним связь силы с
потенциальной энергией:
F  grad W
qE  grad q

Окончательно:
E  grad 
Связь между напряженностью и
потенциалом

В развернутом виде:

     
E 
i
j
k
x
y
z

следовательно

Ex   ;
x

Ey   ;
y

Ez   .
z
Теорема о циркуляции в
дифференциальной форме

E  
Из условия
следует одно важное
соотношение, а именно,
 величина, векторного
произведения [, E] для стационарных
электрических полей всегда равна нулю.
Действительно, по определению, имеем
i

[, E] 
x

x
j

y

y
k
i



z
x


z
x
j

y

y
k

  0,
z

z
поскольку определитель содержит две одинаковые
строки.

Ротор как вектор раскрывается
  Ez E y   Ex Ez    E y Ex  
i  
k
rotE  



 j  
z   z
x   x
y 
 y

 Ez E y 

(rotE ) x  

y
z 
 y

 E x E z 
(rotE ) y  


z
x 
 z
x

 E y Ex 

(rotE ) z  

y 
 x
Теорема о циркуляции в
дифференциальной форме

Величина
(вихрем).

[, E]
называется ротором

rotE  0
Получили важнейшее уравнение
электростатики: ротор вектора напряженности
электростатического поля равен нулю
(электростатическое поле безвихревое).
Теорема о циркуляции в
дифференциальной форме

Теорему о циркуляции вектора
напряженности электростатического поля
можно получить также используя теорему
Стокса:
 
 


E
,
d
l

rot
E
d
S


L

S
Эта теорема связывает контурный и
поверхностный интегралы.

n
Контур L ограничивает поверхность S, ориентация которой определяется
направлением вектора положительной нормали
: dS  ndS.
Теорема о циркуляции в
дифференциальной форме

Так как электростатическое поле
потенциально,
ранее, то

  что было доказано
 E, dl    rotEdS  0
L

S
Данное равенство справедливо для любого
контура и натянутой на него поверхности,
что возможно, если

rotE  0
Силовые линии и эквипотенциальные
поверхности
Связь напряженности поля с потенциалом позволяет
доказать, что силовые линии всегда
перпендикулярны к эквипотенциальным
поверхностям и направлены в сторону убывания
потенциала.
 Эквипотенциальная поверхность – это
воображаемая поверхность, все точки которой имеют
одинаковый потенциал. Уравнение этой поверхности

  ( x, y, z )  const.
Силовые линии и
эквипотенциальные поверхности

На рисунках изображены силовые линии и
эквипотенциальные поверхности различных полей.
Силовые линии и
эквипотенциальные поверхности

Воспользуемся соотношением:

El   .
l
Возьмем перемещение l
вдоль
эквипотенциальной поверхности. Так как в каждой
точке такой поверхности   const , то   0.
Следовательно El  0 , что возможно только если

E  l .
Силовые линии перпендикулярны к
эквипотенциальным поверхностям.
Силовые линии и
эквипотенциальные поверхности

Возьмем перемещение l вдоль нормали к
эквипотенциальной поверхности в сторону
уменьшения потенциала, тогда   0.

Согласно соотношению E  
E  0.
,
l
l
l
Т.е. вектор
E направлен в сторону уменьшения
потенциала.
Эквипотенциальные поверхности проводят так, чтобы
разность потенциалов для двух соседних
поверхностей была бы одинаковой.
Силовые линии и
эквипотенциальные поверхности
По густоте эквипотенциальных
поверхностей можно наглядно судить о
значении напряженности поля в различных
точках. Чем гуще расположены
поверхности, тем напряженность поля
больше.


Формула E  grad  выражает связь
потенциала с напряженностью и позволяет по
известным значениям φ найти напряженность поля в
каждой точке.
Можно решить
 и обратную задачу, т.е. по известным
значениям E в каждой точке поля найти разность
потенциалов между двумя произвольными точками
поля.
2
1  2   (E,dl).
1