Эквипотенциальные поверхности

Потенциал электрического поля
Работа сил электрического
поля
Консервативность электростатических сил
F
90
0
dr
dl
1
q2
r
r1
α
К заряду q2 приложена
сила F, которая на
элементарном
перемещении dl заряда
совершает работу:
r
 
1 q1q2
dA  F  dl  Fdl cos 
dl cos 
2
4 0 r
1 q1q2

dr 
dl cos  dr .
2
4 0 r
2
2
+q1
Точечный заряд q1
создает электрическое
поле, в котором по произвольной
траектории из точки 1 в точку 2
перемещается точечный заряд q2.
Консервативность электростатических сил
Работа, совершаемая при
перемещении заряда q2 из
точки 1 в точку 2:
F
90
0
dr
dl
1
q2
2
α
r2
r
r1
r2
q1q2 r dr
q1q2 1
A12   dA 
 2 
4 0 r r
4 0 r
r
1
+q1
2
r2
r1

1
1  q1q2 q1q2 

.


4 0  r1
r2 
Работа А не зависит от траектории перемещения,
а определяется только положением начальной
и конечной точек.
Электростатическое поле точечного заряда
является потенциальным, а
электростатические силы –
консервативными.
Работа, совершаемая при перемещении
электрического заряда в электростатическом
поле по любому замкнутому контуру
 dA  0.
L
Потенциальная энергия
взаимодействия двух зарядов
• Тело, находящееся в потенциальном поле,
обладает потенциальной энергией.
• Работу сил электростатического поля можно
представить, как разность потенциальных
энергий
q1q2
1 q1q2
A12 



 U1  U 2
4 0 r1
4 0 r2
1
Потенциальная энергия взаимодействия двух
зарядов
При удалении заряда в бесконечность
r2 = ∞
q1q2

 0,
U=U2 =
4 0 
1
потенциальная энергия заряда q2,
находящегося в поле заряда q1
U
на расстоянии r
q1q2
U

4 0
r
1
q 1 ·q 2 > 0
0
r
q 1 ·q 2 < 0
Потенциальная энергия заряда в
поле системы зарядов
• Система точечных зарядов: q1, q2, …qn.
Расстояние от каждого заряда до некоторой
точки пространства: r1, r2, …rn.
Работа, совершаемая над зарядом q электрическим
полем остальных зарядов при его перемещении из
одной точки в другую, равна алгебраической сумме
работ, обусловленных каждым из зарядов в
отдельности:
qi q
1 qi q
А12   Аi .(1) Ai 



.(2)
i 1
4 0 ri1 4 0 ri 2
n
1
ri1 – расстояние от заряда qi до начального положения заряда q,
ri2 – расстояние от заряда qi до конечного положения заряда q.
Потенциальная энергия заряда в
поле системы зарядов
n qq
n qq
1
1
i
i
(1)→(2):
A12 

4 0 i 1 ri1 4 0 i 1 ri 2




ri2 → ∞  U 2  0
dA  dEp , dA  A12
dE p  U 2  U1
1 n qi q n
A12 
 U i  U

4 0 i 1 ri i 1
Принцип суперпозиции для энергии.
Потенциал электростатического поля
• Потенциальная энергия заряда q в поле n
n
зарядов qi
qi
U  q
i 1 4 0 ri
• Отношение U/q не зависит от величины
заряда q и является энергетической
характеристикой электростатического
поля, называемой потенциалом.
U

q0 
Потенциал электростатического поля
Потенциал в точке электростатического поля –
физическая величина численно равная
потенциальной энергии единичного
положительного заряда, помещенного в эту
точку. Это скалярная величина.
В СИ φ измеряется в вольтах [В = Дж/Кл]
1 В – потенциал такой точки поля, в которой
заряд в 1 Кл обладает энергией 1 Дж.
Е - [Н/Кл = Н·м/Кл·м = (Дж/Кл)·(1/м) = В/м].
Потенциал поля точечного заряда
qq0 
U
q



q0  4 0 r q0  4 0 r
• Потенциал является более удобной
физической величиной по сравнению с



напряженностью Е

E  Ex i  E y j  Ez к
φ
0
r
Принцип суперпозиции для
потенциалов
• Если электрическое поле создано системой
точечных зарядов, то потенциал φ в данной
точке равен алгебраической сумме
потенциалов φi, созданных в точке каждым из
зарядов в отдельности.
n
U
1 n qi
 
 i

q
4 0 i 1 ri i 1
Разность потенциалов.
Физический смысл потенциала
U

q0 
φ
φ
1
2
При перемещении заряда q0+ в
электростатическом поле из
точки 1 в точку 2
A12  E p  U1  U 2  q0  (1   2 )
r2
r1
r2 = ∞ → U2 = U∞ = 0
A1  U1  U   q0   1  0  q0   1
0
A  q0  

A

q0 
Физический смысл потенциала
A

q0
• Потенциал – физическая величина,
определяемая работой по перемещению
единичного положительного заряда из данной
точки в бесконечность.
Когда говорят о потенциале, то имеют ввиду
разность потенциалов ∆φ между
рассматриваемой точкой и точкой, потенциал
φ которой принят за 0.
Потенциал φ данной точки физического
смысла не имеет, так как нельзя определить
работу в данной точке.
Эквипотенциальные поверхности
(поверхности равного потенциала)
1) во всех точках потенциал φ
имеет одно и то же значение,
2) вектор напряженности
электрического поля Е всегда
нормален к эквипотенциальным
поверхностям,
3) ∆φ между двумя любыми
эквипотенциальными
поверхностями одинакова
(следовательно, густота эквипотенциальных поверхностей
характеризует значение вектора Е в разных точках).
Эквипотенциальные поверхности
• Для точечного заряда
φ = const.

r
q
4 0 r
q
4 0 
r = const.
Эквипотенциальные поверхности
• Для однородного поля эквипотенциальные
поверхности – параллельные линии.
φ
1
φ
2
φ
n
Е
Примеры различных эквипотенциальных
поверхностей
а
б
Эквипотенциальные поверхности
поля двух равных одноименных зарядов (а) и диполя (б).
Пунктиром показаны силовые линии.
Эквипотенциальные поверхности
• Работа по перемещению заряда
по эквипотенциальной
поверхности равна нулю.
A  q(1   2 )  q    0
так как
φ1 = φ2 .
Эквипотенциальные поверхности

Е  эквипотенциальной поверхности.
Работа при перемещении q по
эквипотенциальной
поверхности
 


A  Fdl  qE  l cos( E , dl )
A  q    0
 
qE  l cos( E , dl )  0
 
cos(E, dl )  0
q  0,

E  0,
l  0

  

E, dl  , E  dl .
2
Вектор dl касательный к эквипотенциальной поверхности,
следовательно, вектор напряженности электрического
поля Е перпендикулярен эквипотенциальной поверхности.
Теорема о циркуляции вектора
напряженности электрического поля Е
 
• Циркуляция вектора А:  Adl   Al dl
2  L
 
A12   Fdl  q  Edl
2
1
L
(1)
1
A12  q  (1   2 )
• точки 1 и 2 совпадают
φ 1 = φ 2.
A12  q  (1   2 )  0
Из (1)
 
 Edl  0
L
Циркуляция вектора Е равна нулю.
Энергия взаимодействия системы
зарядов
• Потенциальная энергия заряда q2
q1q2
U

4 0
r
1
• Энергия взаимодействия системы зарядов
1 n n 1 qi qk
W  

;
2 i 1 k 14 0 rik
i  k.
В формуле присутствует множитель ½, так как при
суммировании по всем i и k от 1 до n энергия
взаимодействия пар зарядов учитывается дважды.
i ≠ k, так как в случае i = k заряд
взаимодействует сам с собой.
Связь вектора напряженности Е и
разности потенциалов.
Третий способ определения напряженности
электрического поля Е
• Работа по перемещению заряда в
электрическом поле: 



dA  Fdr  qEdr ,
dA  dE p  dU .
(1)
Потенциальная энергия электрического поля
зависит от координат x, y, z и является
функцией U(x,y,z).
Связь вектора напряженности Е и φ
• При перемещении заряда на расстояние dr
его координаты изменяются :
(x+dx), (y+dy), (z+dz).
Изменение потенциальной энергии:
U
U
U
dU 
dx 
dy 
dz
x
y
z
Из (1)
 
Fdr  Fx dx  Fy dy  Fz dz
 
Fdr  dU
(2)
(3)
Связь вектора напряженности Е и φ
U
Fx  
x
U
Fy  
y
U
Fz  
z
(4)




F  Fx i  Fy j  Fz к

 U  U  U  
F  
i
j
к 
y
z 
 x
(5)
(6)
Связь вектора напряженности Е и φ

 U  U  U  
F  
i 
j
к 
y
z 
 x
• Оператор набла (оператор Гамильтона):

F  U  E p

 F
U
E , 
q
q
     
 i 
j к
x
y
z

E     grad
Связь вектора напряженности Е и φ

E     grad
     
  grad 
i
j
к
x
y
z
Знак «–» показывает, что
вектор Е направлен в
сторону убывания
потенциала.