Потенциал и работа электростатического поля

суббота, 7 мая 2016 г.
Электростатика
Кузнецов Сергей Иванович
доцент кафедры
ОФ ЕНМФ ТПУ
1
Тема 3. ПОТЕНЦИАЛ И РАБОТА
ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ. СВЯЗЬ
НАПРЯЖЕННОСТИ С ПОТЕНЦИАЛОМ

E
3.1. Теорема о циркуляции вектора
3.2. Работа сил электростатического поля.
Потенциальная энергия
3.3. Потенциал. Разность потенциалов
3.4. Связь между напряженностью и
потенциалом
3.5. Силовые линии и эквипотенциальные
поверхности
3.6. Расчет потенциалов простейших
электростатических полей
2
3.1. Напряженность и потенциал

В предыдущей теме было показано,
что взаимодействие между
покоящимися зарядами осуществляется
через электростатическое поле.
Описание электростатического поля мы
рассматривали с помощью
вектора

напряженности E , равного силе,
действующей в данной точке на
помещенный в неё пробный единичный

положительный заряд 
F
E .
q
3
 Существует и другой способ описания
поля – с помощью потенциала.
 Однако для этого необходимо сначала
доказать, что силы электростатического
поля консервативны, а само поле
потенциально.
4
Работа сил электростатического поля.
 Рассмотрим поле, создаваемое неподвижным
точечным зарядом q.
 В любой точке этого поля на пробный точечный
заряд q' действует сила F



1 qq' r
r
F

F
(
r
)
2
4πε0 r r
r
5



1 qq' r
r
F

F
(
r
)
2
4πε0 r r
r

r
 где F(r) – модуль вектора силы ,
– единичный
вектор, определяющий положениеr заряда q
относительно q', ε0 – электрическая постоянная.
6
 Для того, чтобы доказать, что
электростатическое поле потенциально,
нужно доказать, что силы
электростатического поля
консервативны.
 Из раздела «Физические основы механики»
известно, что любое стационарное поле
центральных сил является
консервативным, т.е. работа сил этого
поля не зависит от формы пути, а только
от положения конечной и начальной точек.
7
 Вычислим работу, которую совершает
электростатическое поле, созданное
зарядом q по перемещению заряда q' из
точки 1 в точку 2.
 Работа на отрезке пути dl равна:
1 qq'

dA  Fdlcosα 
dlcosα,
2

4πε0 r
 где dr – приращение радиус-вектора при
перемещении на dl; dr  dl cosα,

qq'
dA 
d
r
.
2
4πε0 r
8
 Полная работа при перемещении из
точки 1 в точку 2 равна интегралу:

qq' dr qq'  1  r2 qq'  1 1 


A12 




.



2


4πε0 r1 r 4πε0  r  r1 4πε0  r1 r2 
r2
9
 Работа электростатических
сил не зависит от формы
пути, а только лишь от
координат начальной и
конечной точек перемещения.
Следовательно, силы поля
консервативны, а само поле –
потенциально.
10
 Если в качестве пробного заряда,
перенесенного из точки 1 заданного
поля в точку 2, взять положительный
единичный заряд q, то элементарная
работа сил поля будет равна:

 
dA  qEd l .
11
 
 Тогда вся работа равна:
A

q
E
d
l
.

(3.1.3)
1
 Такой интеграл по замкнутому контуру

называется циркуляцией вектора E
 Из независимости линейного интеграла от
пути между двумя точками следует, что по
произвольному замкнутому пути:

(3.1.4)
2

 
E
d
l

0
.

 теорема о циркуляции вектора

E
.
12
 Для доказательства теоремы разобьем
произвольно замкнутый путь на две части:
1а2 и 2b1. Из сказанного выше следует, что
2
1
1
2
 Ed l    Ed l .
 (Интегралы по модулю равны, но знаки
противоположны). Тогда работа по
замкнутому пути:
2  
1  
 
A  q  Ed l  q  Ed l  q  Ed l  0.
1
2
13
 Теорема о циркуляции позволяет сделать ряд
важных выводов, практически не прибегая к
расчетам.
 Рассмотрим простой пример, подтверждающий это
заключение.
 1)Линии электростатического поля не могут
быть замкнутыми.
 В самом деле, если это не так,
и какая-то линия E – замкнута, то, взяв
циркуляцию вдоль этой линии, мы сразу же придем
к противоречию
о циркуляции

с теоремой

Ed l  0 .
вектора E :
 А в данном случае направление интегрирования
в

одну сторону, поэтому циркуляция вектора E не
равна нулю.

14
3.2. Работа и
потенциальная энергия
 Мы сделали важное заключение,
что электростатическое поле
потенциально.
 Следовательно, можно ввести
функцию состояния, зависящую от
координат – потенциальную
энергию.
15
 Исходя из принципа суперпозиции сил ,


F   Fk
k
 можно показать, что общая работа А
будет равна сумме работ каждой силы:
A   Ak .
k
 Здесь каждое слагаемое не зависит от
формы пути, следовательно, не
зависит от формы пути и сумма.
16
 Работу сил электростатического поля
можно выразить через убыль
потенциальной энергии – разность двух функций
состояний:
A12  W1  W2 .
(3.2.2)
Это выражение для работы можно
переписать в виде:

qq'
qq'
A12 

.
4πε0 r1 4πε0 r2
(3.2.3)
 Сопоставляя формулу (3.2.2) и (3.2.3), получаем
выражение для потенциальной энергии заряда
q' в поле заряда q:
1 qq'

W
4 0 r
(3.2.4)
17
3.3. Потенциал. Разность
потенциалов
 Разные пробные заряды q',q'',… будут
обладать в одной и той же точке поля
разными энергиями W', W'' и так далее.
Однако отношение W / q'пр. будет для всех
зарядов одним и тем же.
 Поэтому можно вести скалярную
величину, являющуюся энергетической
характеристикой поля – потенциал:

W
φ .
q'
18
W
φ .
q'
 Из этого выражения следует, что
потенциал численно равен
потенциальной энергии, которой
обладает в данной точке поля
единичный положительный заряд.
19
 Подставив в выражение для потенциала
значение потенциальной энергии (3.2.4),
получим выражение для
потенциала точечного заряда:

(3.3.2)
1 q
φ
.
4πε0 r
 Потенциал, как и потенциальная энергия,
определяют с точностью до постоянной
интегрирования.
20
 физический смысл имеет не
потенциал, а разность потенциалов,
поэтому договорились считать, что
потенциал точки, удаленной в
бесконечность, равен нулю.
 Когда говорят «потенциал такой-то
точки» – имеют в виду разность
потенциалов между этой точкой и
точкой, удаленной в бесконечность.
21
 Другое определение потенциала:
A
φ
q
или
A  qφ
 т.е. потенциал численно равен работе,
которую совершают силы поля над
единичным положительным зарядом при
удалении его из данной точки в
бесконечность
 (или наоборот – такую же работу нужно
совершить, чтобы переместить
единичный положительный заряд из
бесконечности в данную точку поля).
 При этом φ  0 , если q > 0.
22
 Если поле создается системой зарядов, то,
используя принцип суперпозиции, получаем:
qk q '
1
(3.3.3)
W
4πε0

k
 Тогда и для потенциала
1
φ
4 πε 0
rk
qk
r
k
k
.
φ   φ k или
k
(3.3.4)
 т.е. потенциал поля, создаваемый
системой зарядов, равен алгебраической
сумме потенциалов, создаваемых каждым
из зарядов в отдельности.
 А вот напряженности складываются при
23
наложении полей – векторно.
 Выразим работу сил электростатического
поля через разность потенциалов между
начальной и конечной точками:
A  W  W  φ q  φ q  q φ  φ
12
1
2
1
2

1
2
.
 Таким образом, работа над зарядом q равна
произведению заряда на убыль потенциала:

(3.3.6)
1
2
A  qφ  φ
  qU ,
 где U – напряжение.
A  qU
24
 Формулу A  q  можно использовать для
установления единиц потенциала:
за единицу φ принимают потенциал в
такой точке поля, для перемещения в
которую из бесконечности единичного
положительного заряда необходимо
совершить работу равную единице.
 В СИ единица потенциала 1 В  1 Дж/1 Кл
25
Электрон - вольт (эВ) – это работа,
совершенная силами поля над зарядом,
равным заряду электрона при прохождении
им разности потенциалов 1 В, то есть:
1 эВ  1,6  10
19
Кл  В  1,6  10
19
Дж.
Производными единицами эВ являются
МэВ, ГэВ и ТэВ:
1 МэВ = 106 эВ = 1,601013 Дж,
1 ГэВ = 109 эВ = 1,601010 Дж,
1 ТэВ = 1012 эВ = 1,60107 Дж.
26
3.4. Связь между напряженностью
и потенциалом
 Изобразим перемещение заряда q` по
произвольному пути l в электростатическом
поле .
 Работу, совершенную силами электростатического поля на
бесконечно малом отрезке d l можно найти так:

dA  Fl dl  El qdl ,
(3.4.1)
27
dA  Fl dl  El qdl ,
 С другой стороны, эта работа, равна
убыли потенциальной энергии заряда,
перемещенного на расстоянии dl:


dA  qdφ; тогда
El qdl   qdφ
 отсюда
dφ
El   .
dl
(3.4.2 )
28
 Для ориентации dl (направление
перемещения) в пространстве, надо знать
проекции на оси координат:


φ
φ
φ
E i
j  k,

x
y
z
 Определение градиента: сумма первых
производных от какой-либо функции по
координатам есть градиент этой
φ φ
φ
функции
grad φ  i 
j  k,

x
y
z
 grad φ – вектор, показывающий
направление наибыстрейшего
увеличения функции.
29

 Коротко связь между E и φ записывается так:

 или так:


E  grad φ

E  φ
(3.4.4)
(3.4.5)
 где  (набла) означает символический
вектор, называемый оператором Гамильтона
 Знак минус говорит о том, что вектор
направлен в сторону уменьшения
потенциала электрического поля.
30
Вектор напряженности электрического
поля Е направлен против направления
наискорейшего роста потенциала:

d 
E
n
d
n
n – единичный вектор нормали к
эквипотенциальной поверхности  = const

3.5. Безвихревой характер
электростатического поля

Из условия E  φ
следует одно важное
соотношение, а именно,
величина, векторного

произведения [, E] для стационарных
электрических полей всегда равна нулю.
Действительно, по определению, имеем

,
i
j
k
i
j
k







[, E] 

φ0
x y z x y z
φ φ φ



x y z x y z
 поскольку определитель содержит две одинаковые
32
строки.

 Величина [, E] называется ротором или
вихрем
 Мы получаем важнейшее уравнение
электростатики:

(3.5.1)

rotE  0
электростатическое поле –
безвихревое.
33
 Согласно теореме Стокса, присутствует
следующая связь между контурным и
поверхностным интегралами:

 
 
(
E
,
d
l
)

rot
E
d
S

0


L
S
 где контур L ограничивающий поверхность S
ориентация которой определяется
направлением
  положительной
 вектора
нормали n : dS  ndS
 Поэтому работа при перемещении заряда
по любому замкнутому пути в
34
электростатическом поле равна нулю.

3.6. Силовые линии и
эквипотенциальные поверхности
Направление силовой линии (линии напряженности)
в

каждой точке совпадает с направлением E .
 Отсюда следует, что напряженность равна
разности потенциалов U на единицу длины силовой
линии.
 Именно вдоль силовой линии происходит максимальное
изменение потенциала. Поэтому всегда можно определить
между двумя точками, измеряя U между ними,
причем тем точнее, чем ближе точки.
 В однородном электрическом полесиловые линии –
прямые. Поэтому здесь определить E наиболее просто:

(3.6.1)
φ
U
E 
l
35
 Воображаемая поверхность, все точки
которой имеют одинаковый потенциал,
называется эквипотенциальной
поверхностью.
 Уравнение этой поверхности

φ  φ( x, y, z )  const. (3.6.2)
36
Линии напряженности и эквипотенциальные
поверхности взаимно перпендикулярны
37

E  grad φ
 Формула
выражает связь
потенциала с напряженностью и позволяет
по известным значениям φ найти
напряженность поля в каждой точке.
 Можно решить и обратную
 задачу, т.е. по
известным значениям E в каждой точке
поля найти разность потенциалов между
двумя произвольными точками поля.
 
φ1  φ 2   (E, d l ).
2
1
38
 
φ1  φ 2   (E, d l ).
2
1
 Интеграл можно брать по любой линии,
соединяющие точку 1 и точку 2, ибо работа
сил поля не зависит от пути.
 Для обхода по замкнутому
контуру φ1  φ 2
 
получим:
(E, d l )  0,
 т.е. пришли к известной нам теореме о
циркуляции вектора напряженности:

циркуляция вектора напряженности
электростатического поля вдоль любого
замкнутого контура равна нулю.
Поле, обладающее этим свойством, называется потенциальным.
39
 Из обращения в нуль циркуляции вектора
следует, что линии электростатического
поля не могут быть замкнутыми: они
начинаются на положительных зарядах
(истоки) и на отрицательных зарядах
заканчиваются (стоки) или уходят в
бесконечность
40
Там, где расстояние между эквипотенциальными поверхностями
мало, напряженность поля наибольшая. Наибольшее электрическое поле в
воздухе при атмосферном давлении достигает около 106 В/м.
41
3.7. Расчет потенциалов
простейших электростатических
полей
 Рассмотрим несколько примеров
вычисления разности потенциалов между
точками поля, созданного некоторыми
заряженными телами
42
3.7.1. Разность потенциалов между двумя
бесконечными заряженными плоскостями
σ
E
ε0
43
 Мы показали, что напряженность связана с
потенциалом

dφ
E
, отсюда
d
l

dφ   Edl
σ
 где E 
– напряженность
ε0
электростатического поля между
заряженными плоскостями
 σ = q/S – поверхностная плотность заряда.
44






Чтобы получить выражение для
потенциала между плоскостями,
проинтегрируем выражение dφ 
2
 Edl
x2
σ
 dφ   ε 0  dx;
1
x1
σ
φ 2  φ1  x2  x1 
ε0
При x1 = 0 и x2 = d
σd
φ 2  φ1 
ε0
(3.7.3)
45
 На рисунке изображена зависимость
напряженности E и потенциала φ от
расстояния между плоскостями.
σd
φ 2  φ1 
ε0
σ
E
ε0
46
3.7.2. Разность потенциалов между
точками поля, образованного
бесконечно длинной цилиндрической
поверхностью
 С помощью теоремы ОстроградскогоГаусса мы показали, что


0

внутри
цилиндра,
т.к.
там
нет
зарядов

 λ
q
E
или
на поверхности цилиндра
2πε0 Rl
 2πε0 R
 λ
q
или
вне цилиндра.

2πε0 rl
47
 2πε0 r
 Тогда,т.к.
dφ   Edr;
2
λ
 dφ   2 πε 0
1
r2

r1
dr
r
 отсюда следует, что разность потенциалов
в произвольных точках 1 и 2 будет равна:

λ
r2
q
r2
ln  
ln
 φ 2  φ1  
2πε0 r1
2πε0l r1

1
 λ

ln

const

внутри
и
на
поверхност
и
 2πε
R

0
φ
 λ ln r  вне цилиндра.

48
 2πε0 R
 λ
ln
 2πε

0
φ
 λ ln

 2πε0
1
 const  внутри и на поверхн
R
r
 вне цилиндра.
R
49
3.7.3. Разность потенциалов
между обкладками
цилиндрического конденсатора


0  внутри меньшего и вне больш

E λ

между
цилиндрами
,
когд
 2 πε r
0

50
 Т.к.


dφ   Edr
, то
λ
r2
φ 2  φ1  
ln
2πε0 r1
R2
 λ
ln

const

внутри
меньшего
цили
 2 πε
R1
0

r
 λ
φ
ln  между цилиндрами ( R1  r  R
2
πε
R
0
1

0  вне цилиндров.


51
 Таким образом, внутри меньшего цилиндра
имеем , Е = 0, φ = const;
 между обкладками потенциал уменьшается по
логарифмическому закону,
 вторая обкладка (вне цилиндров) экранирует
электрическое поле и φ и Е равны нулю.
52
3.7.4. Разность потенциалов заряженной
сферы (пустотелой)
 Напряженность поля сферы определяется
формулой
q
E (r ) 
2
4 πε 0 r
53
dφ   Edr
 А т.к.
, то
q dr q  1  r2 q  1 1 


φ1  φ 2  




,


2


r
4
πε
4
πε
r
4
πε
r
r
r


1

0
0
0
1
2
r1
r2
q
т.е. φ 
.
4πε0r
54
σR
 q


const

внутри
и
на
поверхн.
 4πε R ε
 0
0
φ
 q  вне сферы (r  R).
 4πε0r
55
3.7.5. Разность потенциалов внутри
диэлектрического заряженного шара
 Имеем диэлектрический шар заряженный
с объемной плотностью
3q
ρ
4 πR
.
3
56
 Напряженность поля шара, вычисленная
с помощью теоремы ОстроградскогоГаусса:
  qr
ρr

 внутри шара (r  R)

3
3
ε
4
πε
R
0
0


q

E

на
поверхност
и
шара
(
r

R
)
2
 4πε0 R
 q

вне
шара
(
r

R
).

2
 4πε0 r
57
 Отсюда найдем разность потенциалов
шара:
2
2

ρ
ρ 2
φ 2  φ1    Edr  
1



rdr  
r2

3ε 0
6ε 0

2
r1
1
или
φ1  φ 2 
2
 r1 )
.
3
4πε0 2 R
2
q(r2
58

 Потенциал шара:
 3q

в
центре
шара
(
r

0
)
 8πε R
0

2
 q 
r 
 3  2   внутри шара (r  R )
φ
R 
 8πε0 R 
 q
 на поверхности и вне шара (r  R

 4 πε0 r
59
 Из полученных соотношений можно
сделать следующие выводы:
 С помощью теоремы Гаусса
сравнительно просто можно
рассчитать Е и φ от различных
заряженных поверхностей.
 Напряженность поля в вакууме
изменяется скачком при переходе
через заряженную поверхность.
 Потенциал поля – всегда непрерывная
60
функция координат.
61