Лекция 6. Постоянный электрический ток

Постоянный электрический ток
Условия возникновения тока
Характеристики тока
Уравнение непрерывности
Теория Друде
Условия существования электрического
тока


Электрический ток – это упорядоченное движение
носителей заряда.
Для существования электрического тока
необходимо:
наличие зарядов, способных перемещаться в
пределах тела;
в проводнике должно существовать электрическое
поле.
Характеристики тока
Количественной мерой тока служит сила
тока - заряд, перенесенный через заданную
поверхность S (или через поперечное сечение
проводника), в единицу времени, т.е.:
dQ
I
.
dt
За направление тока принято направление
движения положительных зарядов.


Электрический ток может быть распределен по
сечению проводника неравномерно. Поэтому для
детальной характеристики тока вводят вектор
плотности тока j .
Модуль плотности тока численно равен заряду,
переносимому через единичную площадку,
расположенную в данной точке перпендикулярно
направлению движения носителей, за единицу
времени
dQ
dI
j 

dS  dt dS 

Если обозначить через u скорость
упорядоченного движения зарядов, то
j  q nu  q nu   u   u ,
  ,   - объемные плотности положительного и
отрицательного зарядов.
Плотность тока и сила тока связаны соотношением
I

(S )
jdS
 Поле вектора
j
можно изобразить графически с
помощью линий тока, которые проводятся так же
как и линии напряженности E .
Уравнение непрерывности
Представим себе в некоторой проводящей среде,
где течет ток, замкнутую поверхность S . Для
замкнутых поверхностей положительной нормалью
считается внешняя нормаль, поэтому

 
 j dS
S
дает заряд, выходящий за единицу времени
наружу из объема V , охваченного поверхностью S .
Из закона сохранения заряда следует, что этот
интеграл равен убыли заряда в единицу времени
внутри объема V .

Т.е.
 
dq
S j dS   dt .
Данное равенство называется уравнением
непрерывности.
В случае стационарного тока
 
 j dS  0,
так как
dq S
 0.
dt

Преобразуем уравнение
 
d
S j dS   dt  dV .
 
d
S j dS   dt dV .

Введем среднюю плотность заряда, тогда
 
d 
S j dS   dt
 dV .
 
d 
S j dS   dt V .

Стянув поверхность в точку, получим
1
lim
V 0 V
 
d 
 j dS   Vlim0 dt
d
 j  
dt
- уравнение
непрерывности в дифференциальной форме.
Для постоянного тока
  j  0.

Уравнение
  j  0.
означает, что в случае постоянного тока поле
вектора
j
не имеет источников(линии замкнуты).
Закон Ома в дифференциальной форме

Установим связь между плотностью тока и
напряженностью поля в проводнике.
Воспользуемся законом Ома
для участка цепи
U
E  dl
EdS
I 

.
dl
R 

dS
jdS 
EdS

, j
1

E,
j E

Соотношение
j E
называется законом Ома в дифференциальной
форме для участка цепи.
Закон Ома для неоднородного участка
цепи

Для поддержания тока в цепи необходимо
наличие таких участков, на которых
положительные заряды переносились бы в сторону
увеличения потенциала. Перенос носителей
заряда на таких участках возможен лишь с
помощью сил не электростатического
происхождения, которые получили название
сторонних сил. Для количественной
характеристики поля сторонних сил вводят
напряженность E  .

Закон Ома в случае действия полей E 
запишется в виде
и
j   ( E  E ).
*
Это обобщенный закон Ома.
Выполним преобразования
j  dl

2
 Edl  E dl ,
*

1
j  dl

2
2
1
1
  Edl   E *dl .
E

В случае постоянного тока
2

1
2
 Edl  
1
1
j  dl

 2 ,
2
dl
 I    IR.
S
1
2
*
E
 dl  12 .
1
Приходим к интегральной форме закона Ома для
неоднородного участка цепи
IR  1  2  12 .
Классическая теория электропроводности
металлов. Теория Друде.

Друде предположил, что электроны в металле
ведут себя так же как молекулы идеального газа. В
промежутках между соударениями электроны
движутся свободно, пробегая в среднем
некоторый путь
. В отличие от молекул газа,
которые сталкиваются между собой, электроны
сталкиваются с узлами кристаллической решетки.


Распространяя на электроны результаты
кинетической теории газов, можно оценить
среднюю скорость теплового движения электронов
5
8kT
 
 10 м
с
m


при 300 K
При включении поля на тепловое движение
накладывается упорядоченное движение
u  103 м .
электронов с некоторой скоростью
с
  
Так как
u   то   u   .
Найдем вызываемое полем изменение среднего
значения кинетической энергии электронов

k 
m  p2
2

Избыточная энергия
m (  u )2
2

 k 
m 2
2
m u2

m u2
2
2
по предположению Друде передается при
соударении решетке, и скорость упорядоченного
движения электрона обращается в ноль.
Закон Ома в дифференциальной форме




За время свободного пробега
электрон,
ускоренный внешним однородным электрическим
полем, приобретает скорость
umax
eE
 a 
m
ma  eE,
eE
a
m

Среднее значение скорости при равноускоренном
движении равно половине максимальной
1 eE 
u 
2 m

Для плотности тока получаем выражение

Закон Ома в дифференциальной форме
1 ne2 E 1 e2
j  en u 
 n
E
2 m
2 m
j  E ,
ne 

2m
2

Если бы электроны не сталкивались с узлами
решетки, то длина свободного пробега
  .

Таким образом сопротивление металлов
обусловлено соударением свободных электронов
с ионами решетки.
Закон Джоуля-Ленца

Скорость электрона равна сумме скоростей
теплового движения 
и упорядоченного
движения u . Среднее значение квадрата
результирующей скорости равно

2
2
2
  u     u

Средняя кинетическая энергия электрона содержит
дополнительное слагаемое, обусловленное полем
1 2
e 2 2 2
  mu max 
E
2
2
2m
Столкнувшись с ионом решетки, электрон отдает ему
всю дополнительную энергию.

Каждый электрон претерпевает в секунду

соударений. Поэтому в единице объема в

единицу времени будет выделяться количество
теплоты

ne  2
Qуд  n  
E  E 2

2m
2

Закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме
Qуд  E .
2
Затруднения классической теории
электропроводности металлов
ne 

2m
2

1. Из формулы

пропорционально
На самом деле

следует, что
8kT
1
, так как  
m
T
пропорционально
1
.
T

2. Согласно классической теории электронный газ
должен обладать молярной теплоемкостью 3 R.
2
Теплоемкость решетки (закон Дюлонга и Пти)
равна 3R. Следовательно, молярная
теплоемкость металла должна быть равной
3 R  3R  9 R.
2
2
На самом деле она равна  3R. Наличие
электронов не сказывается на теплоемкости, что
может быть объяснено только с точки зрения
квантовой механики.