Магнитное поле Чужков Ю.П. Доцент каф. физики Канд. ф-м. наук

Магнитное поле
Чужков Ю.П.
Доцент каф. физики
Канд. ф-м. наук
Тема занятия
Магнитное поле в вакууме
1.Характеристики магнитного поля;
2.Закон Био – Савара – Лапласа. Примеры расчета;
3. Сила Ампера. Взаимодействие параллельных токов
магнитных полей;
4. Теорема Гаусса для вектора магнитной индукции;
5. Работа по перемещению проводника и контура с током
в магнитном поле;
5. Движение заряженных частиц в магнитном поле;
Сила Лоренца.
6. Эффект Холла;
Магнитное поле
Электрическое
Электрическое поле
поле
возникает
возникает в
в пространстве,
пространстве,
где
где существуют
существуют
электрические
электрические заряды
заряды как
как
неподвижные,
неподвижные, так
так и
и
подвижные
подвижные
Электрическое поле
действует как на
неподвижные, так и на
движущиеся в нем
электрические заряды
Магнитное поле возникает
только при наличии движущихся
зарядов.
Магнитных зарядов в
природе нет
Магнитное поле действует
только на движущиеся заряды
Характер поля
Электрическое поле потенциальное
+σ

E
S
-σ
I
Магнитное поле
- вихревое

B
Магнитное поле
Отличие постоянных магнитов от электрических диполей
заключаетс в следующем:
• Электрический диполь состоит из зарядов, равных по
величине и противоположных по знаку

l
-q
+q
• Постоянный магнит, будучи разрезан пополам,
превращается в два меньших магнита, каждвй из которых
имеет и северный и южный полюса.
N
N
N
S
S
S
N
N
S
N
S
S
N
S

l
-q

E
Характеристики магнитного поля
I
+q
- напряженность
электрического поля


D   0E

 А
Напряженность
H -магнитного
 
поля
 м

 - вектор магнитной
B  0 H
индукции
В
 
 м
Вектор
электрической
индукции
pm  IS
pe  ql
q
q

E
q q

E
M  pe E
 

 
M  pe E
S

n

n
I

n

B
M  pm B
M max
B
pmax
 

 
M  pm B

B
Тл
Контур с током в магнитном поле
Аналогия точечному заряду – замкнутый плоский контур с
током (рамка с током), линейные размеры которого малы по
сравнению с расстоянием до токов, образующих магнитное
поле.
Ориентацию контура в пространстве будем
характеризовать направлением нормали, которое
определяется правилом правого винта или
“правилом буравчика”
За положительное направление нормали принимается направление
поступательного движения винта (буравчика), головка которого
вращается в направлении тока, текущего в рамке.

n

n+

n

n
Магнитное поле

Магнитная индукция B характеризует
силовое действие магнитного

поля на ток (аналогично, E характеризует силовое действие
электрического поля на заряд).

B - силовая характеристика магнитного поля, ее можно изобразить
с помощью магнитных силовых линий.
Линиями магнитной индукции называются кривые, касательные к которым

в каждой точке совпадают с направлением вектора B в этой точке

B

- момент силы и p m - магнитный момент являются
Поскольку
характеристиками вращательного движения, то можно
предположить, что магнитное поле – вихревое.

Условились, за направление B принимать направление северного конца
магнитной стрелки.
Силовые линии выходят из северного полюса, а входят, соответственно,
в южный полюс магнита
I
S

B
N
Правило буравчика (правого винта)

B

B

B

B
I

B

B
I
I

B

B

B

B
от нас

B
∙
к нам
Направление тока

Направление вращения головки винта дает направление B ,
поступательное движение винта соответствует направлению тока
Закон Био – Савара - Лапласа
Закон Био – Савара – Лапласа формулируется так:
Любой элемент dl проводника с током I создает в окружающем
пространстве на расстоянии r под углом α магнитное поле индукцией dB
I

dB

dl
α

r
 0 Idl sin 
dB 
4
r2
 0  4  10 7 Гн / м
Магнитная постоянная
Направление магнитной индукции определяется
по правилу буравчика (правило правого винта)
n 

B   Bi
 
 
  0 I dl , r
dB 
4 r 3
Вдоль проводника
поле не возникает!
i 1
Принцип суперпозиции: вектор магнитной индукции результирующего
поля, создаваемого несколькими токами или движущимися зарядами,
равен векторной сумме магнитных индукций складываемых полей,
создаваемых каждым током в отдельности.
Магнитное поле движущегося заряда
Каждый проводник с током создает в окружающем пространстве
магнитное поле. Электрический ток представляет собой упорядоченное
движение электрических зарядов, поэтому можно сказать, что любой
движущийся в вакууме или среде заряд создает вокруг себя магнитное
поле.
Закон, определяющий магнитное поле точеного заряда q, свободно
движущегося с нерелятивистской скоростью υ, выражается формулой
  0 q, r 
В векторной форме
B
3
4 r

B

r
q
α


 0 q
B
sin 
2
4 r
Модуль магнитной индукции
Для отрицательного заряда направление магнитной индукции
поменяется на противоположное
Применение закона Био – Савара – Лапласа к расчету полей
Магнитное поле прямого тока

dB
I
A
b

dB
dα

r

dl


Все векторы dB от произвольных элементарных участков dl
имеют одинаковое направление, Поэтому сложение векторов
можно заменить сложением модулей.
rdα
α
 0 Idl sin 
dB 
4
r2
0 I
dB 
sin d
4 b
0 I 
 0 2I
B   dB 
sin d 

4 b 0
4 b
0
r
rd
b
dl

;
sin 
sin 
0  
0 I
B
2b
Магнитное поле бесконечно длинного проводника с током
;
Поле от двух проводников
Задача 1
На рисунке изображены сечения двух прямолинейных бесконечно
длинных проводников с токами. Расстояние между проводниками
АВ = 10 см. Токи I1 =20A, I2 =30A. Найти напряженность
магнитного пол, вызванного токами I1 и I2 в точках М1, М2 и М3 .
Расстояния М1А = 2 см, АМ2 = 4 см и ВМ3 = 3 см.
Найти: H 1 , H 2 H 3

H 1B
М1
I1
I

H 1A
H2 
А


H 2 A H 2B
М2
I2
В

H 3A

H 3B



H 1  H 1 A  H 1B



H 2  H 2 A  H 2B
H
М3
I
2b

I2
1  I1


H1 

2  M 1 A M 1 A  AB 

I2
1  I1



2  M 2 A AB  M 2 A 

I1
1  I2


H3 

2  BM 3 BM 3  AB 



H 3  H 3 A  H 3B
H1 
1  20
30



  119 ,4
2  3,14  0,02 0,02  0,1 
H2 
1  20
30



  159.2
2  3,14  0,04 0,1  0,04 
H3 
1  30
20 


  134 ,7
2  3,14  0,03 0,1  0,03 
Применение
Применениезакона
законаБио
Био––Савара
Савара––Лапласа
Лапласаккрасчету
расчетуполей
полей
Магнитное поле конечного проводника c током
α1
α1
1     2

B
2
2
1
1
 I
 I
B   dB  0  sin d  0 cos  1  cos  2 
4 b 
4 b

I
b
l
r
α2
dl
0 I
cos 1  cos  2 
B
4 b
Симметричный проводник с током
 2    1
α
b
I
α

dB
0 I
B
 cos .
2b
cos  2   cos 1
Применение закона Био – Савара – Лапласа к расчету полей
Магнитное поле на оси кругового витка с током
I
R

dB
b
β
A
O

dB

dB

 dB  0

B
β

dB
2R
B

dB
B

0 IR 2
2 R b
2

0

2 3/ 2
Магнитное поле в центре кругового витка с током
B
0
0 I
2R

B
dB
Сила Ампера. Взаимодействие параллельных токов
В современной записи в системе СИ закон Ампера
выражается формулой

 

dF  I d l , В


где dF - сила, с которой
 магнитное поле действует на бесконечно
малый проводник dl с током I .
Модуль силы, действующей на проводник,
dF  IdlB sin 
 
где α - угол между векторами dl и dB .
Направление силы
определяется направлением
векторного произведения или
правилом левой руки.
B
F
I l
Сила Ампера. Взаимодействие параллельных токов
Пусть I2 создает магнитное поле, а I1
находится в этом поле

dF21
0 I 2
B2 
2b
B
b
Пользуясь правилом левой руки, находим, что сила Ампера, действующая на I1,
направлена к I2 ( ), т.е. проводники притягиваются.
dF21  B2 I1dl 
 0 I 2 I1dl
2b
dF12  B1 I 2 dl 
 0 I1 I 2 dl
2b
Результирующая сила равна одной из этих сил1 Если эти два
проводника будут воздействовать на третий, тогда их
магнитные поля B1 и B2 нужно сложить векторно.
На каждую единицу длины проводника действует сила
dF  0 I1 I 2

dl
2b
Взаимодействие токов
Задача2
По двум параллельным проводникам длиной l = 2м каждый,
находящимся в вакууме на расстоянии b = 10 см, в противоположных
направлениях текут токи I 1  50 A I 2  100 A. Определить силу
взаимодействия токов
На каждый проводник с током действует сила

B12

B1
I1
dF1

B1
I2

dF2
dF1  I 2 B1 dl

B2
dF2  I 1 B2 dl
 II
dF1  dF2  0 1 2 dl  dF
2b
4  10 7  50  100
F
 2  20 мН
2  3,14  0,1
Ответ: F = 20мН
 0 I1 I 2 l
 0 I1 I 2
F
dl

l

2b 0
2b
Поток вектора магнитной индукции

B
dS
α

n

Bn
В поле магнитной индукции B через площадку

dS с единичной нормалью n проходит поток
магнитной индукции dФ, , равный по

определению :
 
dФ  Bn dS  BdS cos 
dФ  Bn dS
Единицей измерения потока магнитной индукции (в системе СИ)
является вебер (Вб).
Полный поток через произвольную поверхность S равен
Ф   Bn dS .
алгебраической сумме элементарных потоков
S
Теорема Гаусса для вектора
магнитной индукции.

Ф   BdS  0.
S
Магнитное поле - вихревое
Магнитных зарядов в природе нет

B
S

B
Работа по перемещению проводника с током в
магнитном поле
Перемычка с током длиной l скользит под действием силы Ампера
dh
l
ε

n
dh

F

B
l
ε
dS

n

B
dS
Элементарная работа при перемещении проводника с током равна
dA  F  dh  IBl  dh  IBdS
При перемещении перемычки вправо площадь контура получает
положительное приращение dS . В результате поток также получает
положительное приращение . Работа может быть представлена в
виде
dA  IdФ
Работа, совершаемая при перемещении проводника с током в
магнитном поле, равна произведению силы тока на магнитный
поток сквозь поверхность, описываемую проводником при его
движении.
Работа по перемещению контура с током в магнитном поле
Прямоугольный контур с током 1-2-3-4 перемещается в магнитном
поле (направлено от нас)в положение 1/ - 2/ -3/ - 4/.
2

B
1

n
2/
3
Ф*
Ф1
4
3/
Ф2
1/
4/
А  А1 2  А2 3  А3 4  А4 1
Магнитное поле в общем случае может быть
неоднородным, поэтому потоки Ф1, Ф* ,Ф2. .
Полная работа по перемещению контура равна
алгебраической сумме работ, совершаемых при
перемещении каждой из четырех сторон контура
А2 3  А4 1  0, - не пересекают магнитный поток
А3 4  I Ф   Ф2  А   I Ф  Ф
12
1
Провод 1-2 движется против сил поля
Тогда общая работа по перемещению контура
А  А3 4  А1 2  IФ  IФ2  IФ1  IФ  I Ф2  Ф1 
A  I  Ф
Работа, совершаемая при перемещении замкнутого контура с
током, равна произведению величины тока на изменение
магнитного потока, сцепленного с этим контуром.
Действие магнитного поля на движущийся заряд
Движущиеся электрические заряды создают вокруг себя магнитное поле, которое
распространяется в вакууме со скоростью света, При движении заряда во внешнем
магнитном поле возникает силовое взаимодействие магнитных полей, определяемое по
закону Ампера.
По проводнику dl за промежуток времени dt проходит nодинаковых зарядов
ndq
величиной dq , т.е. через проводник протекает ток, сила которого I 
dt
Согласно закону Ампера , на ndq зарядов будет действовать сила
ndq
dl sin 
dt
Сила, с которой магнитное поле действует на каждый заряд, равна
dF  BIdl sin   B
F
dF
dl
 Bq sin 
n
dt
dl
  - скорость движения заряда; α – угол между вектором
dt
скорости υ и вектором магнитной индукции.
Сила, действующая со стороны магнитного поля на движущийся заряд, равна
Fл  qB sin 
Сила Лоренца
Сила Лоренца

Выражение для силы F , действующей в магнитном поле как на
проводник с током, так и на движущийся заряд, было дано Лоренцем


F  q B
F  qB sin 
 
Эта сила перпендикулярна векторам υ и В.
Направление силы Лоренца, действующей на положительный заряд,
определяется по правилу левой руки. С изменением знака заряда направление
силы изменяется на противоположное.
Магнитное поле не действует на заряженную частицу в двух случаях:
• если υ = 0 (частица неподвижна)
• если sin α = 0. т.е. частица движется вдоль линий магнитного поля
Так как сила Лоренца всегда направлена перпендикулярно вектору скорости
летящей частицы, то она не изменяет величину скорости, а изменяет
лишь направление движения частиц.
Действие силы Лоренца не приводит к изменению энергии заряженной
частицы, т.е. эта сила не совершает работы.
Сила Лоренца
 

 
F  q  .B

I

R

B
+q
    cos 
h
α
q

F

B
F  qB sin 
1) Заряженная частица влетает
перпендикулярно силовым линиям поля
m
2m
m 2
R
T
.
 qB
qB
R
qB
При движении заряженной частицы в
однородном магнитном поле,
перпендикулярном к плоскости, в которой
происходит движение, траектория
частицы является окружностью.
R

B
11   sin 
2) Заряженная частица влетает под углом к линиям поля
R
m  sin 
q B
h  2
m cos 
qB
Траектория движения частицы представляет собой винтовую линию, ось
которой совпадает с направлением поля
Движение частицы в магнитном поле
Задача 3
Пройдя ускоренную разность потенциалов 3,52 кВ, электрон влетает в
однородное магнитное поле перпендикулярно линиям индукции. Индукция
поля 0,01 Тл, радиус траектории 2 см. Определить удельный заряд электрона.
Дано: U = 3,52∙10-3 В; В = 0,01 Тл; R = 2см;
Найти :e/m
Решение
Под действием силы Лоренца электрон будет двигаться по окружности
m 2
 eB
R
Кинетическую энергию электрон приобретет за
счет работы сил электрического поля.
m 2
 eU
2
Исключив скорость, получим
3
e
2

3
,
52

10
Вычисления:
 4
 1,76 1011 Кл / кг
4
m 10  4 10

Ответ: 1,76∙1011 Кл/кг

e
2U
 2 2
m B R
Эффект Холла
Если металлическую пластинку, по которой течет ток, поместить
в перпендикулярное к ней магнитное поле, то между параллельными
току и полю гранями возникает разность потенциалов.

Fл
a
- е- - - - - +

Fл

B
a
b
I
+ +
+ +
b
+
++ + +
+q

B
I
- - - - -- -
Пусть носителями тока будут электроны .Тогда направление скорости электронов будет
справа - налево. Электроны будут испытывать действие силы Лоренца, направленной
вверх. Верхняя грань проводника заряжает отрицательно, нижняя – положительно и
внутри образца возникает электрическое поле Fe = Fл .
eB  eE
U
Поперечная разность потенциалов равна U = Ed = υBb.
1
jBb
ne
Среднюю скорость электронов можно выразить через плотность тока j = neυ.
1
U
jBb
ne
Холловская
разность
потенциалов
U  Rх jBb
Rх 
1
ne
Постоянная
Холла
Спасибо за внимание