Лекция № 9. ТЕРМОЭЛЕКТРОННАЯ ЭМИССИЯ. Термоэлектронная эмиссия. Статистический и термодинамические вывод

Лекция № 9.
ТЕРМОЭЛЕКТРОННАЯ ЭМИССИЯ.
Термоэлектронная эмиссия. Статистический и термодинамические вывод
формулы плотности тока термоэлектронной эмиссии. Влияние внешнего
электрического поля (Эффект Шоттки). Распределение термоэлектронов
по энергиям. Средняя энергия термоэлектронов. Экспериментальное
измерение распределения термоэлектронов по энергиям. Экспериментальное
определение констант термоэмиссии.
Электронный газ» в металлах представляет
собой электроны зоны проводимости,
возникшие как обобщенные валентные
электроны атомов при сближении атомов на
расстояния, когда перекрываются электронные
облака отдельных атомов. Сплошная зона
проводимости возникает из-за расщепления
энергетических уровней электронов отдельных
атомов в силу запрета нахождения электронов
в одинаковом квантовом состоянии. Так как
число атомов велико, то расщепленные уровни
электронов образуют непрерывную
энергетическую полосу, называемую зоной
проводимости, в которой электроны можно
считать свободными, т.е. не привязанными к
какому-либо атому
f E 
T=0
EF
2kT
Функция распределения Ферми-Дирака
Функция распределение электронов по энергии.
Функция распределения Ферми-Дирака, т.е.
число частиц в одном состоянии:
1
f E  
 E  EF 
1  exp 

kT


pz
pF
py
0
px
Энергия Ферми равна:
pF2
h2  3n0 
EF 



2me 2me  8 
2/ 3

2
3 n 
2
2me
0
Плотность электронов в импульсном
пространстве, т.е. распределение по энергии:
dn
1  2m 
 E 



dE 2 2 

Сфера Ферми в импульсном
пространстве.
2/ 3
 E 
T 0
T 0
3/ 2
 E1/ 2
С учетом распределения Ферми-Дирака
распределение электронов по энергии имеет
3/ 2
вид:
1  2m 
E1/ 2 dE
 E  2  2 
2 
 1  exp  E  EF 


 kT 
EF
2kT
Функция распределение
электронов по энергии.
E
Плотность термоэмиссионного тока.
При абсолютном нуле температуры e a  Wa  E F
U x 
энергия электронов металла не
Термоэлектро
может быть больше энергии Ферми,
ны
поэтому ни один электрон не может
выйти из металла, а функция
T1
распределения обрывается при EF .
Зона
W a - высота барьера
При Т > 0 обрыв сглаживается,
проводи
появляется «хвост» функции
мости
T2  T1
распределения электронов с
энергиями больше EF, именно у этих
электронов, количество которых
Энергетическая диаграмма, поясняющая
экспоненциально растет с ростом
механизм термоэмиссии.
температуры поверхности,
появляется ненулевая вероятность
преодоления потенциального
барьера на границе металла.
На электрон вне металла около его поверхности действует сила со стороны
2
наведенного симметрично заряда: F x    e
2
4x
Те электроны, которые имеют перпендикулярную к поверхности
составляющую энергии больше высоты потенциального барьера, будут
уходит на бесконечность, то есть эмитироваться с поверхности . Таким
образом, термоэмиссионный ток обусловлен «хвостом» функции
распределения. При низких температурах таких электронов пренебрежимо
мало. С ростом температуры «хвост» удлиняется, термоэмиссия растет.
Вывод плотности термоэмиссионного тока
Подсчитаем количество электронов с импульсами от до в единице объема:


2
dnx  dpx   dp y dpz f  px , p y , pz   dpx 3   dp y dpz
h 

1
 E  EF 
1  exp 

 kT 
Плотность термоэмиссионного тока, находим как количество всех
электронов, имеющих энергию



p
4 me kT

e
 Ex  EF  
jt   evx dnx   e x dnx  
px
dp
ln
1

exp
x


 
3
m
m
h
kT



e
e
Wa
Wa
Wa

4 me kT

 Ex  EF

ln
1

exp


3

h
kT


Wa
используем приближение :

4 meekT
 Ex  EF
jT 
exp

3

h
kT

Wa

При , Ex  EF , Ex  EF  kT
dE
.
 x

ln 1      при   0
4 me ekT

 Wa  EF
dE

exp
 x

3
h
kT


- формула Ричардсона-Дэшмана
получим:

 ea 
2

A

T
exp
0




 kT 
Учет прозрачности барьера и температурной зависимости работы выхода.
Необходимо учесть прозрачность барьера D и температурную зависимость
работы выхода. При изменении температуры, вследствие изменения
концентрации электронов меняется E F . Это можно учесть, введя
температурный коэффициент работы выхода e a T   e a T0    T  T0 
С учетом этого формула для плотности термоэмиссионного тока примет вид:
eV x
 ea 
 e a 
 / k 2
2
jT  D  A0 e T exp  
  A  T exp  

 kT 
 kT 
e ш
 e  E  x 
Зависимость работы выхода от внешнего
электрического поля (эффект Шоттки).
В присутствии внешнего электрического поля
меняется форма потенциального барьера, который
теперь описывается в виде
e2
eV x   E F  e a 
 eEx
4x
eш  e3/ 2 E
Изменение работы выхода:
xm
x
Форма потенциального барьера во
внешнем поле.
С учетом этого плотность термоэмиссионного тока
 e3 / 2  E1/ 2 

jTш  jT  exp 
при наличии электрического поля:
kT


Распределение термоэлектронов по энергиям. Средняя энергия термоэлектронов.
f E x 
Число электронов в шаровом слое импульсного
пространства от p до p  dp :
2
dn  3
h
dpx dp y dpz
 p p p
 EF

2
m
e
1  exp 

kT


2
x
2
y
2
z







2dpx dp y dpz
h
3
E
exp  F
 kT
2
2
2
  px  p y  pz 

 exp  
2me kT 
 
Ex
0
«Модифицированное»
распределение Масквелла.
Термоэлектроны (быстрые электроны) и в металле
имеют максвелловское распределение. Изменится ли
оно после прохождения барьера ?
Пусть u - скорость термоэлектрона в вакууме. Тогда:
 meu x2 me vx2

 Wa

2
 2
u y  vy


u z  vz


Функция распределения электронов в вакууме по составляющей
кинетической энергии, обусловленной движением перпендикулярно
1 dN
1
 Ex 
плоскости катода:
f E x  
N dE x

это модифицированное распределение Максвелла
exp  

kT
 kT 
Экспериментальное измерение распределения термоэлектронов по
энергиям.
Метод задерживающего поля.
Возможна достаточно простая
экспериментальная проверка
распределение электронов по энергиям
методом задерживающего поля. Для этого
нужно приложить не ускоряющее
электроны электрическое поле, а
тормозящее. В этом случае до анода дойдут
только те электроны, скорость которых
1 2
удовлетворяет условию:
2
Тогда полный ток на анод площади
 eV
I a  S  jT  exp  a
 kT
mvx  eVa
K
vy

E
v
vx
Зона
вместимости
Va
-
S

 eVa 

I

exp
T




 kT 
e
11600
Va  ln I T 
Va
kT
T
Линейная зависимость ln I T Va 
служит экспериментальным
доказательством максвелловского
распределения термоэлектронов
А
ln I a
ln I a  ln I T 
Va
Экспериментальные методы определения термоэлектронных
характеристик.
Метод прямой Ричардсона.
j
Если для некоторого материала катода
ln
e0  ktg ( )
измерить для различных температур величины
T2
плотностей тока, то можно построить график
j
зависимости ln 2 как функцию 1
T
T
Графиком этой зависимости будет являться
e
j
прямая, так как
ln T2  ln A  0
kT
T
тангенс угла наклона прямой равен e0
k
Прямая отсекает на оси абсцисс значение ln A
При уходе с поверхности один электрон
  e 0  2kT
уносит из металла энергию
Полная энергия, уносимая электронами:
j
2kT 

Q    T  jT   a 

e

e0
tg ( ) 
k
ln A

1
T
0
Определение термоэлектронных
характеристик методом прямой
Ричардсона.
I
К
Ia
А
R
e 
Если на анод подано запирающее
напряжение, то электроны ничего не уносят и
потери мощности на омический нагрев идут
на излучение.
Определение работы выхода
калориметрическим методом.
Метод контактной разности потенциалов.
Для определения работы выхода
некоторого металла измеряется
контактная разность потенциалов между
данным металлом и металлом, работа
выхода которого известна. На границе
контакта двух различным материалов
(граница А на рис), возникает
внутренняя контактная разность
потенциалов, равная разности уровней
Ферми, препятствующая потоку
электронов из металла с их большей
концентрацией (в котором выше уровень
Ферми) в металл с их меньшей
концентрацией. Между границами
соприкосновения металла с вакуумом
(границы В и С на рис.) устанавливается
внешняя контактная разность
потенциалов Таким образом, без учета
прозрачности барьера и того, что работа
выхода зависит от температуры,
контактная разность потенциалов равна
разности работ выхода разных металлов,
деленная на заряд электрона.
С
В
U BC  U К , Р , П ,
2
1
А
e a1
E F1
eU К , Р , П ,  e a1   a 2 
E F 2e a 2
eU Вн. К , Р , П ,  E F 1  E F 2
Определение работы выхода по контактной
разности потенциалов.
Метод контактной разности потенциалов.
С учетом прозрачности барьера и
температурной зависимости работы
выхода контактная разность
потенциалов равна
kT A2
ln
e
A1
Таким образом, если известна
работы выхода одного материала, и
постоянные Ричардсона для обоих
материалов, можно найти работу
выхода другого металла, если
измерить их контактную разность
потенциалов. Для измерения
контактной разности потенциалов
можно использовать метод
смещения вольтамперных
M1
M2
VК . Р. П .  a1  a 2 
характеристик (ВАХ).
А
Ua
 aA   aK
ln I
 aA   aK
Ua
U К ,Р,П ,
Определение контактной разности потенциалов
методом смещения вольтамперных характеристик.