1.23. Проводники в электрическом поле 1.23.а Распределение зарядов в проводнике см
advertisement
1.23. Проводники в электрическом поле 1.23.а Распределение зарядов в проводнике В проводниках, в отличие от диэлектриков, концентрация свободных носителей заряда очень велика ~ 1023 см-3. Эти заряды перемещаются по проводнику под воздействием сколь угодно малой силы. Если проводник поместить во внешнее электрическое поле, то заряды начнут перемещаться, потечет ток. Это будет продолжаться до тех пор, пока поле зарядов, перераспределившихся по объему проводника, не скомпенсирует внешнее поле внутри проводника. В результате, в проводнике за короткое время устанавливается равновесное распределение зарядов, при котором : 1) электрическое поле внутри проводника всюду равно нулю E=0 Поэтому потенциал во всех точках внутри проводника и на его поверхности одинаковый. Следовательно, поверхность проводника является эквипотенциальной поверхностью. 2) Отсюда вытекает, что вектор напряженности электрического поля в каждой точке внешней поверхности проводника направлен по нормали к этой поверхности E = En (1.23.1) E=0 E Если проводнику сообщить заряд Q, то он распределится так, чтобы соблюдались оба условия равновесия (1,2). Поэтому электрическое поле внутри проводника равно нулю E=0 Вместе с ним равно нулю и электрическое смещение D=0 По теореме Гаусса будет равен нулю и поток вектора смещения через любую замкнутую поверхность S, погруженную в проводник DdS q 0 S Следовательно, внутри поверхности S зарядов нет и весь сообщенный проводнику заряд Q располагается только на его поверхности с некоторой поверхностной плотностью . Найдем напряженность электрического поля вблизи поверхности заряженного проводника. Выберем около границы E проводника небольшую цилиндрическую поверхность с dS основанием dS . Поток вектора смещения Среда через часть поверхности, находящуюся в проводнике, равен нулю, так как там Проводник D=0 На боковой поверхности вне проводника Dn 0 , поскольку поле перпендикулярно к поверхности. На внешнем основании D = Dn , поэтому суммарный поток смещения через поверхность цилиндра равен потоку через верхнее основание DdS . Внутри цилиндра находится сторонний заряд dS . По теореме Гаусса он равен потоку вектора смещения через поверхность цилиндра DdS = dS D = Поскольку то D 0 E σ E= εε0 (1.23.2) где - диэлектрическая проницаемость среды, окружающей проводник. Следовательно, напряженность поля у поверхности проводника определяется поверхностной плотностью зарядов и диэлектрической проницаемостью окружающей среды. Формула (1.23.2) справедлива для поверхности любой формы. Вблизи заряженного проводника эквипотенциальные поверхности похожи на его поверхность, а вдали от него – близки к сферам. Эквипотенциальные поверхности расположены гуще около выступов и реже – около углублений. Поэтому у остриев проводника напряженность поля наибольшая. Здесь же максимальна и плотность поверхностных зарядов. В сильном поле около остриев проводника может возникать ионизация молекул окружающего газа. При этом ионы газа, заряженные противоположно заряду проводника, притягиваются и нейтрализуют его. Ионы того же знака, что и заряд проводника, отталкиваются от него, и увлекают за собой другие, нейтральные молекулы газа. В результате возникает движение газа, называемое электрическим ветром. При этом заряд проводника уменьшается, он как бы стекает с острия и уносится ветром. Данное явление называют истечением заряда с острия. 1.23.б Проводник во внешнем электрическом поле При внесении незаряженного проводника в электрическое поле носители заряда в нем приходят в движение – положительные заряды движутся вдоль поля, отрицательные – против поля. В результате на поверхности проводника возникают индуцированные заряды, которые создают поле, направленное против внешнего поля. Перераспределение зарядов продолжается до тех пор, пока не выполнятся условия равновесия (1,2) и поле внутри проводника не станет равным нулю. Поэтому нейтральный проводник разрывает электрическое поле – часть силовых линий заканчивается на индуцированных отрицательных зарядах и вновь начинается на индуцированных положительных зарядах в проводнике. Индуцированные заряды распределяются на внешней поверхности проводника. Если в проводнике имеется полость, то в равновесном распределении зарядов поле внутри полости равно нулю. Это используют для защиты приборов от внешних полей, окружая их проводящим экраном. Внешнее поле компенсируется внутри экрана полем индуцированных зарядов проводника. В качестве экрана используют и густую металлическую сетку. 1.24. Электроемкость Распределение заряда на внешней поверхности проводника зависит от его размеров и формы, но не зависит от величины заряда. Это значит, что различные по величине заряды распределяются по поверхности проводника одинаковым образом. Поэтому отношение поверхностных плотностей заряда в разных точках поверхности проводника одно и тоже при любом заряде. Если к заряженному проводнику добавить дополнительный заряд, то он распределится также, как и первоначальный. При этом в пропорциональное число раз увеличивается и электрическое поле, созданное проводником, а вместе с ним и работа, необходимая для переноса единичного положительного заряда из бесконечности на поверхность проводника, то есть потенциал проводника. Поэтому заряд проводника пропорционален его потенциалу (1.24.1) q = C где С – коэффициент пропорциональности, называемый электроемкостью. Для одиночного заряда формула (1.24.1) вытекает из выражения (1.9.4) для потенциала, создаваемого этим зарядом. Перепишем (1.24.1) в виде C= q (1.24.2) Следовательно, емкость равна заряду, который увеличивает потенциал проводника на 1 В. За единицу емкости принимают емкость такого проводника, потенциал которого меняется на 1 В при сообщении ему заряда в 1 Кл , она называется фарадом (Ф) 1Кл 1Ф = 1В 1.24.а Емкость заряженного шара и Пусть шар радиуса R равномерно заряжен зарядом q погружен в диэлектрик с диэлектрической проницаемостью ε. Найдем потенциал и емкость шара. Используем формулу для напряженности электрического поля вне шара (1.22.2) С другой стороны E=- q E=k 2 εr r d = -Edr интегрируя от R до , получаем q q R d () ( R) R k r 2 dr k R Полагаем, как и ранее ( ) 0 тогда потенциал шара равен q ( R) k R (1.24.3) Подставляя в (1.24.2), находим емкость шара C= q k R (1.24.4) 1.25. Конденсаторы Конденсатор – устройство, способное накапливать заряд. Таким свойством оно обладает потому, что при приближении к проводнику других тел его емкость увеличивается. ++ Это связано с тем, что на теле, + внесенном в поле проводника, + E возникают индуцированные (если тело проводник) или связанные Тело (если тело - диэлектрик) заряды. Заряды, противоположные по знаку Проводник заряду проводника, находятся к нему ближе, чем одноименные, и поэтому оказывают большее влияние на поле и потенциал проводника, уменьшая их величину. Но согласно (1.24.2) уменьшение потенциала, увеличивает емкость. Поэтому конденсаторы делают в виде двух проводников, расположенных близко друг к другу – в виде пластин, коаксиальных цилиндров или сфер. Поле заключено внутри конденсатора, а линии смещения начинаются на одной обкладке и заканчиваются на другой. Заряды на обкладках отличаются лишь знаком и пропорциональны разности потенциалов на обкладках U =j 1 -j 2 Емкость конденсатора равна отношению заряда накопленного на конденсаторе, к разности потенциалов q C= U (1.25.1) q, 1.25.а Емкость плоского конденсатора Пусть S – площадь обкладок, d – расстояние между ε – диэлектрическая ними, ±q – заряды на обкладках, проницаемость среды между обкладками. Если расстояние между пластинами мало по сравнению с их линейными размерами, то электрическое поле между обкладками близко к однородному, а его напряженность равна где q S σ E= ε0 ε - поверхностная плотность зарядов. Разность потенциалов между обкладками равна d qd 1 - 2 = Edx = ε εS 0 0 Поэтому емкость плоского конденсатора равна ε0 εS C= d (1.25.2) Отсюда следует, что размерность электрической постоянной ε 0 есть Ф [ε0 ] = м 1.25.б Емкость цилиндрического конденсатора Цилиндрический конденсатор состоит из двух полых, коаксиальных цилиндров длиной l и радиусами R1 и R2 (R2 >R1), вставленных друг в друга и заряженных зарядами ± q. Разность потенциалов между обкладками с учетом влияния диэлектрика равна (1.13.5) где q λ= l R2 2kλ U = 1 - 2 = ln( ) ε R1 - линейная плотность заряда на обкладках цилиндра. Подставляя в (1.25.1), получаем 2 ε0 εl C= R2 ln( ) R1 (1.25.3) 1.25.с Емкость сферического конденсатора Сферический конденсатор состоит из двух полых, коаксиальных сфер с радиусами R1 и R2 (R2 > R1), вставленных друг в друга и заряженных зарядами ±q. Разность потенциалов вычисляем по формуле (1.13.3) kq 1 1 U 1 - 2 = ( ) R1 R2 Подставляя в (1.25.1), получаем емкость сферического конденсатора (1.25.4) kεR R C= 1 2 R2 R1 Устремляя в формуле (1.25.4) внешний радиус к бесконечности (R2 ), получим прежнюю формулу для емкости шара (1.24.4) C = kεR где R = R1 - радиус шара. В электрических цепях конденсаторы соединяют в батареи. При этом используется их параллельное и последовательное соединение. 1.25.д Параллельное соединение конденсаторов У параллельно соединенных конденсаторов потенциалы на обкладках всех конденсаторов одинаковые, поэтому разность потенциалов на обкладках всех конденсаторов одна и та же и равна U. Если емкости конденсаторов С1, согласно (1.25.1) заряды на них равны q1 = C1U , q2 = C 2U С2 ,…, Сn , то ,..., qN = C NU Заряд батареи конденсаторов равен N Q qi (C1 C2 ... CN )U i 1 Поэтому емкость батареи соединенных конденсаторов равна из Q C = = C 1 + C 2 + ...+ C N U параллельно (1.25.5) 1.25.е Последовательное соединение конденсаторов При последовательном соединении вторая обкладка первого конденсатора образует с первой обкладкой второго конденсатора единый проводник. При подаче напряжения возникают индуцированные заряды, причем заряд на второй обкладке 1 – го конденсатора равен заряду на первой обкладке 2 – го конденсатора. Поэтому у последовательно соединенных конденсаторов заряды обкладок всех конденсаторов равны по модулю q, а разность потенциалов на зажимах батареи равна 1 2 ,...., N где q i Ci - разность потенциалов на обкладках i – го конденсатора Эту разность потенциалов можем выразить через емкость батареи q C Приравнивая два выражения для , получаем N q q C i 1 Ci Следовательно, емкость батареи из последовательно соединенных конденсаторов определяется формулой N 1 1 = C i=1 C i (1.25.6)
