27.3. Переменный ток Рассмотренные установившиеся вынужденные электромагнитные колебания можно рассматривать как протекание в цепи, содержащей резистор, катушку индуктивности и конденсатор, переменного тока. Переменный ток можно считать квазистационарным, т. е. для него мгновенные значения силы тока во всех сечениях цепи практически одинаковы, так как их изменения происходят достаточно медленно, а электромагнитные возмущения распространяются по цепи со скоростью, равной скорости света. Для мгновенных значений квазистационарных токов выполняются закон Ома и вытекающие из него правила Кирхгофа, которые будут использованы применительно к переменным токам (эти законы уже использовались при рассмотрении электромагнитных колебаний). Рассмотрим последовательно процессы, происходящие в цепи, содержащей резистор, катушку индуктивности и конденсатор, при приложении к ней переменного напряжения U = Um cos ωt, (27.26.1) где Um - амплитуда напряжения. 27.3.1. Переменный ток, текущий через резистор сопротивлением R (L 0, С 0) (рис. 27.5, а). При выполнении условия квазистационарности ток через резистор определяется законом Ома: I = U/R = (Um/R) cos ωt = Im cos ωt, где амплитуда силы тока Im = U/R. Для наглядного изображения соотношений между переменными напряжениями воспользуемся Рис. 27.5. методом векторных диаграмм. На рис. 27.5,б дана векторная диаграмма амплитудных значений тока 1т и напряжения Um на резисторе (сдвиг фаз между 1т и Um равен нулю). 27.3.2. Переменный ток, текущий через катушку индуктивностью L (R 0, С 0) (рис. 27.6, а). Если в цепи приложено переменное напряжение (27.3.1), то в ней потечет переменный ток, в результате чего возникнет э. д. с. самоиндукции dI L . dt Тогда закон Ома для рассматриваемого участка цепи имеет dI вид U cos t L 0 m откуда dt dI L U m cos t dt , Так как внешнее напряжение приложено к катушке dI UL L индуктивности, то dt (27.3.2) (27.3.3) есть падение напряжения на катушке. Из уравнения (27.3.2) следует, что dI (U m / L) cos tdt , или после интегрирования, учитывая, что постоянная интегрирова-ния равна нулю (так как отсутствует постоянная составляющая тока), получим Рис. 27.6. Рис. 27.7. Um Um (27.3.4) Iгде sin t cost . I m cost , L L 2 2 Величина I m U m / L RL = ωL (27.3.5) называется реактивным индуктивным сопротивлением (или индуктивным сопротивлением). Из выражения (27.3.4) вытекает, что для постоянного тока (ω = 0) катушка индуктивности не оказывает сопротивления. Подстановка значения Um = ωLIm в выражение (27.3.2) с учетом (27.3.3) приводит к следующему значению падения напряжения на катушке индуктивности: UL = ωLIm cosωt. (27.3.6) Сравнение выражений (27.26.27) и (27.26.6) приводит к выводу, что падение напряжения UL опережает по фазе ток I, текущий через катушку, на π/2, что и показано на векторной диаграмме (рис. 27.6,б). 27.3.3. Переменный ток, текущий через конденсатор емкостью С (R 0, L 0) (рис. 27.7, а). Если переменное напряжение (27.3.1) приложено к конденсатору, то он все время перезаряжается и в цепи потечет переменный ток. Так как все внешнее напряжение приложено к конденсатору, а сопротивлением подводящих проводов можно пренебречь, то Q / C U C U m cos t Сила тока где dQ (27.3.7) I CU m sin t I m cos(t / 2), dt Um I m CU m . [1 /(C )] называется реактивным емкостным Величина RC сопротивлением (или сопротивлением). Для постоянного 1 /(емкостным C ) тока (ω = 0) Rc = , т. е. постоянный ток через конденсатор течь не может. Падение напряжения на конденсаторе 1 UC I m cos t. C (27.3.8) Сравнение выражений (27.3.7) и (27.3.8) приводит к выводу, что падение напряжения UC отстает по фазе от текущего через конденсатор тока I на π/2. Это показано на векторной диаграмме (рис. 27.7, б). 27.3.4. Цепь переменного тока, содержащая последовательно включенные резистор, катушку индуктивности и конденсатор. На рис. 27.8, а представлена цепь, содержащая резистор сопротивлением R, катушку индуктивностью L и конденсатор емкостью С, на концы которой подается переменное напряжение (27.3.1). В цепи возникнет переменный ток, который вызовет на всех элементах цепи соответствующие падения напряжения UR, UL, UC. На рис. 27.8, б представлена векторная диаграмма амплитуд падений напряжений на резисторе (UR), катушке (UL) и конденсаторе (Uc). Амплитуда Um приложенного напряжения должна быть равна геометрической сумме амплитуд этих падений напряжений. Как видно из рис. 27.8, б, угол φ определяет разность фаз между напряжением и силой тока. Из рисунка следует, что (см. также формулу (27.16)) tg L 1 / C (27.3.9) R Из прямоугольного треугольника получаем 2 Рис. 27.8. 1 2 ( RI m ) 2 L I m U m C откуда амплитуда силы тока имеет значение Um Im 2 (27.3.10) 1 R 2 L C совпадающее с (27.1.15). Следовательно, если напряжение в цепи изменяется по закону U = Um cos ωt, то в цепи течет ток I = Im cos (ωt -φ), (27.3.11) где φ и Im определяются соответственно формулами (27.3.9) и 2 (27.3.10). Величина (27.3.12) 1 2 2 2 Z R L R ( RL RC ) C называется полным сопротивлением цепи, а величина Z = RL – RC = (ωL- 1/ωC) — реактивным сопротивлением. Рассмотрим частный случай, когда в цепи отсутствует конденсатор. В данном случае падения напряжений UR и UL в сумме равны приложенному напряжению U. Векторная диаграмма для данного случая представлена на рис. 27.9, из которого следует, что tg φ = ωL/R, Im = Um/R2 + (ωL)2. (27.3.13) Рис. 27.9. Рис. 27.10. Выражения (27.3.9) и (27.3.10) совпадают с (27.3.13), если в них 1/(ωС) = 0, т. е. С = . Следовательно, отсутствие конденсатора в цепи означает С = , а не С = 0. Данный вывод можно трактовать следующим образом: сближая обкладки конденсатора до их полного соприкосновения, придем к цепи, в которой конденсатор отсутствует (расстояние между обкладками стремится к нулю, а емкость — к бесконечности).