ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА Упражнениения Tallinn University of Technology IAY0010 (Aleksander Sudnitson) ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА Упражнение 1. СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ Системы счисления Система счисления (СС) это символический способ представления чисел. Системы счисления делятся на: • непозиционные; • позиционные: однородные; смешанные. В рамках данного упражнения основное внимание уделено однородным позиционным СС (2-ичной, 8-ричной, 16-ричной). 3 Десятичная СС 4 Двенадцатиричная СС 5 Шестидесятиричная СС 6 Позиционные СС СС называется позиционной, если значение каждой цифры зависит от её положения в числе. Основание СС совпадает с количеством цифр, используемых для записи чисел в этой системе счисления. Если количество используемых цифр равно N, то система счисления называется N-арной. Произвольное число Х в N-арной СС: ХN = an×Nn + an-1×Nn-1 + ... + a1×N1 + a0×N0 7 Бинарная (двоичная) СС Бинарная (двоичная) СС – это позиционная система счисления с основанием «2». Множество используемых цифр: {0, 1}. Число 33710 в двоичной СС: 1010100012 = 1×28 + 1×26 + 1×24 + 1×20 В основном применяется в вычислительной технике (наиболее простая реализация). 8 Бинарный поиск Загадайте число от 0 до 15 (например 11). Задав 4 раза вопрос «Загаданное число больше или равно S?» можно отгадать число (и одновременно найти его представление в бинарной системе). Каждый ответ на вопрос даёт значение одного разряда бинарного представления загаданного числа (начиная с самого старшего). Ответ ДА соответствует «1», ответ НЕТ – «0». 9 Бинарный поиск Числа S можно подбирать используя соответствующее бинарное дерево поиска. 8 (11>8) 4 1 6 3 (11<12) НЕТ 12 2 5 10 7 9 (11>10) ДА 14 11 ДА 13 15 (11=11) ДА Ответ: 1110 = 10112 10 Преобразование делением На каждом шаге частное, полученное в результате предыдущего шага, делится на «2» (изначально делится само число). Остаток от каждого деления даёт значение одного разряда бинарного представления преобразовываемого числа (начиная с самого младшего). Деление продолжается до тех пор пока частное не будет равно «0». Алгоритм применим для переводе в систему с любым основанием. 11 Преобразование делением Шаг 1: 11 / 2 Шаг 2: частное = 5; остаток = 1. 5/2 Шаг 3: частное = 2; остаток = 1. 2/2 Шаг 4: частное = 1; остаток = 0. 1/2 частное = 0; остаток = 1. Ответ: 1110 = 10112 12 8-ричная и 16-ричная СС Восьмеричная СС – это позиционная система счисления с основанием «8». Множество используемых цифр: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Шестнадцатиричная СС – это позиционная система счисления с основанием «16». Множество используемых цифр: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F}. Число 33710 в 8-ричной и 16-ричной СС: 33710 = 5218 = 15116 13 Преобразование в 8-ричную СС Для преобразования из двоичной СС в 8-ричную необходимо объединить цифры бинарного числа в группы по три начиная с наименьшего разряда. Затем каждая группа заменяется соответствующую цифру из 8-ричной СС. на Обратное преобразование происходит путём замены 8-ричных цифр на соответствующие бинарные группы. 14 Преобразование в 8-ричную СС Переведём число 1010100012 двоичной в 8-ричную СС: 101010001 5 2 1 (33710) из Ответ: 1010100012 = 5218 Переведём число 5218 (33710) из 8-ричной обратно в двоичную СС: 521 101 010 001 Ответ: 5218 = 1010100012 15 Преобразование в 16-ричную СС Для преобразования из двоичной СС в 16-ричную необходимо объединить цифры бинарного числа в группы по четыре начиная с наименьшего разряда. Затем каждая группа заменяется соответствующую цифру из 16-ричной СС. на Обратное преобразование происходит путём замены 16-ричных цифр на соответствующие бинарные группы. 16 Преобразование в 16-ричную СС Переведём число 1010100012 двоичной в 16-ричную СС: 101010001 1 5 1 (33710) из Ответ: 1010100012 = 15116 Переведём число 15116 (33710) из 16-ричной обратно в двоичную СС: 1 151 Ответ: 0101 0001 15116 = 1010100012 17 ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА Упражнение 2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ Элементы множеств и подмножества Верны ли следующие высказывания: {2} {1,2,3,4,5} Нет. Почему? {2} {1,2,3,4,5} Да. {1,2,3} {1,2,3,{1,2,3}} Да. {1,2,3} {1,2,3,{1,2,3}} Да. = {} Нет. Почему? 19 Способы задания множеств Перечислите элементы множества: {x | x – целое число и х2 < 100} {-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} Подберите ограничительное свойство: {3,6,9,12,15,18,21,24} {x | x – натуральное число кратное 3, которое меньше 25} {1,4,9,16,25,36,49,...} {x | x – квадрат натурального числа} 20 Мощность множеств Чему равна мощность множества: |A|=4 А = {1,2,3,{1,2,3}} A = {{,{}}} |A|=1 A = {,{},a,b,{a,b},{a,b,{a,b}}} |A|=6 Чему равна мощность степенного множества: А = {a,b,c,d} P(A) = {, {a}, {b}, {c}, {d}, {a,b}, {a,c}, {a,d}, {b,c}, {b,d}, {c,d}, {a,b,c}, {a,b,d}, {a,c,d}, {b,c,d}, {a,b,c,d}} | P(A) | = 2 | A | = 16 21 Операции над множествами Опишите результирующие множества: А = { х | x – играет в футбол } В = { х | x – играет в теннис } AВ= AВ= ¬(A) = ¬(В) = A\В= В\А= AВ= { х | x – играет в футбол и теннис } { х | x – играет в футбол или теннис } { х | x – не играет в футбол } { х | x – не играет в теннис } { х | x – играет только в футбол } { х | x – играет только в теннис } { х | x – играет только в футбол или только в теннис } 22 Операции над множествами Чему равны результирующие множества: А = { 1, 2, 4, 6, 7 } В = { 2, 3, 4, 5, 6 } Е = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} AВ= AВ= ¬(A) = ¬(В) = A\В= В\А= AВ= { 2, 4, 6 } { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } { 0, 3, 5, 8, 9 } { 0, 1, 7, 8, 9 } { 1, 7 } { 3, 5 } { 1, 3, 5, 7 } 23 Диаграммы Венна Докажите закон дистрибутивности используя диаграммы Венна: А (В С) = (А В) (А С) 24 Диаграммы Венна Представьте в виде формулы выделенное множество: ((А В) (А С) (B С)) 25 ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА Упражнение 3. ОСНОВЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ Диаграммы Венна Представьте в виде формулы выделенное множество: ((А В) \ С) (А В С) 27 Правила элиминации A\B=АB AB = [ (A \ B ) (B \ A ) ] = = (А B ) (B A ) = = (A B ) (A B ) 28 Применение правил элиминации Примените правила элиминации к формуле: ((А В) \ С) (А В С) = [= ((А \ В) (В \ А)) \ С) (А В С) =] = (((А B) (B A)) C) (А В С) В любой формуле можно избавиться от операций вычитания и перейти к формуле, в которой встречаются только дополнение, объединение и пересечение (перейти в базис {пересечение, объединение, дополнение}). 29 Совершенная нормальная форма = (((А B) (B A)) C) (А В С) = = (А В С) (А В С) (А В С) = Здесь мы применили закон дистрибутивности относительно . 30 Законы Де Моргана A B = A B A B = A B А1 А2 … Аn = А1 А2 … Аn ( iI Ai ) = iI ( Ai ) I = { 1, 2, ... , n} А1 А2 … Аn = А1 А2 … Аn ( iI Ai ) = iI ( Ai ) I = { 1, 2, ... , n} дополнение к пересечению множеств равно объединению их дополнений; дополнение к объединению множеств равно пересечению их дополнений; 31 Переход к формуле в базисе { , ¬ } Примените закон Де Моргана и закон двойного дополнения для перехода в базис {пересечение, дополнение}: (А В С) (А В С) (А В С) = = (А В С) (А В С) (А В С) = = (А В С) (А В С) (А В С) 32 Переход к формуле в базисе { , ¬ } Примените закон Де Моргана и закон двойного дополнения для перехода в базис {объединение, дополнение}: (А В С) (А В С) (А В С) = = (А В С) (А В С) (А В С) = = (А В С) (А В С) (А В С) = = (А В С) (А В С) (А В С) 33 Вывод В любой формуле можно перейти из базиса {пересечение, объединение, дополнение} к базису {пересечение, дополнение} или {объединение, дополнение}. 34 Диаграмма Венна для 3 множеств (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) ABC ABC ABC Е ABC ABC ABC ABC ABC 35 Построение формулы см. слайд №5 (соверш. норм. форма) (1) (7) (3) (А В С) (А В С) (А В С) (1) (3) (7) 36 Представление множества C A B (А В С) ( В С) = = (А В С) (А В С) (А В С) 37 Алгебраические преобразования Покажем равносильность этих формул (см. предыдущий слайд) путём алгебраических преобразований: (А В С) (А В С) (А В С) = = (А В С) ((А A ) (В С)) = = (А В С) (( E (В С)) = =(А В С) ( В С) 38 Виды соответствий Даны соответствия PAB и QBC. A = { a, b, c } B = { d, f } C = { x, y, z } P = { < a, d >, < a, f >, < b, d >, < c, f >} Q = { < d, x >, < f, z > } Является ли соответствие P всюду определённым функцией Является ли соответствие Q функцией сюръекцией инъекцией биекцией ? ? ? ? ? ? 39 Виды соответствий a P d b c f Является ли соответствие P всюду определённым - ДА Является ли соответствие P функцией -------------- НЕТ 40 Виды соответствий Q d x y f z Является ли соответствие Q функцией --- ДА сюръекцией- НЕТ инъекцией --- ДА биекцией ---- НЕТ 41 Композиция соответствий Найти композицию соответствий P и Q. R=P◦Q R a d b c x y f z R = { < a, x >, < b, x >, < a, z >, < c, z >} 42 ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА Упражнение 4. ОСНОВЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ Сведение к ограниченному базису Представить формулу ( B C )\ (C A B ) в базисе {пересечение, объединение, дополнение} Решение: ( B C )\ (C A B ) = = ( (B C) (B C) )\ (C A B ) = = ( (B C) (B C) ) (C A B ) 44 Сведение к нормальной форме ( (B C) (B C) ) (C A B ) = = ( (B C) (B C) ) (C A B) = = ( (B C C) (B C C) ) ( (B C A) (B C A) ) ( (B C B) (B C B) ) = = (B C ) ( (B C A) (B C A) ) (B C ) = = ( (B C ) (A B C) ) закон ДеМоргана дистрибутивность идемпотентность, противоречие поглощение 45 Переход к базису { , ¬ } и { , ¬ } Применяем законы Де Моргана и закон двойного дополнения (B C ) (A B C) = = (B C ) (A B C) = = (B C ) (A B C) (B C ) (A B C) = = (B C ) (A B C) = = (B C ) (A B C) 46 Диаграмма Венна ( (B C ) (A B C) ) B A C 47 Транзитивное замыкание a d b e c a b f d c e f 48 Отношение эквивалентности Дано разбиение: {{ a, b }, { c, d, e }, { f }} Задать соответствующее отношение эквивалентности. a b d c e f { < a, b >, < b, a >, < a, a >, < b, b >, < c, d >, < d, c >, < c, e >, < e, c >, < d, e >, < e, d >, < c, c >, < d, d >, < e, e >, < f, f > } 49 ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА Упражнение 5. БУЛЕВЫ ФУНКЦИИ Сведение к ограниченному базису От исходной формулы ( ( x 1 x2 ) x1 x3 ) x2 перейти к формуле в булевском базисе (конъюнкция, дизъюнкция и отрицание) ( ( x1 x2 ) x1 x3 ) x 2 = = ( x1 x2 x1 x3 ) x2 = = ( x 1 x2 ) x 2 = = ( ( x1 x2 ) x2 ) ( ( x1 x 2 ) x2 ) = = x1 x2 x2 x1 x2 x2 x2 = = x1 x2 51 Проверка через таблицы x1 x2 x3 ( ( x1 x2 ) x1 x3 ) x2 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 ((0 ((0 ((0 ((0 ((1 ((1 ((1 ((1 0 0 1 1 0 0 1 1 ) ) ) ) ) ) ) ) 0&0 ) 0&1 ) 0&0 ) 0&1 ) 1&0 ) 1&1 ) 1&0 ) 1&1 ) 0 = 1 0 = 1 1 =0 1 =0 0 =0 0 =0 1 =0 1 =0 x1 x2 1 1 0 0 0 0 0 0 52 Переход к Карте Карно Представить рассматриваемую функцию в x1 x2 форме карт карно x3 0 00 10 11 01 m000 m100 m110 m010 1 m001 m101 m111 m011 x3 x1 x1 1 0 0 0 1 0 0 0 x2 x3 x2 53 Сведение к нормальной форме ( (x2 & x3) (x2 & x3) ) & (x3 & x1 & x2 )= закон ДеМоргана = ( (x2 & x3) (x2 & x3) ) &(x3 x1 x2)= = ( (x2 & x3 & x3) (x2 & x3 & x3) ) ( (x2 & x3 & x1) (x2 & x3 & x1) ) ( (x2 & x3 & x2) (x2 & x3 & x2) ) = = (x2 & x3 ) ( (x2 & x3 & x1) (x2 & x3 & x1) ) (x2 & x3 ) = = ( (x2 & x3 ) (x1 & x2 & x3) ) дистрибутивность идемпотентность, противоречие поглощение 54 Переход к базису { &, ¬ } и {, ¬ } Применяем законы Де Моргана и закон двойного отрицания (x2 & x3 ) (x1 & x2 & x3) = = (x2 & x3 ) (x1 & x2 & x3) = = (x2 & x3 ) & (x1 & x2 & x3) (x2 & x3 ) (x1 & x2 & x3) = = (x2 & x3 ) (x1 & x2 & x3) = = (x2 x3 ) (x1 x2 x3) 55 ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА Упражнение 6. БУЛЕВЫ ФУНКЦИИ Переход к Совершенной КНФ От исходной формулы ( x2 x1 x3 ) путём алгебраических преобразований перейти к СКНФ x1 x 3 x2 = = ( x1 x2 ) ( x3 x2 ) = = ( x1 x2 0) ( x3 x2 ) = = ( ( x1 x2 ) ( x3 x3 )) ( x3 x2 ) = = ( x1 x2 x3 ) ( x1 x2 x3 ) ( x3 x2 ) = = ( x1 x2 x3 ) ( x1 x2 x3 ) ( x2 x3 ) = = ( x1 x2 x3 ) ( x1 x2 x3 ) (( x1 x1 ) ( x2 x3 ) ) = = ( x1 x2 x3 ) ( x1 x2 x3 ) ( x1 x2 x3 ) ( x1 x 2 x3 ) = = ( x1 x2 x3 ) ( x1 x2 x3 ) ( x1 x2 x3 ) 57 Переход к Совершенной КНФ От исходной формулы ( x1 ~x2 ) x3 путём алгебраических преобразований перейти к СКНФ ( x1 x2 ) x3 = = ( x1 x2 ) x3 = = ( x1 x2 ) x3 = = ( x1 x2 ) x3 = = ( x1 x3 ) ( x2 x3 ) = = ( x1 x2 x3 ) ( x1 x2 x3 ) ( x1 x2 x3 ) См. предыдущий слайд 58 Сведение к ограниченному базису Функция задана формулой ( x1 x2 ) x3 , в которой используются операции {, , }. Перейти к формуле в базисе «штрих Шеффера» {}. ( x1 x 2 ) x3 = = ( ( x1 x 2 ) ( x1 x2 ) ) x3 = = ( ( x 1 x2 ) ( x1 x2 ) ) x3 = = ( ( x1 x 2 ) ( x1 x2 ) ) x 3 = = ( ( x1 x 2 ) ( x1 x2 ) ) x3 = = (x1 ( x2 x2 )) (( x1 x1 ) x2 ) x3 = = ( x1 ( x2 x2 )) (( x1 x1 ) x2 ) x3 = = ( ( x1 ( x2 x2 ) ) ( ( x1 x1 ) x2 ) ) x3 Дом. задание: представить заданную функцию формулой в базисе «стрелка Пирса» {}. 59 Сведение к ограниченному базису Представить функцию x1 x2 формулой в базисе «стрелка Пирса» {}. Решение 1. x 1 x2 = = x1 x2 x1 x2 = = ( x1 x2 ) ( x1 x2 ) = = ( x1 x2 ) ( x1 x2 ) = = ( x1 x2 ) ( x1 x2 ) = = =(( ( x1 x1 ) ( x2 x2 ) ) ( x1 x2 ) ) = = (( ( x1 x1 ) ( x2 x2 ) ) ( x1 x2 ) ) (( ( x1 x1 ) ( x2 x2 ) ) ( x1 x2 ) ) 60 Сведение к ограниченному базису Представить функцию x1 x2 формулой в базисе «стрелка Пирса» {}. Решение 2. x1 x2 = = ( x1 x2 ) ( x1 x2 ) = =( ( x1 x2) ( x1 x2) ) = = ( ( x1 x2 ) ( x1 x2 ) ) = = (( x1 x1) x2 ) ( (x1 ( x2 x2 )) 61 Построение логической схемы Реализовать данную функцию x1 x2 x3 x4 в базисе 2х входного элемента И-НЕ. x1 x2 x3 x4 x1 x2 x3 x4 x1 x2 x3 x4 62 Построение логической схемы x1 x2 x3 x4 x1 & & x1 x2 x2 x3 & y & x3 x4 x4 63 ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА Упражнение 7. МИНИМИЗАЦИЯ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ Минимальная КНФ Функция задана посредством ДНФ. Найти МКНФ. x1 x3 x1 x2 x1’ x2 x3’ Путь решения: перейти к карте Карно (импликанту-эл. конъюнкции из ДНФ соответствует единичный блок на Карте Карно) и найти МКНФ методом карт Карно. 65 Решение x1 x1 x3 x1 x2 x1’ x2 x3’ 0 0 1 1 0 1 1 0 x3 x2 x1 0 0 1 1 0 1 1 0 ( x2 x3 ) ( x1 x3’ ) x3 x2 66 Все простые имликанты и сокр. ДНФ Найти (перечислить) все простые импликанты. Построить сокращённую ДНФ и минимальную ДНФ. x1 x x ’, x x , x x 2 0 0 1 1 0 1 1 0 3 1 2 1 3 Сокращённая ДНФ: x3 x2 x3’ x1 x2 x1 x3 x2 x1 0 0 1 1 0 1 1 0 x2 Минимальная ДНФ: x3 x2 x3’ x1 x3 67 Метод МакКласки -МДНФ Булева функция (частичная) задана картой Карно. x1 - 0 1 0 0 1 - 1 x3 x2 Найти все простые импликанты, доопределяя данную частичную булеву функцию и применяя метод МакКласки. Указать их на карте Карно отметив соответствующие «единичные» блоки. Представить МДНФ. 68 Решение x1 - 0 1 0 0 1 - 1 x3 x2 1 1 0 М1 = 1 0 1 0 1 1 1 0 0 М0 = 0 1 0 0 0 1 0 0 0 М- = 1 1 1 69 Решение - МДНФ 1 1 0 М1 = 1 0 1 0 1 1 0 0 0 М- = 1 1 1 Склеивание 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 - 1 - 1 1 Поглощение 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 МДНФ: x1 x2 x1 x3 x2 x3 x1 - 0 1 0 0 1 - 1 x3 x2 1 1 1 - 1 - 1 1 x1 x2 x1 x3 x2 x3 исключается при решении задачи покрытия 70 Метод МакКласки -МКНФ Булева функция (частичная) задана картой Карно. x1 - 0 1 0 0 1 - 1 x3 x2 Найти все простые имплиценты доопределяя данную частичную булеву функцию и применяя метод МакКласки. Указать их на карте Карно отметив соответствующие «нулевые» блоки. Представить МКНФ. 71 Решение - МКНФ 1 0 0 М0 = 0 1 0 0 0 1 0 0 0 М- = 1 1 1 Склеивание 1 0 0 - 0 0 0 1 0 0 - 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 Поглощение 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 x1 - 0 1 0 0 1 - 1 x3 x2 - 0 0 0 - 0 0 0 - МКНФ: (x2 x3 ) (x1 x3 ) ( x1 x2 ) x2 x3 x1 x3 x1 x2 исключается при решении задачи покрытия 72 Метод МакКласки -МДНФ Булева функция (частичная) задана картой Карно. x1 0 0 - 0 0 1 - 1 Найти МДНФ. x3 x2 1 0 1 1 1 0 М- = М1 = 0 1 1 1 1 1 73 Решение - МДНФ Склеивание и поглощение 1 0 1 1 - 1 0 1 1 - 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 МДНФ: x1 x3 x2 x3 0 0 - 0 0 1 - 1 x3 x2 Задача покрытия 1 - 1 - 1 1 1 1 - x1 74 Сокращённая и минимальная ДНФ Функция задана картой Карно. x1 x4 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 x3 x2 Найти сокращённую ДНФ и минимальную (кратчайшую) ДНФ 75 Сокращённая и минимальная ДНФ Функция задана картой Карно. Найти сокращённую ДНФ и минимальную (кратчайшую) ДНФ x1 x1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 x4 0 0 1 0 1 1 1 x3 x4 1 0 1 1 0 0 1 1 x2 x3 x2 Сокр. ДНФ: x1 x4’ x2 x4 x1 x2 x2’ x3 x4’ x1’ x2’ x3 x1’ x3 x4 Мин. ДНФ: x1 x4’ x2 x4 x1’ x2’ x3 76 ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА Упражнение 8. АЛГЕБРА ЖЕГАЛКИНА (REED-MULLER) Алгебра Жегалкина (Reed-Muller) Алгебра логических функций в базисе {&, } называется алгеброй Жегалкина. Свойства операций & и : xy=yx (операция , как и &, коммутативна) x (y z) = x y x z (дистрибутивность & относительно ) xx=0 (чётное число термов может быть сокращено) x0=x (нуль-термы могут быть сокращены) Справедливо: xy=xyxy x=x1 x y = x & y = (x 1) (y 1) 1 = x y x y 78 Полином Жегалкина (Reed-Muller) Полином Жегалкина определяется как полином по модулю два попарно различных положительных элементарных конъюнкций (содержат только положительные литералы). P(x1…xn) = a0 a1x1 a2x2 ... anxn a12x1x2 a13x1x3 ... a1...nx1...xn, где a0…a1…n {0,1} Примеры полиномов Жегалкина: P=ABC P = A BC AD P = 1 A ABD 79 Полином Жегалкина (Reed-Muller) Число попарно различных конъюнкций равно 2n, где n - общее число переменных. Отсюда число различных полиномов Жегалкина от n 2n переменных равно 2 . Число различных полиномов Жегалкина совпадает с числом всех булевых функций от n переменных. В виде полинома Жегалкина можно представить любую булеву функцию, причём для каждой функции соответствующий полином будет являться единственным (каноническое представление). 80 Преобразование в полином Жегалкина Когда исходная формула – СДНФ, мы можем выполнить эквивалентное преобразование, заменив знаки дизъюнкции на знаки . СДНФ состоит из взаимно ортогональных конъюнкций: при любом наборе аргументов значение ИСТИНА может принять не более чем одна из них. Если x&y=0, то говорят, что x ортогональна y. В общем случае: xy=xyxy Но если x ортогональна y, то: xy=xyxy=0xy=xy 81 Преобразование в полином Жегалкина Функция задана посредством ДНФ: x1x2 x1x2 Если принять, что f = x1 x2 и g = x1 x2, то здесь мы имеем как раз тот самый случай, когда f&g=0 (действительно, x1 x2 x1 x2 = 0 ). x1 x2 x1 x2 = x1 x2 x1 x2 = = x1 x2 (x1 1) (x2 1) = = x1 x2 x 1 x2 1 x2 x1 1 1 = = 0 x1 x2 1 = = x1 x2 1 82 Преобразование в полином Жегалкина Полином Жегалкина можно строить из произвольной ДНФ, если предварительно ортоганализировать её. Функция задана посредством ДНФ: x2x3 x1x2 Наиболее просто провести ортоганализацию с использованием карт Карно. x1 x1 0 0 1 1 0 0 0 1 x2 x3 0 0 1 1 0 0 0 1 x3 x2 83 Преобразование в полином Жегалкина Выразить представленную картой функцию полиномом Жегалкина. Карно x1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 x3 x4 0 0 0 0 x2 x1 x4 x1 x2 x4 x2 x3 x4 = = x 1 x2 x4 x2 x 3 x4 x1 x4 x2 x4 x1 x 2 x1 x2 84