Малые колебания системы

Глава 6
Малые колебания системы
§ 1. Понятие об устойчивости равновесия
§ 2. Малые свободные колебания системы с
одной степенью свободы
2.1. Свойства малых колебаний точек системы
§ 3. Малые затухающие колебания системы с
1 степенью свободы
§ 4. Вынужденные колебания системы с
1 степенью свободы
§ 1. Понятие об устойчивости равновесия
Равновесие системы в данном положении называется
устойчивым, если её можно вывести из этого
положения настолько малым возмущением, что во все
последующее время отклонения системы от
равновесного положения будут меньше любого сколь
угодно малого заданного отклонения
В противном случае равновесие неустойчивое
Общий критерий равновесия консервативной системы –
теорема Лагранжа-Дирихле
Если потенциальная энергия консервативной
системы имеет в положении равновесия строгий
минимум, то равновесие системы в данном
положении является устойчивым
Это лишь достаточное условие устойчивости
равновесия, но не необходимое
Механическая система, для которой выполняется
закон сохранения механической энергии Т+П = const,
называется консервативной
Пусть консервативная система имеет одну степень
свободы
Положение равновесия определяется обобщенной
координатой q
Выберем её так, чтобы при равновесии q = 0
  
Тогда в положении равновесия

  0 1
 q 0
Если потенциальная энергия в положении равновесия
2
имеет минимум, то    
 2   0  2
 q 0
Чтобы система находилась в устойчивом равновесии,
достаточно выполнения условий (1) и (2)
§ 2. Малые свободные колебания
системы с одной степенью свободы
Пусть консервативная механическая система
состоит из n материальных точек, имеет одну степень
свободы и находится в положении устойчивого
равновесия
Какое движение она будет совершать, если её
вывести из состояния равновесия?
Положение системы будем определять обобщенной
координатой q, выбранной так, чтобы q = 0 при
равновесии
Так как равновесие устойчивое, а перемещения малые,
то координата q и обобщенная скорость будут
величинами q малыми
Уравнение Лагранжа:
d  T  T 


0


dt  q  q q
Это уравнение можно линеаризовать, сохранив малые
величины только в первой степени
Величины Т(q, q) и П(q) достаточно определить тоже
приближенно с точностью до q2 или q2
При стационарных связях для любой точки системы
rk  rk  q 
drk drk
Vk 

 q,
dt dq
и
2




1
1
dr
T   mkVk2    mk  k    q 2
2 k
2  k
 dq  
тогда
1
T  F  q   q2 ,
2
или
т.к.
drk
dq
и
rk
только функции q
Разложим в ряд Тейлора функцию
F  q   F  0   F '  0  q  F " 0  q 2 
и сохраним только F(0), т.к. кинетическую энергию надо
определить с точностью до q2:
1
2
3
  T  aq
2
, где
a  F  0
Т всегда положительная величина, =>,
a0
a - инерционный коэффициент
Его размерность зависит от q
Разложим в ряд Тейлора потенциальную энергию П(q),
учитывая, что   

  0,
 q 0
найдем
1
  q     0  c  q2 ,
2
  2 
c 2 
 q 0
где
и
 4
c0
В частном случае, если q – удлинение пружины,
c
- квазиупругий коэффициент, или
обобщенный коэффициент жесткости
Из равенств (3) и (4) находим
T
 aq
q
T
0
q

 cq
q
Подставляем их в уравнение Лагранжа и получаем
дифференциальное уравнение малых свободных
колебаний системы с одной степенью свободы
q  k  q  0,  5
2
c
k 
a
где
2
Уравнение (5) совпадает с уравнением свободных
прямолинейных колебаний материальной точки, и его
6
общее решение q  A sin kt  


Здесь А и α – постоянные интегрирования,
определяемые по начальным условиям
Частота и период этих колебаний определяются
k
c
a
и
2
a

 2
k
c
Установим, как при этом двигаются точки системы
Разложим радиус-вектор одной из точек системы в
ряд Тейлора
rk  q   rk  0   rk '  0   q  rk " 0   q 
2
Возьмем лишь величины первого порядка малости
rk  q   rk  0  rk '  0  Asin  kt   
Оказывается, что точки системы тоже совершают
малые колебания с частотой k и амплитудами
k
c
a
и
rk '  0   A
2.1. Свойства малых колебаний точек
системы
1. Свободные (собственные) колебания системы –
гармонические колебания; частота k и период τ этих
колебаний не зависят от начальных условий и
определяются равенствами
k
c
a
и
a
  2
c
2. Т.к. А и α зависят от начальных условий, то
амплитуды и начальные фазы малых колебаний
точек системы тоже зависят от начальных условий
3. Отношения амплитуд колебаний разных точек
системы от начальных условий не зависят, т.к.
определяются только конфигурацией системы
rk '  0 
4. Все точки системы в каждый момент времени
находятся в одной и той же фазе колебаний, т.е.
одновременно проходят положения равновесия и
одновременно достигают максимального отклонения
от этого положения
§ 3. Малые затухающие колебания
системы с 1 степенью свободы
Пусть кроме потенциальных сил на систему действуют
силы вязкого сопротивления (диссипативные силы)
 drk
Fk  kVk   k 
 dq

 qk

На условия равновесия эти силы не влияют, т.к. при
равновесии
V 0 и F 0
k
k
Обобщенную диссипативную силу Qд можно найти
rk
Q   Fk 
q
k
=>
Q Д    q
Уравнение Лагранжа
d  T  T 

 QД


dt  q  q q
Подставим значения этих величин
q  2bq  k q  0,
2
где
 2 c
2b  , k 
a
a
Общее решение такого уравнения
q  Ae bt  sin  k1t   
совпадает с общим решением дифференциального
уравнения свободных колебаний при сопротивлении,
пропорциональном скорости
Выводы
1. При k > b система совершает затухающие колебания
с частотой k1 и периодом τ
k1  k  b
2
q
2
и
2

k1
t
2. При k ≤ b система совершает не колебательное
движение
§ 4. Вынужденные колебания системы с
1 степенью свободы
Пусть на систему действуют ещё возмущающие силы и
изменяющиеся со временем по закону
Fk  Fk 0 sin pt ,
тогда обобщенная возмущающая сила
Уравнение Лагранжа
где
QB  Q0 sin pt
q  2bq  k 2 q  P0 sin pt ,
Q0
 2 c
P0  , 2b  , k 
a
a
a
Общее решение такого уравнения
P0
q  A  sin  kt     2
 sin pt
2
k p
Свободные
колебания
Вынужденные
колебания
В случае k = p – резонанс
Частота собственных колебаний равна частоте
возмущающей силы
Выводы
1. Амплитуда вынужденных колебаний не зависит от
начальных условий
2. Вынужденные колебания при наличии сопротивления
не затухают
3. Частота вынужденных колебаний равна частоте
возмущающей силы и от характеристик системы не
зависит
4. Даже, если Q0 мало, можно получить интенсивные
вынужденные колебания (случай резонанса)
5. Даже при большом Q0 колебания можно сделать
малыми, если p << k