Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Группы и алгебры Ли и их представления» для направления 01.06.01
«Математика и механика», профили 01.01.04 «Геометрия и топология», 01.01.05 «Теория вероятностей и
математическая статистика», 01.01.06 «Математическая логика, алгебра и теория чисел» подготовки
научно-педагогических кадров в аспирантуре
Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Национальный исследовательский университет
«Высшая школа экономики»
Факультет Математики
Программа дисциплины «Группы и алгебры Ли и их представления»
для направления 01.06.01 «Математика и механика», профили 01.01.04 «Геометрия и
топология», 01.01.05 «Теория вероятностей и математическая статистика», 01.01.06
«Математическая логика, алгебра и теория чисел» подготовки научно-педагогических кадров в
аспирантуре
Автор программы: Рыбников Л.Г., к.ф.-м.н., leo.rybnikov@gmail.com
Одобрена на заседании Академического совета аспирантской школы по Математике
«24» октября 2014 г.
Москва - 2014
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями
университета и другими вузами без разрешения разработчика программы
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Группы и алгебры Ли и их представления» для направления 01.06.01
«Математика и механика», профили 01.01.04., 01.01.05, 01.01.06 подготовки научно-педагогических кадров
в аспирантуре

Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к
знаниям и умениям аспиранта по направлению 01.06.01 «Математика и механика», профили
01.01.04 «Геометрия и топология», 01.01.05 «Теория вероятностей и математическая
статистика», 01.01.06 «Математическая логика, алгебра и теория чисел» и определяет
содержание и виды учебных занятий и отчетности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных
ассистентов и аспирантов направления 01.06.01 «Математика и механика», профилей 01.01.04
«Геометрия и топология», 01.01.05 «Теория вероятностей и математическая статистика»,
01.01.06 «Математическая логика, алгебра и теория чисел» подготовки аспиранта.
Программа разработана в соответствии с:
 Образовательным стандартом НИУ ВШЭ;
 Образовательной программой подготовки аспирантов по направлению «Математика и
механика»
 Учебным планом подготовки аспирантов по направлению 01.06.01 «Математика и
механика», профили 01.01.04 «Геометрия и топология», 01.01.05 «Теория вероятностей и
математическая статистика», 01.01.06 «Математическая логика, алгебра и теория чисел»
утвержденными в 2014 г.

Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины «Группы и алгебры Ли и их представления» являются получение
представления о структуре алгебр Ли,
классических
матричных
групп
Ли;
знания об основных понятиях теории представлений алгебр Ли
и
групп
Ли;
умения решать различные конкретные задачи, пользуясь алгебрами Ли.

Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения
дисциплины
В результате освоения дисциплины аспирант должен:
 Знать об основных понятиях теории представлений алгебр Ли и групп Ли.
 Уметь решать различные конкретные задачи, пользуясь алгебрами Ли.
 Иметь навыки (приобрести опыт) применения техники теории представлений в
различных областях математики.
В результате освоения дисциплины аспирант осваивает следующие компетенции:
Компетенция
Код по
ОС НИУ
ВШЭ
Дескрипторы –
основные признаки освоения
(показатели достижения
результата)
Формы и методы
обучения, способствующие
формированию и развитию
компетенции
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Группы и алгебры Ли и их представления» для направления 01.06.01
«Математика и механика», профили 01.01.04., 01.01.05, 01.01.06 подготовки научно-педагогических кадров
в аспирантуре
Код по
ОС НИУ
ВШЭ
Компетенция
способность
критическому
оценке
к
анализу
и
современных
научных достижений,
том
числе
в УК-1
в
междисциплинарных
Дескрипторы –
основные признаки освоения
(показатели достижения
результата)
Владение
базовыми
понятиями
основных
математических
дисциплин.
Умение
сделать
научный
доклад по заданной теме.
Демонстрация
грамотного
владения
современной
математической терминологией
и развитый научный кругозор.
Формы и методы
обучения, способствующие
формированию и развитию
компетенции
Осознание материала
лекций.
Самостоятельный
разбор
математических
текстов, научные дискуссии с
преподавателями
и
сокурсниками.
областях
способность
генерировать
оригинальные
УК-2
теоретические
Умение
выдвигать
Постановка сложных
гипотезы и самостоятельно вопросов,
не
имеющих
искать
способы
их однозначной трактовки ,
доказательств и опровержений. стимулирующих
научный
поиск.
конструкции, гипотезы и
исследовательские вопросы
способность
выбирать
и
применять
методы
исследования, УК-3
адекватные предмету и
задачам исследования
способность
собирать,
анализировать,
обрабатывать
и
хранить
данные в соответствии с
УК-4
общепринятыми научными
и этическими стандартами
способность
осуществлять комплексные
исследования, в том числе
междисциплинарные,
основе
системного
мировоззрения
на УК-5
целостного
научного
Понимание
междисциплинарных
связей
основных
математических
дисциплин и всей структуры
математического
знания.
Владение
современной
математической методологией.
Знание
нормативных
требований
к
форме
представления
научной
математической информации,
принятой в мировом научном
сообществе.
Проявление
уважения
к
научным
результатам коллег, умение
строить внутрикорпоративный
диалог.
Владение в полном
объеме
спектром
математических
и
мат.
физических
методов,
представление о последних
достижениях
в
области
фундаментальной математики.
Изложение своих результатов
на
иностранном
языке,
доступном
мировому
сообществу.
Демонстрация
возможностей
различных
методологических подходов
для решения некоторого типа
задач.
Компетенция
достигается
в
процессе
накопления опыта, общения
с преподавателями.
Ознакомление
аспирантов с основными
базами
данных
научной
математической информации
и
формальными
требованиями работы с ней.
Продумывание
базовых понятий курса
Вырабатывается
в
процессе решения задач,
самостоятельного
чтения,
работы
над
научными
заданиями
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Группы и алгебры Ли и их представления» для направления 01.06.01
«Математика и механика», профили 01.01.04., 01.01.05, 01.01.06 подготовки научно-педагогических кадров
в аспирантуре
Код по
ОС НИУ
ВШЭ
Компетенция
способность
к
научно-исследовательской
деятельности
в
области
фундаментальной
и/или
прикладной математики, в
частности,
в
областях
математической
алгебры,
логики,
теории
чисел,
алгебраической геометрии, ПК-1
дифференциальной
геометрии,
Дескрипторы –
Формы и методы
основные признаки освоения
обучения, способствующие
(показатели достижения
формированию и развитию
результата)
компетенции
Проведение глубокого
Участие в совместных
анализа проблемной области, с
коллегами
формулировка вопросов на его исследовательских проектах.
основе.
Применение
Умение
подбирать математического аппарата на
необходимые
методы практике
для
решения
исследования
и производственных
модифицировать их, исходя из вычислительных задач.
предметной
области
исследования.
Умение
привлекать
аппарат
различных
математических дисциплин для
решения поставленных задач.
топологии,
дифференциальных
уравнений,
теории
вероятностей
и
математической
статистики,
математической физики
способность
проводить теоретические и
экспериментальные
исследования
в
математике,
математической
физике, ОПК-1
информатике, в том числе с
использованием новейших
информационнокоммуникационных
технологий
Способность правильно
Компетенция
обозначать
проблемную формируется
в
любом
область и разбивать ее на сегменте учебного процесса
подзадачи, требующие решения
Формируется
в
Знаение
широкого процессе решения задач и
спектра современных ИКТ и участия
в
научноумение
их
корректно исследовательских проектах.
применять.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Группы и алгебры Ли и их представления» для направления 01.06.01
«Математика и механика», профили 01.01.04., 01.01.05, 01.01.06 подготовки научно-педагогических кадров
в аспирантуре
Код по
ОС НИУ
ВШЭ
Компетенция
способность
к
разработке новых методов
исследования
их
применению
в
самостоятельной
научно-
исследовательской
ОПК-2
деятельности в математике,
математической
информатике
правил
физике,
с
Дескрипторы –
основные признаки освоения
(показатели достижения
результата)
Умение
классифицировать
основные
моменты
базовых
математических доказательств
и
построений.
Разработка
своих методов, являющихся как
обобщениями уже известных,
так и абсолютно новыми.
Умение
вписывать
свои
исследования
в
общематематический мировой
контекст.
Формы и методы
обучения, способствующие
формированию и развитию
компетенции
Вырабатывается
путем активного решения
задач,
самообразования,
общения с преподавателями.
Практикуется
демонстрация уязвимостей и
слабых мест современного
математического
инструментария.
учетом
соблюдения
авторских прав

Место дисциплины в структуре образовательной программы
Настоящая дисциплина относится к блоку дисциплин по выбору, обеспечивающих
подготовку аспиранта.
Для освоения дисциплины аспиранты должны обладать следующими навыками:
1. способность думать головой;
2. умение соотносить вновь получаемую информацию с уже имеющейся целостной
картиной мира и находить для этой информации адекватное место в этой картине;
3. умение сочетать логический и наглядно-геометрический анализ поступающей
информации, видеть их единство и тесную взаимосвязь.

Тематический план учебной дисциплины
№
Название раздела
Всего
часов
Аудиторные часы
СамостояПрактиче
тельная
Лекци Семин
ские
работа
и
ары
занятия
Нильпотентные, разрешимые,
полупростые алгебры и группы Ли.
Классификация полупростых
комплексных алгебр Ли.
50
10
10
0
30
50
10
10
0
30
Теория представлений полупростых
алгебр и групп Ли.
90
25
25
0
40
Итого:
190
45
45
0
100
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Группы и алгебры Ли и их представления» для направления 01.06.01
«Математика и механика», профили 01.01.04., 01.01.05, 01.01.06 подготовки научно-педагогических кадров
в аспирантуре

Формы контроля знаний аспирантов
Текущий контроль — 2 домашних задания, 2 контрольные работы.
Итоговый контроль — экзамен.

Критерии оценки знаний и навыков
Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.
Контрольные работы: аспирант должен продемонстрировать умение пользоваться
основными техническими (вычислительными) приемами, которые используются в изученном
разделе теории групп и алгебр Ли. Предлагается 3--4 задачи на 90 минут.
Экзамен: письменная работа, состоящая из формулировок, доказательств теорем и 5-6
задач на 4 часа. Преобладают задачи, требующие хорошего понимания происходящего в курсе
групп и алгебр Ли.

Порядок формирования оценок по дисциплине
Формула для вычисления итоговой оценки:
Если выполнено D% домашних заданий, K% заданий предлагавшихся на контрольных
работах и E% заданий, предлагавшихся на экзамене (в процентах от общего количества всех
предлагавшихся задач), то итоговая оценка (по десятибалльной шкале) равна
10 min( 225, D+K+E) / 225
Таким образом для получения отметки 10 достаточно набрать сумму D+K+E=225 (что
примерно соответствует выполнению ¾ заданий каждого из видов).

Содержание дисциплины
Раздел представляется в удобной форме (список, таблица). Изложение строится по
разделам и темам. Содержание темы может распределяться по лекционным занятиям.
1. Раздел 1. Нильпотентные, разрешимые, полупростые алгебры и группы Ли.
Нильпотентные и разрешимые группы и алгебры Ли: теоремы Энгеля (док. в задачах) и Ли.
Форма Киллинга и разрешимый радикал. КритерийКартана. В задачах: полное доказательство
теорем Энгеля и Ли.
Компактные группы и алгебры Ли. Инвариантное интегрирование. Полная приводимость.
Теорема Петера—Вейля (б/док). В задачах: Алгебраичность компактных групп Ли.
Доказательство Теоремы Петера—Вейля.
Полупростые компактные группы Ли. Конечность фундаментальной группы полупростой
компактной группы Ли. Максимальные торы. Сюръективность экспоненты. В задачах:
когомологии компактных групп Ли, вычисление для U_n.
2. Раздел 2. Классификация полупростых комплексных алгебр Ли.
Полупростые комплексные алгебры Ли: полная приводимость конечномерных представлений,
разложение Жордана, картановские подалгебры. В задачах: картановские подалгебры в
классических алгебрах Ли.
Полупростые комплексные алгебры Ли: системы корней, группа Вейля.
В задачах:
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Группы и алгебры Ли и их представления» для направления 01.06.01
«Математика и механика», профили 01.01.04., 01.01.05, 01.01.06 подготовки научно-педагогических кадров
в аспирантуре
многообразие
флагов
-проективное
алгебраическое многообразие. Все картановские подалгебры сопряжены. Группа Вейля как
нормализатор максимального тора.
Классификация полупростых комплексных алгебр Ли. Матрица Картана и соотношения Серра.
Существование и единственность компактной вещественной формы полупростой комплексной
алгебры Ли. В задачах: Конструкции исключительных простых групп и алгебр Ли. Полярное
разложение комплексной полупростой группы Ли.
3. Раздел 3. Теория представлений полупростых алгебр и групп Ли.
Представления полупростых алгебр Ли: категория О, классификация конечномерных
представлений. В задачах: спинорное представление, дуальные пары, базисы ГельфандаЦетлина.
Формулы Вейля для характера и размерности конечномерного неприводимого представления. В
задачах: алгебры Каца--Муди, представления sl2 с крышкой и комбинаторные тождества.
 Образовательные технологии
На лекции даются все необходимые определения, доказываются ключевые теоремы курса,
обсуждаются логические и неформальные связи между ними, а также связи с теоремами из
других разделов математики и физики. Кроме того, приводятся примеры использования этих
результатов для решения конкретных задач.
После этого аспирантам выдаётся листок с домашним заданием, содержащий как рутинные
упражнения для усвоения стандартных вычислительных приёмов, так и теоремы для
самостоятельного доказательства (или прочтения в учебнике), которые будут существенно
использоваться в дальнейшем. Задачи должны решаться дома, после чего обсуждаться во время
семинарских занятий.
 Оценочные средства для текущего контроля и аттестации аспиранта
11.1 Тематика заданий текущего контроля
Примеры задач контрольных работ:
1. Разложите в прямую сумму неприводимых симметрический квадрат тензорного куба
2-мерного неприводимого представления алгебры Ли sl_2.
2. Найдите все идеалы алгебры Ли нестрого верхнетреугольных матриц 3х3.
3. Выпишите в координатах левоинвариантные векторные поля на группе Ли GL_2.
11.2 Примеры заданий итогового контроля
Примерный перечень вопросов к экзамену:
1. Опишите все комплексные алгебры Ли размерности не выше 3 с точностью до
изоморфизма. Какие из них разрешимы, нильпотентны, полупросты? Найдите в них все идеалы.
2. Сформулируйте и докажите теорему Пуанкаре—Биркгофа—Витта.
3. Опишите все конечномерные представления алгебры Ли sl_2 с точностью до
изоморфизма.
4. Приведите примеры связных/несвязных, одновязных/неодносвязных,
компактных/некомпактных, абелевых/неабелевых групп Ли. В каждом примере найдите
соответствующую алгебру Ли.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Группы и алгебры Ли и их представления» для направления 01.06.01
«Математика и механика», профили 01.01.04., 01.01.05, 01.01.06 подготовки научно-педагогических кадров
в аспирантуре
5. Сформулируйте и докажите основные свойства экспоненциального отображения.
Приведите примеры, когда экспоненциальное отображение открыто/не открыто,
сюръективно/несюръективно.
6. Сформулируйте и докажите теорему Энгеля.
7. Сформулируйте и докажите теорему Ли.
8. Сформулируйте и докажите критерий Картана.
9. Докажите полную приводимость представлений компактных групп Ли.
Сформулируйте теорему Петера--Вейля.
10. Докажите, что фундаментальная группа полупростой компактной группы Ли
конечна.
11. Дайте определение картановской подалгебры и укажите такие в классических
алгебрах Ли.
12. Дайте определение системы корней и группы Вейля. Докажите, что полупростые
комплексные алгебры Ли с точностью до изоморфизма нумеруются системами корней.
13. Опишите неприводимые конечномерные представления полупростой алгебры Ли с
точностью до изоморфизма.
Примеры экзаменационных задач:
1. Вычислите след оператора Казимира на тензорном квадрате присоединенного
представления алгебры Ли sl_2.
2. Найдите размерности весовых подпространств неприводимого представления алгебры
Ли sl_3 со старшим весом 2\omega_1+\omega_2.
3. Найдите все группы Ли с алгеброй Ли su_2+su_2.
 Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
12.1 Базовый учебник
1. Серр Ж.П. Алгебры Ли и группы Ли.–М.: Мир, 1969.
12.2 Основная литература
1. Хамфрис Дж. Введение в теорию алгебр Ли и их представлений.– М.:
МЦНМО, 2003.
2. Парамонова И.М., Шейнман О.К. Задачи семинара "Алгебры Ли и их
приложения".– М.: МЦНМО, 2004.
3. Фукс Д.Б. Когомологии бесконечномерных алгебр Ли.–М.: Наука, 1984.
4. Желобенко Д П Компактные группы ли и их представления.–М.:МЦНМО,
2007.
12.3 Дополнительная литература
1.
Постников М.М. Группы и алгебры Ли.– М.: Наука, 1982.
12.4 Литература для самостоятельного изучения
 Э. Б.Винберг, А.Л.Онищик Семинар по группам Ли и алгебраическим группам, УРСС,
Москва 1995
 Желобенко Д.П. Введение в теорию представлений.–М.:Факториал, 2002.
 Кац В. Бесконечномерные алгебры Ли. – М.: Мир, 1993
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Группы и алгебры Ли и их представления» для направления 01.06.01
«Математика и механика», профили 01.01.04., 01.01.05, 01.01.06 подготовки научно-педагогических кадров
в аспирантуре
 Материально-техническое обеспечение дисциплины
Для проведения спецкурса не используется специальное оборудование, кроме, возможно,
компьютерного проектора и системы видеозаписи лекций.