Лекции Динамический хаос с фазовым управлением
advertisement
Лекции Динамический хаос с фазовым управлением ЛЕКЦИЯ №1. ХАОС. ХАОТИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ Цель данной лекции – формирование у обучающихся правильных мировоззренческих представлений об окружающем мире; анализ понятий хаос, стохастический процесс. Хаос (греч. chaos, от chaino -- развергаюсь, изрыгаю), в древнегреческой мифологии -- беспредельная изначальная масса, из которой образовалось впоследствии все существующее. БСЭ, т.28 "Вначале существовал лишь вечный безграничный, темный Хаос. В нем заключался источник жизни, все возникло из безграничного Хаоса -- весь мир и бессмертные боги". "Легенды и мифы Древней Греции " Вы ничего не знаете, Корсо... Думаете, что знаете, а на самом деле -нет. Вы невежественны и очень глупы. Из тех, кто считают, что хаос носит случайный характер, и не ведают о существовании тайного порядка. Артуро Перес-Реверте. "Клуб Дюма, или Тень Ришелье" В природе происходят процессы двух типов: сложные, или хаотические, и простые, или упорядоченные. Важными техническими проблемами являются учёт и сведение к минимуму влияния неупорядоченных процессов, например сложных атмосферных явлений, вихрей в турбулентном потоке, шумов в электронной схеме и т.д. Поведение шумового сигнала нерегулярно и трудно предсказуемо. Если, однако, проанализировать достаточно длинную запись такого сигнала, то можно описать шум статистически. Это значит, что хотя и нельзя предсказать, какова будет следующая амплитуда, но вполне возможно оценить вероятность достижения сигналом каких-то определённых значений. За последние сто лет утвердился именно статистический подход к неупорядоченным процессам. В последние 20 лет наблюдается заметный прогресс в физике, который может быть описан как подъем "хаоса". Это, на первый взгляд, действительно загадочно, так как определение хаоса предполагает нерегулярность и непредсказуемость, в то время как физика всегда рассматривалась как наука, посвященная открытию законов природы, т.е. ее порядка и гармонии. Как может хаос стать предметом серьезных исследований в физике -- и не только в физике? Это только новый взгляд -- что закон и хаос не взаимоисключают друг друга, что даже простые детерминистские законы могут описывать хаотическое, т.е. непредсказуемое и нерегулярное, движение. Таким образом, не только закон и порядок, но и закон и хаос существуют вместе, и даже больше, кажется, что закон и хаос также важны вместе, как и закон и порядок. Это утверждение получено из факта, что хаотическое движение тесно связано с нелинейностью и область нелинейности значительно превосходит область линейности. Нобелевский лауреат американский физик Р.Фейнман в книге "Характер физических законов" говорит: "...Один философ сказал: "Для самого существования науки совершенно необходимо, чтобы в одних и тех же условиях всегда получались одни и те же результаты". Так вот, этого не получается. Вы можете точно воспроизвести все условия, и все-таки не сможете предсказать, в каком отверстии вы увидите электрон. Тем не менее, несмотря на это, наука жива, хотя в одних и тех же условиях не всегда получаются одни и те же результаты". Следовательно, физическая теория вовсе не всегда претендует на точное детерминированное описание, а зачастую оперирует с понятием вероятностного случайного исхода событий. Это происходит не потому, что физическая теория бессильна предсказать результат, а потому, что так устроена природа. Считается общепринятым представление о физике как о науке, имеющей дело с рядом точно решаемых динамических задач. Успех ньютоновской механики в описании и предсказании астрономических явлений в свое время выглядел чрезвычайно впечатляющим. Поэтому представлялось довольно естественным перенесение динамического подхода и на другие разделы физики, исходя из хорошо известной концепции лапласовского детерминизма, основанного на том, что какой бы сложной не была система, ее поведение можно принципиально предсказать точно, зная начальные условия и силы, действующие между ее составляющими частями. Литература 1. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Современные проблемы нелинейной динамики. Изд. Эдиториал УРСС, Москва, 2000, 335 с. 2. Эткинс П. Порядок и беспорядок в природе, Мир1987, 224 с. 3. И. Пригожин О существующего к возникающему. Москва, УРСС, 2002 4. И. Пригожин, И. Стенгерс Порядок из хаоса. Москва, УРСС., 2000 5. Кузнецов С.П. Динамический хаос ЛЕКЦИЯ №2. ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ. ДИНАМИЧЕСКИЙ ХАОС Цель данной лекции – На лекции излогается основные понятия и положения, необходимые для изучения теории динамического хаоса, как динамическая система, динамический хаос, аттрактор, нелинейная система. По аналогии явлению нерегулярного (хаотического) движения в нелинейных системах был присвоен термин динамический, или детерминированный, хаос. Прежде всего следует сказать несколько слов о динамической системе. Понятие динамической системы возникло как обобщение понятия механической системы, движение которой описывается дифференциальными уравнениями Ньютона. В настоящее время понятие динамической системы является весьма широким. Оно охватывет системы любой природы: механической, физической, химической, биологической, экономической и др., причем не только детерминированные системы, но и стохасические. В.С. Анищенко: «Под динамической системой понимают любой объект или процесс, для которого однозначно определено понятие состояния как совокупности некоторых величин в данный момент времени, и задан закон, который описывает изменение (эволюцию) начального состояния с течением времени». [1] Описание динамических систем также допускает большое разнообразие: оно может осуществляться или при помощи дифференциальных уравнений, или такими средствами, как функции алгебры логики, графы и т.д. Математические модели динамических систем можно классифицировать в зависисмости от структуры их фазового пространства Ф и вида оператора Т. Исследование поведения динамической системы сводится к изучению поведения траекторий в фазовом пространстве. В фазовом пространстве системы такому поведению соответствует аттрактор. Аттрактор (attractor) в переводе с английского означает "притягиватель"; в данном случае это множество траекторий в фазовом пространстве, к которым притягиваются все остальные траектории из некоторой окрестности аттрактора, называемой также бассейном притяжения. Образ динамического хаоса связан со странными аттракторами. Следующий этап развития динамической теории стимулировался проблемами теории турбулентности. Ее началом явилась работа Э.Лоренца. Значение этой работы было понято после появления статьи Д.Рюэля и Ф.Такенса, опубликованной в 1971 году. В ней был введен новый математический образ сложного движения в нелинейных диссипативных системах – странный аттрактор. Термин «странный аттрактор» был введен в работе Рюэля и Такенса [1] в 1971 г., но вся проблематика не пользовалась большой популярностью у исследователей, занимавшихся анализом конкретных динамических систем. Положение радикально изменилось, когда концепция «странного аттрактора» была связана с моделью, открытой и численно исследованной известным американским метеорологом Е.Н.Лоренцем. И возникли надежды на то, что явления типа возникновения турбулентности могут быть объяснены с помощью концепции «странного аттрактора». Слово «странный» подчеркивает два свойства аттрактора: аттрактор имеет сложную геометрическую структуру; индивидуальные фазовые траектории на аттракторе экспоненциально - неустойчивы. Странные аттракторы наблюдался также во многих других системах, например в отображении окружности, логистическом отображении, отображении Хенона и т.д. Отличительная особенность странных аттракторов состоит в наличии свойства масштабной инвариантности, выражающегося в повторяемости их структуры на все более мелких масштабах. Как было сказано, термин "странный" используется, чтобы подчеркнуть необычность свойств аттрактора, соответствующего хаотическому поведению. Причиной нерегулярности поведения является свойство нелинейных систем экспоненциально быстро разводить первоначально близкие траектории в ограниченной области фазового пространства. Предсказать поведения траекторий хаотических систем на длительное время невозможно, поскольку чувствительность к начальным условиям высока, а начальные условия, как в физических экспериментах, так и при компьютерном моделировании, можно задать лишь с конечной точностью [12]. Любую систему можно представить как динамическую. Абстрагируясь от конкретной физической природы объекта можно указать такой набор величин, называемых динамическими переменными и характеризующих состояние системы, что их значения в любой последующий момент времени получаются из исходного набора по определенному правилу. Это правило задает оператор эволюции системы. Изменение состояния системы во времени (ее динамика) отвечает движению изображающей точки по определенной кривой -- фазовой траектории. Если состояние системы задается набором N величин, динамику можно представить как движение точки по траектории в N-мерном фазовом пространстве. Выделяют 2 класса динамических систем -консервативные (например, механические колебательные системы в отсутствие трения) и диссипативные. Для диссипативных систем характерно то, что режим динамики, возникающий в системе, предоставленной себе в течение длительного времени, становится не зависящим от начального состояния. Для таких систем характерно, что с течением времени облако изображающих точек "съеживается" и концентрируется в итоге на одном или нескольких аттракторах. Таким образом, множество точек в фазовом пространстве диссипативной системы, посещаемых в установившемся режиме, называется аттрактором. Простые примеры аттракторов -- устойчивое состояние равновесия и предельный цикл, отвечающий режиму периодически автоколебаний (замкнутая фазовая траектория, к которой приближаются все соседние траектории). Достижением теории динамических систем стало открытие хаотической динамики. Возникновение хаоса кажется на первый взгляд несовместимым с определением динамической системы, подразумевающим возможность однозначного предсказания конечного состояния по исходному. На самом деле в хаотическом режиме сколь угодно малая неточность в задании начального состояния системы быстро нарастает во времени, так что предсказуемость становится недостижимой на достаточно больших интервалах времени. Такого рода режимы характеризуются нерегулярным, хаотическим изменением динамических переменных во времени. В фазовом пространстве диссипативных систем им отвечают странные аттракторы -- сложно устроенные множества, демонстрирующие все более тонкую структуру на разных уровнях ее разрешения (фракталы). Таким образом хаос от случайности отличается тем, что он имеет внутренний порядок. А динамический хаос это – хаос который реализуется в динамических системах. а б в =0.15; b=0.9 (а); =3.0; b=1 (б); 3) =1.1; b=2 Рис.1.- Странный аттрактор системы Лоренца для «классического» набора параметров (в) Рис.2.- Фазовый портрет генератора Ван-дер-Поля Литература 1. Кузнецов С.П. Динамический хаос. – М.: Наука,2001 2. Анищенко В.С. Сложные колебания в простых системах. – М.:Наука,1990 ЛЕКЦИЯ №3. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ЭФФЕКТЫ К КОТОРЫМ ПРИВОДИТ НЕЛИНЕЙНОСТЬ. Цель данной лекции - обсудить на качественном уровне некоторые весьма общие конкретные эффекты, посредством которых может проявлять себя нелинейность — неизохронностъ, ангармоничность, мулътистабильностъ, автоколебания, динамический хаос. Как было отмечено в предыдущих лекциях, особенность нелинейных систем состоит в том, что в них колебания разной амплитуды могут быть существенно различными по своим характеристикам, например, по виду зависимостей динамических переменных от времени. Одно из распространенных проявлений нелинейности состоит в том, что период колебаний оказывается зависящим от амплитуды. Это свойство многих нелинейных колебательных систем называют неизохронностъю. Говорят, что Галилей обнаружил постоянство периода колебаний маятника, наблюдая колебания люстры в соборе во время церковной службы и используя для измерения времени собственный пульс. Это послужило толчком к изобретению маятниковых часов. Позднее выяснилось, что на самом деле период колебаний маятника зависит от амплитуды, и его можно считать практически постоянным только при углах отклонения малых в сравнении π . В самом деле, момент возвращающей силы зависит от угла отклонения по закону синуса (рис. 1), но при малых углах эта зависимость хорошо аппроксимируется линейной. (б) (а) (в) (г) Рис.1. - Маятник как пример неизохронной колебательной системы - определение основных параметров (а), - зависимость момента возвращающей силы от угла отклонения (б), - зависимость периода колебаний от амплитуды — угла максимального отклонения (в), - иллюстрация колебаний с отклонением на большой угол (г). В этом же приближении постоянными будут частота и период колебаний. С увеличением угла отклонения, возвращающая сила становится меньше той, какой она была бы в случае линейной зависимости. Следовательно, при движении маятника от крайнего положения скорость будет нарастать медленнее, чем это имело бы место для линейной системы, и время, через которое он достигнет нижней точки, оказывается несколько большим. Сказанное становится особенно очевидным, если представить себе колебания такой амплитуды, что в крайней точке маятник почти достигает вертикального положения, с грузом наверху (рис.1 г). В этом состоянии, близком к неустойчивому равновесию, он как бы замирает, поскольку момент возвращающей силы очень мал, после чего начинает медленно разгоняться с тем, чтобы проскочить нижнюю точку, снова достигнуть наибольшего отклонения, но уже в другую сторону, и так далее. За амплитуду колебаний естественно принять угол максимального отклонения маятника при колебаниях. Зависимость периода колебаний от амплитуды будет выглядеть как показано на рис.1 в. Когда величина угла приближается к π, период стремится к бесконечности. В качестве примера можно рассматривать мячик, прыгающий вверх-вниз на горизонтальной поверхности, причем удар предполагается идеально упругим, частица, совершающая одномерное движение между двумя упругими стенками, расположенными на расстоянии L друг от друга. Движение планеты по орбите вокруг Солнца тоже можно рассматривать как пример неизохронного колебательного процесса. Ангармоничность колебаний и генерация гармоник Как известно, в линейном консервативном осцилляторе, описываемом уравнением (1) изменение во времени динамической переменной синусоидальному, или гармоническому закону: происходит по (2) В нелинейной системе, совершающей периодические колебания, их форма обычно отличается от синусоиды. Такие колебания называют ангармоническими. На рис. 2. показан вид временных зависимостей угла отклонения маятника при разной амплитуде колебаний. При малой амплитуде колебания близки к гармоническим. Это естественно, поскольку при малых углах отклонения маятник приближенно сводится к линейному осциллятору (1). Однако при больших амплитудах форма колебаний становится заметно отличной от синусоиды, т.е. колебания оказываются ангармоническими. «Глазомерный» способ различать гармонические и ангармонические колебания, конечно же, несовершенен. Чтобы придать этому различию более глубокий смысл и количественный аспект, необходимо обратиться к спектральному представлению колебаний. Известно, что любую разумную с физической точки зрения периодическую функцию можно разложить в ряд Фурье. Пусть x(t) — функция периода Т, тогда (3) где (4) Для того чтобы в любой момент t величина x(t) была действительной, коэффициенты разложения должны, очевидно, удовлетворять условию (5) где звездочка обозначает комплексное сопряжение. Если мы сгруппируем члены ряда (3) по парам, отвечающим одинаковым по абсолютной величине значениям индекса m , то разложение Фурье можно записать в виде: (6) Рис. 2. Слева — зависимости угловой координаты маятника от времени при начальном отклонении, соответственно, х0=1 (а), 2 (б) и 3(в), указаны числовые значения коэффициента нелинейных искажений. Справа — соответствующие спектры, где по оси ординат использован логарифмический масштаб, и амплитуды гармоник даны в децибелах. Цифрами обозначены номера гармоник, обратите внимание, что присутствуют только нечетные гармоники. Графики получены путем численного решения уравнения динамики маятника на компьютере. Автоколебания Одним из замечательных и нетривиальных проявлений нелинейности служит такой феномен как автоколебания. Это самопроизвольно возникающий в некоторых диссипативных системах колебательный процесс, характеристики которого определяются свойствами самой системы и не зависят от конкретных начальных условий. Классический пример автоколебательной системы электронный генератор, схематически изображенный на рис.3. Рис. 3. (а) Схема электронного генератора; (б) график зависимости от квадрата амплитуды мощности энергетических потерь в контуре (прямая линия) и поступления энергии от усилителя (кривая линия). Точка пересечения определяет установившуюся амплитуду автоколебаний. Схема содержит колебательный контур, в котором имеются потери энергии. При наличии в контуре колебаний, за счет электромагнитной индукции возникает переменное напряжение на катушке связи, и это напряжение подается на вход электронного усилителя (конкретная природа усилителя непринципиальна, он может быть реализован на электронной лампе, как в исторически первых версиях устройства, или на транзисторах). Сигнал, полученный на выходе усилителя, подается вновь в колебательный контур так, чтобы способствовать раскачке присутствующих там колебаний: схема построена так, что реализуется, как говорят положительная обратная связь. Если коэффициент усиления достаточно велик, то колебания малой амплитуды в контуре будут раскачиваться. По мере увеличения амплитуды будут нарастать и потери энергии за счет диссипации, так что в конце концов средняя за период колебаний мощность потерь достигнет уровня мощности, поступающей в контур от усилителя. Это приведет к стабилизации амплитуды на определенном уровне, и в системе будет протекать самоподдерживающийся колебательный процесс — до тех пор, пока функционирует усилитель. Энергия необходимая для поддержания процесса черпается из неколебательного источника, а именно, из батареи или внешней сети, питающей усилитель. Автоколебательный процесс — всегда принципиально нелинейный феномен. ЛЕКЦИЯ №4. СЦЕНАРИИ ПЕРЕХОДА К ХАОСУ. Цель данной лекции - познакомить учащихся механизмами перехода к хаосу. Детально обсудить переходы к хаосу через перемежаемость и через удвоения периода. Реализации и проекции аттракторов при g 0.6, D 0, 1 Бифуркационные диаграммы теоретическая экспериментальная На этих рисунках показаны переход к хаосу через удвоения периода и бифуркационная диаграмма для генератора хаоса. Лекция № 5,6. ТЕОРИЯ ГЕНЕРАТОРА ДИНАМИЧЕСКОГО ХАОСА С ФАЗОВЫМ УПРАВЛЕНИЕМ 5.1. Винеровские процессы и броуновское движение. Начало исследования броунского движения датируется 1827 годом, когда шотландский ботаник Роберт Броун обнаружил, что маленькие частицы, взвешенные в жидкости, совершают непрерывное беспорядочное движение. В 1905 году Альберт Эйнштейн объяснил это движение хаотическими столкновениями с молекулами окружающей среды. Жану Перрену пришла однажды в голову блестящая идея сравнить броуновское движение с непрерывными недифференцируемыми кривыми. Идея Перрена послужило источником вдохновения для юного Норберта Винера. Норберт Винер в 1923 году построил первую удовлетворительную теорию с математической точки зрения модель выборочных реализаций и доказал их непрерывность. На сегодняшний день по этому предмету имеется обширная литература. Строгое описание броуновского движения можно найти в работах [59-60]. Снизу на рисунке показано броуновское движение молекул гуммигута. В разделе 1.1 было дано определения самоподобным и самоаффинным фракталам. Типичным примером самоподобных фракталов является траектория броуновской частицы, движущейся в однородной среде. В этом случае координатные оси равноправные, коэффициенты подобия по всем направлениям одинаковы. В то же время зависимость координаты броуновской частицы от времени представляет собой самоаффинную фрактальную кривую, т.к. перемещение частицы зависит от времени нелинейным образом и коэффициенты подобия по координате и времени различные. Рисунок 3.3.1 -Броуновское движение трёх частиц гуммигута в воде (по Перрену). Точками отмечены положения частиц через каждые 30 с. Радиус частиц 0,52 мкм, расстояния между делениями сетки 3,4 мкм. Простейшей дискретной аппроксимацией броуновского движения служит одномерное случайное блуждание. В этом случае частица первоначально располагается в точке на прямой. Частица совершает единичный шаг вправо и влево в зависимости от случайного выбора, например бросания монеты. Случайное блуждание происходит итеративно. Для каждого положим (5.1) Более точным приближением к реальному броуновскому движению является замена шагов случайными величинами , имеющими гауссовское, или нормальное распределение. После первого шага частица находится в положении, а после шагов – в положении (5.2) На рисунке 5.1 изображена типичная реализация гауссовского случайного блуждания. Рисунок 5.1 – График гауссовского случайного блуждания Чтобы дать определение броуновскому движению, нужно прежде всего дать определение гауссовскому случайному процессу. Случайный процесс называется гауссовским, если для каждого конечного набора моментов времени вектор имеет гауссовское распределение. 5.2 Фрактальное броуновское движение и показатель Херста. Временные последовательности измерений таких величин, как температура, сток рек, количество осадков или толщина колец деревьев, можно исследовать с помощью метода нормированного размаха, или метода Херста. Такие последовательности измерений характеризуются показателем Н, показателем Херста. Все стационарные процессы можно разделить на 3 группы: детерминированные, случайные и хаотические детерминированные (динамические), занимающие промежуточное положение между первыми двумя. На верхнем графике рисунка 5.2 мы видим пример такого процесса. Это так называемый «логистический» процесс. Внешне он похож на случайный, расположенный на нижнем графике рисунка 5.2, но, в отличие от случайного, подчиняется известному закону управления. Использование стандартных статистических методов, таких как автокорреляционный анализ, не позволяет разделить эти процессы. Всё выше перечисленное заставило обратиться к не столь широко распространенному методу анализа как статистика Хёрста. Рисунок 5.2 - Логистический и случайный сигналы: автокорреляционная функция Вычисление показателя Хёрста производится по следующей схеме: 1. Сначала вычисляются отклонения от среднего значения: (1) где N – длина периода, меняющаяся от 2 до <длины временного ряда>; t – переменная, меняющая своё значение от 1 до N – 1; MN – среднее N элементов; e – конкретный элемент временного ряда. 2. На каждой итерации мы получаем N – 1 значений Хt,n , которые мы используем в следующей формуле: (2) где R – размах отклонения Х. 3. Далее мы нормируем размах делением на стандартное отклонение S, которое вычисляется по N значениям. 4. Логарифмируем R/S и N и строим на основании полученных данных график. 5. По графику функции log(R/S) от log(N) находим наклон путём линейной аппроксимации. Тангенс угла этого наклона и является показателем Хёрста. Как обнаружил Херст, для многих временных рядов наблюдаемый нормированный размах R/S очень хорошо описывается эмпирическим соотношением: R S 2 H На рисунке 5.3 показаны различные фрактальные сигналы и соответствующие показатели Херста. Рисунок 5.3 - Типовые реализации фрактальных временных рядов наблюдений c H=0.1; H=0.5; H=0.9 и белого шума с нормальным распределением Имеются три различных классификации для показателя Херста: 1) Н=0.5. Указывает на случайный ряд. События случайны и некоррелированны. Настоящее не влияет на будущее. Функция плотности вероятности может быть нормальной кривой, однако, это не обязательное условие. R/S-анализ может классифицировать произвольный ряд, безотносительно к тому, какой вид распределения ему соответствует. 2) 0≤Н<0.5. Данный диапазон соответствует антиперсистентным, или эргодическим, рядам. Такой тип системы часто называют – «возврат к среднему». Если система демонстрирует «рост» в предыдущий период, то, скорее всего, в следующем периоде начнется спад. И наоборот, если шло снижение, то вероятен близкий подъем. Устойчивость такого антиперсистентного поведения зависит от того, насколько Н близко к нулю. Такой ряд более изменчив, чем ряд случайный, так как состоит из частых реверсов спад-подъем. 3) 0.5<Н<1.0. Имеем персистентные, или трендоустойчивые ряды. Если ряд возрастает (убывает) в предыдущий период, то, вероятно, что он будет сохранять эту тенденцию какое-то время в будущем. Чем ближе Н к 0.5, тем более зашумлен ряд и тем менее выражен его тренд. Персистентный ряд – это обобщенное броуновское движение, или смещенные случайные блуждания. Сила этого смещения зависит от того, насколько Н больше 0.5. Лекция № 7,8. ПРИНЦИПИАЛЬНАЯ СХЕМА И УРАВНЕНИЕ ГЕНЕРАТОРА ДИНАМИЧЕСКОГО ХАОСА С ФАЗОВЫМ УПРАВЛЕНИЕМ Цель данной лекции – На лекции излогается актуальность данного вопроса, рассматривается теория генератора динамического хаоса Анищенко-Астахова и недостатки этого генератора. Затем рассматривается генератор динамического хаоса с фазовым управлением. В настоящее время ведутся интенсивные исследования по созданию новых систем связи, основанных на использовании свойств динамического хаоса. Одной из ключевых проблем этого направления является проблема создания эффективных источников хаотических автоколебаний, способных обеспечивать надежную генерацию хаотических колебаний в большом диапазоне изменения характеристик (сверхвысокая частота, широкополосность, фрактальность и.т.д). Известен генератор динамического хаоса Анищенко-Астахова - модифицированный нелинейный генератор с инерционной нелинейностью состоит из селективного элемента (колебательный контур или мост Вина), двух усилителей и цепи положительной обратной связи с инерционным преобразователем. На рис.7.1 показаны блок схемы данного генератора. a b Рисунок 7.1 - Модифицированная схема генератора с инерционной нелинейностью Анищенко-Астахова (a), Схема RC-генератора с инерционной нелинейностью (b). В этом генераторе сигналы разной сложности и степени хаотичности получают при условии, когда параметр инерционности нелинейного преобразователя g<1. Здесь g = to/tf, to – период основной частоты селективного контура, tf = RfCf - постоянная времени фильтра нелинейного преобразователя. Недостатками генератора такого типа являются: узкая полоса частотного спектра и ограниченная возможность управления структурными характеристиками, перемежаемостью в виде большей скважености выходного сигнала. В этом генераторе при получается простые периодические, регулярные сигналы. Рисунок 7.2 – простые периодические сигналы в генераторе Анищенко-Астахова при . Актуальным является разработка и создание радиоэлектронного генератора, позволяющего получать сигналы динамического хаоса с широким спектром и управлять структурными характеристиками генерируемых автоколебаний. В работах [1,2] был предложен генератор динамического хаоса с регулируемой структурой, в качестве базовой схемы для которого послужил генератор с инерционной нелинейностью Анищенко – Астахова [3]. Принципиальная схема полученного генератора хаоса представлена на рис.7.3 А1, А2 – усилители, M1 – умножитель, СК – селективный LC контур, НП – нелинейный преобразователь. Рисунок 7.3 – Блок-схема генератора динамического хаоса Уравнение для тока в контуре генератора записывается в виде dI R0 1 I dt L0 L0 C0 dI I MG dt dt 0, (1) где L0 – индуктивность, R0 – сопротивление, C0 – емкость конденсатора, M – взаимная индуктивность, G – крутизна усилителя в цепи обратной связи, t – время. Примем обозначения: 1 I dx 2 w0 , w0 t , x , x , y - x d . L0 C0 w0 d (2) Тогда уравнение (1) в безразмерной форме запишется в виде R0 x w0 MG L 0 w0 y - x. x y , Крутизну усилителя представим в виде: (3) -gV f (x), V V( ), G G0 - V, V (4) где f(х) – произвольная функция от х. С учетом (4) система (3) после соответствующих обозначений принимает вид: x ( m - z ) x y , y - x, z g ( x 2 ( x ) - z ), 1, x 0 ( x) 0, x 0. (5) По смыслу m– параметр усиления сигнала селективного элемента, - отношение периода круговой частоты селективного элемента к постоянной времени RfCf-фильтра нелинейного преобразователя. Система (5) совпадает с системой уравнений Анищенко-Астахова без учета параметра инерционности. В рассматриваемой нами задаче нелинейный преобразователь должен быть именно малоинерционным ( g >),1a при выборе моделей (4) не была учтена инерционность преобразователя. Мы можем учесть дополнительный ток создаваемый нелинейным преобразователем, моделировав нелинейный преобразователь так, как моделировали крутизну усилителя. Чтобы получить динамический хаос в случаяхg > 1 необходимо учесть свойство неизохронности нелинейных колебаний, т.е. зависимость частоты собственных колебаний от амплитуды: [4]. Это означает, что в исходном уравнении (1) множитель 1 / L0 C 0 при I , или при y в (3), должен быть заменен, согласно обычной форме записи модулированного выражения, на множитель 1 / L0 C0 (1 A cos ( )) 1 / LC Такое моделирование автомодуляции комплекса параметров LC наиболее простым образом описывает возрастание собственной частоты колебательного контура через влияние амплитуды его колебаний и фазы колебаний нелинейного преобразователя. Коэффициент A имеет смысл глубины модуляции: w0 = w0 ( x) xmax - xmin A , xmax xmin (6) Где xmax , xmin - максимальная и минимальная амплитуды колебаний селективного элемента. Уравнение для фазы модуляции получим из условия синхронизации колебаний селективного элемента и нелинейного преобразователя на гармониках и субгармониках: ng m0 g (6) где m, n – целые числа. Представляя левую часть формулы (6) как производную разности фаз, имеем: g sign (x) (7) С учетом этих рассуждений систему (5) запишем в виде dx Y (m z )( x z ) dt (1 A cos ) dy x dt dz g ( Hev ( x) x 2 z ) dt (8) d gsign ( x) dt Экспериментальные реализации системы (8) могут быть получены различными способами. Основной специфический фактор – малая инерционность нелинейного преобразователя (g >1) можно непосредственно реализовать. Требование фазовой синхронизации между х(τ) и z(τ) учитывается дополнительной схемой. При этом необходимо согласовать напряжения сигналов х(τ) и z(τ), т.е. при моделировании крутизны усилителя учесть дополнительный ток, создаваемый нелинейным преобразователем при наличии дополнительной схемы. Чтобы получить динамический хаос в случаях g>1 необходимо учесть свойство неизохронности нелинейных колебаний, т.е. зависимость частоты собственных колебаний от амплитуды: f1 f5 f4 f2 Рис.7.4. Неизохронность высокочастотной части колебаний в структурах: g=2,0; f1>f2>f3>f4>f5. В пунктах 5.1 и 5.2 было сказано о винеровских случайных процессах, о законе Эйнштейна, показателя Херста. Учитывая это мы можем заисать следующее: 9 где, D – коэффицент диффузии. Как следует из (17) коэффицент диффузии подчиняется соотношению Эйнштейна: 10 Для обычного броуновского движения приращение координаты броуновской частицы определяется выражением: 11 Отсюда следует, что размах при запаздывании также является случайной функцией, которая подчиняется закону подобия 12 Уравнения, описывающие модель генератора: dx Y (m z )( x z ) dt F ( ) nx dy x dt dz gF ( ) nz ( Hev ( x) x 2 z ) dt d gF ( ) nz sign ( x) dt где 1 , если x 0 ( x) 0 , если x 0 1 , если x 0 sign( x ) 0 , если x 0 -1 , если x 0 Литература 1. Жанабаев З.Ж., Тарасов С.Б., Кадыракунов К.Б., Алмасбеков Н.Е., Кызгарина М.Т., Манапбаева А.В. Генератор сверхширокополосных хаотических сигналов с регулируемой базой. XIII межд.н.т.конф. «Радиолокация, навигация, связь». Воронеж, 2007, с 1954-1959. 2. Жанабаев З.Ж., Тарасов С.Б., Кадыракунов К.Б., Алмасбеков Н.Е. Экспериментальное получение и исследование перемежаемых сигналов // Вестник КазНУ. Серия физ. – 2005. – 1(19). – С.149-153. 3. Анищенко В.С., Астахов В.В. и др. Нелинейные эффекты в хаотических и стохастических системах. Москва-Ижевск: ИКИ. - 2003.-544 с. 4. Темирбаев А. Исследование генератора динамического хаоса с фазовым управлением //Мат. междунар. конг. студ., магистр. и мол. уч. «Мир науки». – Алматы, 2009. - С.137. Лекция № 9. ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ГЕНЕРАТОРА ДИНАМИЧЕСКОГО ХАОСА С ФАЗОВЫМ УПРАВЛЕНИЕМ 9.1 Передача и защита информации. В большинстве современных систем связи в качестве носителя информации используются гармонические колебания. Информационный сигнал в передатчике модулирует эти колебания по амплитуде, частоте или фазе, а в приемнике информация выделяется с помощью обратной операции - демодуляции. Модуляция носителя может осуществляться либо за счет модуляции уже сформированных гармонических колебаний, либо путем управления параметрами генератора в процессе формирования колебаний. Аналогичным образом можно производить модуляцию хаотического сигнала информационным сигналом. Однако возможности здесь значительно шире. Действительно, если в случае гармонических сигналов управляемых характеристик - всего три (амплитуда, фаза и частота), то в случае хаотических колебаний даже небольшое изменение параметра дает надежно фиксируемое изменение характера колебаний. Это означает, что у источников хаоса с изменяемыми параметрами имеется широкий набор схем ввода информационного сигнала в хаотический (то есть модуляции хаотического сигнала информационным). Кроме того, хаотические сигналы принципиально являются широкополосными, интерес к которым в радиотехнике традиционен и связан с большей информационной емкостью. Рисунок 9.1- Источник хаоса, состоящий из нелинейной и линейной систем, замкнутых в кольцо обратной связи. Справа: внешний вид платы электронной схемы (вверху) и фазовый портрет хаотического аттрактора (внизу). Даже небольшие изменения параметров элементов электронной схемы приводят к существенному изменению характера хаотических колебаний. В последнее время в связи с развитием спутниковых, мобильных, сотовых и волоконно-оптических многопользовательских коммуникационных систем большое внимание привлекают сигналы с расширением спектра, где полоса частот передаваемого сигнала может быть значительно шире полосы частот информационного сигнала. Шумоподобность и самосинхронизируемость систем, основанных на хаосе, дают им потенциальные преимущества над традиционными системами с расширением спектра, базирующимися на псевдослучайных последовательностях. Сфера применения хаотических сигналов не ограничивается системами с расширением спектра. Они могут быть использованы для маскировки передаваемой информации и без расширения спектра, то есть при совпадении полосы частот информационного и передаваемого сигналов. Все это стимулировало активные исследования хаотических коммуникационных систем. К настоящему времени на основе хаоса предложено несколько подходов для расширения спектра информационных сигналов, построения самосинхронизующихся приемников и развития простых архитектур передатчиков и приемников. Идея большинства предложенных решений базируется на синхронизации "ведомой системой" (приемником) исходного невозмущенного хаотического сигнала, генерируемого "ведущей системой" (передатчиком). С помощью таких схем связи может передаваться как аналоговая, так и цифровая информация с различными скоростями информационных потоков и разной степенью конфиденциальности. Еще одним потенциальным достоинством схем связи с использованием хаоса является возможность реализации новых методов разделения каналов, что особенно важно в многопользовательских коммуникационных системах. Рисунок 9.2 - Пример схемы связи с использованием хаоса. Передатчик и приемник включают в себя такие же нелинейные и линейные системы, как источник. Дополнительно в передатчик включен сумматор, а в приемник - вычитатель. В сумматоре производится сложение хаотического сигнала источника и информационного сигнала, а вычитатель приемника предназначен для выделения информационного сигнала. Сигнал в канале хаосоподобный и не содержит видимых признаков передаваемой информации, что позволяет передавать конфиденциальную информацию. Сигналы в точках A и A', B и B' попарно равны. Поэтому при наличии входного информационного сигнала S на входе сумматора передатчика такой же сигнал будет выделяться на выходе вычитателя приемника Если до недавнего времени проблема конфиденциальности передачи информации и более широкая проблема защиты информации относились в основном к военным и специальным применениям, то теперь все важнее становится рынок гражданских приложений. Примерами могут служить защита коммерческой информации в компьютерах и компьютерных сетях, безопасность электронных платежей, защита от пиратского копирования CD-ROM, музыкальных и видеодисков, защита от копирования музыкальной, видео- и другой информации, распространяемой по компьютерным сетям, Интернет-телефония и пр. (а) исходная фотография; (б) признаки исходного изображения отсутствуют; (в) фотография искажена до неприемлемого для потребителя уровня, но собака на ней ясно видна. Рисунок 9.3 - Пример изображения с разной степенью деградации в результате хаотического кодирования Еще одно из практических применений динамического хаоса в информационных системах является кодирование сигнала. В 1998 году Рой (Roy) и ван Виггерен (Van Wiggeren) из Технологического института штата Джорджия продемонстрировали использование хаотических колебаний для кодирования информации при передаче от лазерапередатчика к лазеру-приемнику через волоконно-оптический кабель. Рисунок 9.4 – Передача кодированного сигнала 9.2 СВЧ-системы связи с применением хаоса. Динамический хаос обладает совокупностью свойств, привлекательных для передачи информации по радиоканалам. Кроме упоминавшейся выше возможности организации конфиденциальной связи, к ним следует отнести потенциально высокие скорости передачи информации и устойчивость систем связи на широкополосных хаотических сигналах к многолучевому распространению. К настоящему времени на основе хаоса предложено несколько подходов для расширения спектра информационных сигналов и построения передатчиков и приемников с простой архитектурой. Рисунок 9.5 - Так выглядят сигналы на экране осциллографа при сверхширокополосной прямохаотической передаче информации. Голубым цветом показан исходный информационный сигнал. Желтым - поток хаотических радиоимпульсов на входе приемника. Скорость передачи 100 Мбит/с.
