Колебания Гармонические колебания Математический маятник Физический маятник Колебания Колебания - это любой физический процесс, характеризующийся повторяемостью во времени. В процессе колебаний значения физических величин, определяющих состояние системы, повторяются. Колебания Колебания называются периодическими, если значения изменяющихся физических величин повторяются через равные промежутки времени. Время, за которое происходит одно полное колебание, называется периодом колебаний. Колебания Число полных колебаний n , совершаемых за единицу времени, называется частотой колебаний этой величины и обозначается через . Период и частота колебаний связаны соотношением : 1 T Колебания Любое колебание обусловлено тем или иным воздействием на колеблющуюся систему. В зависимости от характера воздействия, вызывающего колебания, различают следующие виды периодических колебаний: свободные, вынужденные, автоколебания, параметрические. Колебания Свободные колебания — это колебания, происходящие в системе, предоставленной самой себе, после выведения ее из состояния равновесия. Свободные колебания могут быть гармоническими и затухающими. Вынужденные колебания — это колебания, обусловленные внешним периодическим воздействием. Колебания Автоколебания —вынужденные колебания, при которых моменты внешнего воздействия задает сама система. Параметрические колебания — это колебания, в процессе которых происходит периодическое изменение какого-либо параметра системы Малые (гармонические) колебания Рассмотрим колеблющуюся систему с одной степенью свободы – материальная точка совершает колебания вдоль оси около точки x 0 . x m 0 x Гармонические колебания Разложим потенциальную энергию частицы, колеблющейся около начала координат, в ряд 1 2 U ( x) U (0) U (0) x U (0) x 2! Так как точка равновесия, то 0 - точка устойчивого U (0) min, U (0) 0. Гармонические колебания Для минимума функции U (0) 0, U (0) k 0 , 1 2 U ( x) U (0) kx . 2 Если потенциальную энергию отсчитывать от положения равновесия, то 1 2 U (0) 0, U ( x) kx . 2 Гармонические колебания Воспользуемся связью потенциальной энергии с силой U ( x) Fx . x Подставим выражение для потенциальной энергии, получим Fx kx. Гармонические колебания Силы, пропорциональные смещению и стремящиеся вернуть систему в положение равновесия, называются квазиупругими силами. Динамическое уравнение движения для колеблющейся системы запишется в виде .. m x kx; .. m x kx 0. Динамическое уравнение гармонических колебаний Преобразуем уравнение .. k x x 0. m k 2 0 . m Введем обозначение Динамическое уравнение приобретает вид: .. 2 x 0 x 0. Кинематическое уравнение гармонических колебаний Решением динамического уравнения является функция x(t ) A cos(0t 0 ). А – амплитуда колебания, 0 - циклическая частота , 0t 0 - фаза колебания, 0 - начальная фаза колебания . Гармонические колебания Таким образом, гармонические колебания – это колебания, происходящие по закону косинуса или синуса под действием квазиупругих сил. x(t ) A cos(0t 0 ). Fx kx. Скорость при гармонических колебаниях По кинематическому закону колебаний гармонических x A cos( 0 t 0 ) найдем скорость . x x 0 A sin(0t 0 ) 0 A cos(0t 0 ). 2 Колебания скорости опережают колебания смещения по фазе на . 2 Ускорение при гармонических колебаниях Найдем ускорение .. 2 wx x 0 A cos(0t 0 ) 2 0 A cos(0t 0 ). Колебания ускорения опережают колебания смещения на , то есть происходят в противофазе. Гармонические колебания Графики координаты x(t), скорости υ(t) и ускорения w(t) тела, совершающего гармонические колебания. . Начальные условия Амплитуда и начальная фаза свободных гармонических колебаний зависят от начальных условий – параметров состояния в начальный момент времени: от x0 и 0 . Положив t 0 , из формул x(t ) A cos(0t 0 ), x 0 A sin( 0t 0 ) получим : Начальные условия 0 0 A sin 0 x0 A cos 0 x 02 A 2 cos 2 0 2 0 2 2 A sin 0 2 0 x02 A 2 cos 2 0 2 0 02 A 2 sin 2 0 2 A x0 tg 0 0 0 2 0 2. x00 . Закон сохранения энергии при гармонических колебаниях Квазиупругие силы являются силами консервативными, следовательно, при гармонических колебаниях механическая энергия сохраняется. В процессе колебаний осуществляется непрерывный переход кинетической энергии в потенциальную и потенциальной в кинетическую. Закон сохранения энергии при гармонических колебаниях При гармонических колебаниях кинетическая энергия меняется по закону m x 2 1 2 2 2 K mA 0 sin (0t 0 ). 2 2 Потенциальная – по закону kx 2 1 2 U kA cos 2 (0t 0 ). 2 2 Закон сохранения энергии при гармонических колебаниях В любой момент времени полная энергия равна: 1 2 2 K U mA 0 sin 2 (0t 0 ) + 2 1 2 1 2 1 2 kA cos (0t 0 ) = kA = m02 A2 . 2 2 2 Математический маятник Математический маятник представляет собой материальную точку, подвешенную на невесомой и нерастяжимой нити. Реальным приближением к математическому маятнику может служить небольшой шарик, подвешенный на тонкой длинной нити. Математический маятник В соответствии с динамическим уравнением вращательного движения d z I Mz, dt I z M z. Математический маятник Для рассматриваемой системы 0 I ml , 2 M z mgl sin . Следовательно уравнение движения имеет вид: ml mgl sin . 2 l T mg Математический маятник Для малых углов g 0 l g Введя обозначение получим l 0 2 0 2 0 , Математический маятник Решением этого уравнения является функция (t ) A cos 0 t 0 - кинематическое уравнение гармонических колебаний математического маятника. Математический маятник Период этих колебаний 2 l T 2 0 g Частота 1 1 T 2 g l Физический маятник Физический маятник представляет собой твёрдое тело, совершающее под действием силы тяжести N колебания вокруг 0 неподвижной точки или оси. (Исключением является центра масс и ось, проходящая через центр масс). l lпр 0 mg Физический маятник Уравнение колебаний физического маятника аналогично уравнению математического маятника и запишется в виде J mgl 0 a 0, 2 0 где mgl / J 2 0 Физический маятник Период колебаний физического маятника определяется формулой J T 2 mg Физический маятник Математический маятник с приведённой длиной J пр m будет иметь такой же период колебаний как и данный физический. При этом точка 0 будет центром качания физического маятника.