Выполнила: Луфанина Н.И.

Выполнила: Луфанина Н.И.
Математика и музыка
 исследованию музыки посвящали свои






07.05.2016
работы многие величайшие математики:
Рене Декарт,
Готфрид Лейбниц,
Христиан Гольдбах,
Жан д'Аламбер,
Леонард Эйлер,
Даниил Бернулли.
Первый труд Рене Декарта - "Compendium
Musicae" ("Трактат о музыке");
2
Рене Декарт(1596-1650)
 (фр. René Descartes; лат. Renatus
Cartesius — Картезий; 31 марта 1596,
Лаэ (провинция Турень), умер Декарт
(департамент Эндр и Луара) — 11
февраля 1650, Стокгольм)
 французский математик, философ,
физик и физиолог, создатель
аналитической геометрии и
современной алгебраической
символики,
 автор метода радикального
сомнения в философии,
механицизма в физике, предтеча
рефлексологии.
07.05.2016
3
Леонард Эйлер(1707-1783)
 выдающийся математик,
внёсший значительный
вклад в развитие
математики, а также
механики, физики,
астрономии и ряда
прикладных наук.
 По существу именно он
создал несколько новых
математических
дисциплин — теорию
чисел, вариационное
исчисление, теорию
комплексных функций,
дифференциальную
геометрию поверхностей,
специальные
функции.
07.05.2016
4
Лейбниц, Готфрид Вильгельм
(1646-1716)
 немецкий (саксонский)
философ, математик, юрист,
дипломат.
 создал математический
анализ — дифференциальное
и интегральное исчисление
 создал комбинаторику как
науку; только он во всей
истории математики одинаково
свободно работал как с
непрерывным, так и с
дискретным.
07.05.2016
5
Гольдбах, Кристиан(16901764)
 немецкий математик, член и главный учёный секретарь
Российской Академии Наук.
 В истории математики более всего известен проблемой,
которую в 1742 предложил в письме Леонарду Эйлеру
 В математике проблемой Гольдбаха или гипотезой
Гольдбаха называется одна из самых старых, до сих пор
не решённых проблем, которая имеет довольно
простую формулировку:
 Любое чётное число большее двух можно
представить в виде суммы двух простых чисел.
07.05.2016
6
Математика и музыка
 первая крупная работа Леонарда Эйлера -
"Диссертация о звуке". Эта работа 1727 года
начиналась словами: "Моей конечной целью
в этом труде было то, что я стремился
представить музыку как часть математики и
вывести в надлежащем порядке из
правильных оснований все, что может
сделать приятным объединение и
смешивание звуков".
 Лейбниц в письме Гольдбаху пишет:
"Музыка есть скрытое арифметическое
упражнение души, не умеющей считать". И
Гольдбах ему отвечает: "Музыка - это
проявление скрытой математики".
07.05.2016
7
"Музыка - это проявление
скрытой математики".
 в Древней Греции музыка прямо
считалась частью математики, а еще
точнее, разделом теории чисел.
Первым, кто попытался выразить
красоту музыки с помощью чисел,
был Пифагор - тот самый, чьим
именем названа знаменитая теорема.
И в XVII веке французский философ,
физик, математик Марен Мерсенн в
трактате "Истина наук против
скептиков или пирроников" также
рассматривал музыку как отрасль
математики.
Пифагор
М.Марсенн
07.05.2016
8
Звуки и математика
 звуки различаются по высоте, то естественно задать
вопрос: "Насколько один звук выше другого?". Ответ
на него не так прост, как может показаться. Первое,
что приходит в голову - подсчитать разность числа
колебаний, определяющих один и второй звук.
Оказывается, однако, что это число не очень-то и
интересно. Намного важнее не разность частот, а их
отношение. Возьмем две пары звуков: первую - с
частотами 64 и 96 Гц, а вторую - с частотами 512 и 768
Гц. На слух звук с частотой 96 Гц настолько же выше
звука с частотой 64 Гц, насколько звук в 768 Гц выше
звука в 512 Гц. При этом разность между частотами
для первой пары равна 32, а для второй 256.
Отношение же для каждой пары одно и то же и равно
07.05.2016
9
3/2.
Интервалы и математика
 Расстояние между нотами, определяемое
отношением их частот, называется интервалом.
Некоторые, наиболее важные в музыке интервалы
получили свои собственные имена. Так,
отношение частот 3/2 определяет очень важный
интервал квинты, еще более важен интервал
октавы - его образуют две ноты с отношением
частот 2. Две одинаковые по высоте ноты
относятся друг к другу с коэффициентом 1 и
образуют интервал примы.
07.05.2016
10
Математика музыка
 важнейшей особенностью
музыкально-математических
исследований: результаты
применения численных методов
все время должны проверяться
человеческим ухом. Первым, кто в
построении теории музыки отдавал
приоритет слуховым ощущения,
был ученик Аристотеля
Аристоксен. Основателем школы,
ставившей во главу угла
математические соотношения, был
Пифагор. Его же признают
создателем первой музыкальной
теории.
07.05.2016
Пифагор
11
Частота
 Частота, с которой колеблется вся струна целиком,
определяет так называемый основной тон.
Колебания частей струны вызывают появление
обертонов. Самые сильный обертон возникает при
колебаниях 1/2 части струны, слабее 1/3, 1/4, 1/5 и
т.д. Соответственно соотношение частот (или
высот) этих обертонов выглядит так: 1:2:3:4:5:6...
Это так называемый натуральный или
гармонический ряд звуков, и соответствующие
обертоны тоже называются гармоническими.
07.05.2016
12
Гармонический звукоряд и
математика
 Математическое описание этого явления
было дано значительно позже усилиями
д'Аламбера, Эйлера, Даниила Бернулли,
Лагранжа. Прежде всего отметим, что для
описания колебаний точки около
положения равновесия нужна всего одна
переменная x, показывающая на сколько
отклоняется точка от положения
равновесия в момент времени t. В
наиболее простом случае периодических
колебаний с постоянной амплитудой
зависимость x от времени описывается
формулой x = Acoswt, где A - амплитуда,
07.05.2016
а w - частота колебаний (рис. 1 а и 1 б).
13
Рисунки
Если колеблется протяженное тело, например, струна, то нам
потребуется описать колебание каждой точки этого тела, т.е.
функция, описывающая отклонение тела, имеет два аргумента:
координату точки струны и время. Скажем, такая функция может
выражаться следующей формулой:
y = A sin 2пx coswt
¯
l
07.05.2016
14
Рисунки
 Впрочем, формула, описывающая колебательный процесс,
может быть и более сложной, например, такой:
 y = A sin2p l
x coswt+Bsin4p l
07.05.2016
xcos2wt.
15
Ссылки:
 http://exsolver.narod.ru/Artical/Mathemat
/mathmusic.html
 http://ru.wikipedia.org/wiki
 http://go.mail.ru
07.05.2016
16
Спасибо за внимание
07.05.2016
17