Задания контрольной работы для студентов отделения «Математика» по дисциплине «Теория случайных процессов» IV курс 1. Препарат облучается потоком радиоактивных частиц через равные интервалы времени t . Вероятность того, что за время облучения препарат поглотит r радиоактивных частиц, определяется формулой r a r a e . Каждая радиоактивная r! частица, содержащаяся в препарате за время между двумя последовательными обручениями можно распасться с вероятностью q. Определить предельные вероятности числа частиц в препарате. 2. Число Х дефектных изделий в каждой независимой выборке объема N из бесконечно большой партии подчиняется биноминальному закону, т.е. P( X k ) pk CNk p k q N k (k 0,1,..., N , q 1 p . Если при очередной выборке получено r дефектных изделий, то считается, что по условиям приема партия изменила свое предыдущее состояние Q на Q r 1 , причем партия бракуется, если r 1 m , и принимается, когда r 1 0 . Определить вероятность того, что партия будет принята, если начальное состояние партии по условиям приема Q j , j 1,2,..., m 1 . 3. При данной серии выстрелов каждый стрелок группы с равной вероятностью получает любое количество очков от N+1 до N+m. Определить вероятность того, что среди следующих n стрелков из этой группы хотя бы один стрелок получит N+k очков, если наибольше число очков, полученных предыдущими стрелками, равно N+l ( k i 1,2,..., m ). 4. Система может находиться в одном из состояний Q0 , Q1 , Q2 ,..., переходя за время t состояние с номером, на единицу большим, с вероятностью t o(t ) . Найти вероятности Pik (t ) перехода системы из состояния Qi в состояние Qk (k i ) за время t. 5. Система массового обслуживания состоит из m приборов, каждый из которых может обслужить одновременно только одно требование, затрачивая на обслуживание случайное время, распределенное по показательному закону с параметром . В систему поступает простейший поток требований с параметром . Обслуживание требования начинается сразу после его поступления, если в этот момент имеется хотя бы один свободный прибор; в противном случае требование получает отказ и не возвращается в систему. Определить предельную вероятность отказа в обслуживании. 6. Клиенты, обращающиеся в мастерскую бытового обслуживания, образуют простейший поток с параметром . Каждый клиент обслуживается одним мастером в течении случайного времени, подчиняющегося показательному закону с параметром . В случае отсутствия свободных мастеров клиент не ждет, а отказывается от обслуживания. Определить, сколько необходимо иметь мастеров, чтобы вероятность отказа клиенту в немедленном обслуживании не превосходила 0,015, если =. 7. Два стрелка А и В поочередно стреляют по мишеням, причем после каждого попадания стреляет А, а после каждого промаха стреляет В. Право первого выстрела стрелкам предоставляется на тех же условиях по результату предварительного выстрела, который производит наудачу выбранный стрелок. Определить вероятность поражения мишени n - м выстрелом независимо от предыдущих попаданий, если вероятности поражения мишени при каждом выстреле для этих стрелков равны соответственно и . 8. Поток поступления неисправной аппаратуры в мастерскую гарантийного ремонта является простейшим с параметром =10ед./час. Продолжительность ремонта одной единицы является случайной величиной, имеющей показательный закон распределения с параметром =5ед./час. Определить среднее время, проходящее от момента поступления неисправной аппаратуры до начала ремонта, если в мастерской 4 ремонтных рабочих, каждый из которых одновременно ремонтирует только один прибор. 9. Составить уравнение Колмогорова для многомерного марковского процесса, компоненты которого U1 (t ), U 2 (t ),...,U n (t ) удовлетворяют системе дифференциальных уравнений dU j (t ) dt j (t ,U1 ,U 2 ,...,U n ) c j j (t ), j 1,2,..., n , где j - заданные непрерывные функции, c j - заданные постоянные, а j (t ) - независимые случайные функции, обладающие свойством «белого шума», т.е. j (t ) 0, K ( ) ( ) . j 10. Дано, что U(t) – стационарный нормальный процесс,спектральная плотность которого Su ( ) с 2 2 2 2 2 4 2 2 2 , где с, и - постоянные. Показать, что U(t) можно рассматривать как компоненту многомерного марковского процесса, определить число измерений процесса и коэффициенты уравнений Колмогорова для этого процесса. 11. Определить коэффициенты уравнений Колмогорова для многомерного марковского процесса, заданного системой уравнений dU j (t ) dt j (t ,U1 ,U 2 ,...,U n ) Z j (t ), где z j (t ) 0, M Z j (t ) Z l (t ) jl (t ) ( ) j, l 1,2,..., n , а j и jl - заданные непрерывные функции своих аргументов. 12. Определить закон распределения ординаты случайной функции U(t) для момента времени 0 , если x2 dU 2 x (t ), 0, K ( ) ( ), f 0 ( x) 2 e 2 a , U (t ) X , dt 2U a при t = 0 ( x 0 ). 2