VGasp_DGStructuresOnManifolds_2012 (новое окно)

Правительство Российской Федерации
Санкт-Петербургский государственный университет
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях
Differential geometric structures on manifolds
Язык обучения
русский
Трудоемкость в зачетных единицах: 2
Регистрационный номер рабочей программы:
Санкт-Петербург
2012
Раздел 1.
Характеристики учебных занятий
1.1. Цели и задачи учебных занятий.
Дать аспиранту достаточно полное представление об основных дифференциальногеометрических структурах на многообразиях, и их использования при изучении геометрии
дифференциальных уравнений.
1.2. Требования подготовленности обучающегося к освоению содержания учебных
занятий (пререквизиты).
Обучающиеся должны обладать знаниями по геометрии, топологии и алгебре в объеме
стандартных университетских курсов. Более конкретно необходимо знание общей топологии,
основ теории многообразий, линейной алгебры, теории групп и алгебр.
1.3. Перечень результатов обучения (learning outcomes).
Слушатели курса должны овладеть теорией и навыками использования материала курса.
Формируемые компетенции.
ОКА-1: способность применять научный подход в своей профессиональной
деятельности, разделять ценности научно-педагогического сообщества;
ОКА-2: способность работать с текстами профессиональной направленности и
сообщать о результатах своей учебной и научной работы на
английском/иностранном и русском языках;
ОКА-3: способность исполнять обязанности исследователя, в том числе проводить
научные исследования по специальности, разрабатывать и готовить к изданию
научные труды и статьи, обеспечивать обучение в индивидуальном порядке и в
форме семинаров.
1.4. Перечень и объём активных и интерактивных форм учебных занятий.
зачет 2 часа
Раздел 2.
Организация, структура и содержание учебных занятий
2.1. Организация учебных занятий
2.1.1 Основной курс
Трудоёмкость, объёмы учебной работы и наполняемость групп обучающихся
ОСНОВНАЯ ТРАЕКТОРИЯ
очная форма обучения
Трудоёмкость
Объём активных и интерактивных
форм учебных занятий
итоговая аттестация
(сам.раб.)
промежуточная аттестация (сам.раб.)
текущий контроль (сам.раб.)
сам.раб. с использованием
методических материалов
Самостоятельная работа
итоговая аттестация
под руководством
преподавателя
в присутствии
преподавателя
промежуточная
аттестация
текущий контроль
коллоквиумы
контрольные работы
лабораторные работы
консультации
практические
занятия
семинары
Период
обучения
(модуль)
лекции
Контактная работа обучающихся с преподавателем
2 год
обучения
34
2
36
2
ИТОГО
34
2
36
2
Виды, формы и сроки текущего контроля успеваемости и промежуточной аттестации
Виды итоговой
аттестации
Формы текущего
(только для программ
Виды промежуточной
контроля
итоговой
аттестации и
Код модуля в
аттестации
успеваемости
дополнительных
составе
образовательных
дисциплины,
программ)
практики и
Формы
Сроки
Виды
Сроки
Виды
Сроки
т.п.
ОСНОВНАЯ ТРАЕКТОРИЯ
очная форма обучения
зачет, устно,
по графику
традиционная
промежуто
2 год обучения
форма
чной
аттестации
2.2. Структура и содержание учебных занятий
№
Наименование темы (раздела, части)
п/п
1
2
3
Многомерные поверхности.
Тензорные поля и дифференциальные
формы.
Римановы многообразия и
многообразия с линейной связностью.
4
Геометрия символов.
5
Однородные пространства.
6
Инвариантные связности на
однородном пространстве.
7
Однородные римановы многообразия.
8
Однородные симплектические
многообразия.
Элементарная геометрия
дифференциального уравнения первого
порядка.
Контактная геометрия и теория Ли
уравнений первого порядка.
9
10
11
Геометрия распределений.
12
Пространства струй и
Вид учебных занятий
лекция
по методическим материалам
лекция
по методическим материалам
лекция
по методическим материалам
лекция
по методическим материалам
лекция
по методическим материалам
лекция
по методическим материалам
лекция
по методическим материалам
лекция
по методическим материалам
лекция
по методическим материалам
лекция
по методическим материалам
лекция
по методическим материалам
лекция
Количество
часов
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
3
3
13
дифференциальнные уравнения.
Теория совместимости и формальная
интегрируемость.
14
Теория Картана систем в инволюции.
15
Геометрия бесконечно продолженных
уравнений.
Зачет
16
по методическим материалам
лекция
по методическим материалам
лекция
по методическим материалам
лекция
по методическим материалам
промежуточная аттестация
3
3
3
3
3
3
3
2
Тема 1. Многомерные поверхности.
Многомерные поверхности в евклидовом пространстве. Ковариантное
дифференцирование и вторая квадратичная форма. Нормальная связность на поверхности.
Деривационные формулы. Многомерный вариант уравнений Гаусса—Петерсона—
Майнарди—Кодацци. Теорема Риччи. Геометрический смысл и алгебраические свойства
тензора кривизны. Гиперповерхности. Средние кривизны. Формулы Штейнера и Г. Вейля.
Тема 2. Тензорные поля и дифференциальные формы.
Касательные векторы. Касательное расслоение и векторные поля. Ковекторы,
кокасательное расслоение и дифференциальные формы первой степени. Тензоры и
тензорные поля. Поведение тензорных полей при отображениях. Производная Ли. Внешний
дифференциал. Комплекс де Рама.
Тема 3. Римановы многообразия и многообразия с линейной связностью.
Риманова метрика. Построение римановых метрик. Линейные связности. Нормальные
координаты. Риманово многообразие как метрическое пространство. Полнота. Кривизна.
Алгебраическая структура тензора кривизны. Тензоры Риччи, Вейля и скалярная кривизна.
Секционная кривизна. Пространство постоянной кривизны. Группа голономии и разложение
де Рама. Классификация Берже групп голономии. Келеровы и кватернионные многообразия.
Тема 4. Геометрия символов.
Дифференциальные операторы в расслоениях. Символы дифференциальных
операторов. Связности и квантование. Скобки Пуассона и гамильтонов формализм.
Пуассоновы и симплектические структуры. Левоинвариантный гамильтонов формализм на
группах Ли.
Тема 5. Однородные пространства.
Симметричность и интегрируемость. Эрлангенская программа Клейна. Группы Ли.
Действия группы Ли на многообразии. Соответствие между группами и алгебрами Ли.
Инфинитезимальное описание однородных пространств. Представление изотропии. Порядок
однородного пространства. Инвариантные тензорные поля на однородных пространствах.
Примитивные и импримитивные действия.
Тема 6. Инвариантные связности на однородном пространстве.
Общее описание. Редуктивные однородные пространства. Аффинные симметрические
пространства.
Тема 7. Однородные римановы многообразия.
Инфинитезимальное описание. Связь кривизны со структурой группы движений.
Естественно редуктивные пространства. Симметрические римановы пространства. Группы
голономии однородных римановых многообразий. Келеровы и кватернионные однородные
пространства.
Тема 8. Однородные симплектические многообразия.
Мотивировка, определения и примеры. Однородные гамильтоновы многообразия.
Однородные симплектические многообразия и аффинные действия.
Тема 9. Элементарная геометрия дифференциального уравнения первого порядка.
Обыкновенные дифференциальные уравнения. Общий случай. Геометрическое
интегрирование.
Тема 10. Контактная геометрия и теория Ли уравнений первого порядка.
Контактная структура на J1. Обобщенные решения и интегральные многообразия
контактной структуры. Контактные преобразования. Контактные векторные поля. Задачи
Коши. Симметрии. Локальная эквивалентность.
Тема 11. Геометрия распределений.
Распределения. Распределения коразмерности 1. Теорема Дарбу. Инволютивные
системы уравнений. Внутренняя и внешняя геометрия дифференциальных уравнений 1-го
порядка.
Тема 12. Пространства струй и дифференциальные уравнения.
Струи. Распределение Картана. Преобразования Ли. Внешняя и внутренняя геометрии.
Тема 13. Теория совместимости и формальная интегрируемость.
Продолжения дифференциальных уравнений. Формальная интегрируемость. Символы.
Когомологии Спенсера. Инволютивность.
Тема 14. Теория Картана систем в инволюции.
Полярные системы, характеры и жанры. Инволютивность и теоремы существования
Картана.
Тема 15. Геометрия бесконечно продолженных уравнений.
Бесконечно продолженные уравнения. С-отображения и высшие симметрии.
Раздел 3.
Обеспечение учебных занятий
3.1. Методическое обеспечение
3.1.1 Методические указания по освоению дисциплины
Посещение лекций.
3.1.2 Методическое обеспечение самостоятельной работы
Основная и дополнительная литература.
3.1.3 Методика проведения текущего контроля успеваемости и промежуточной
аттестации и критерии оценивания
Методика проведения зачета
Зачет проводятся в устной форме. Билет состоит из двух вопросов. Один из вопросов может
быть задачей. Время подготовки ответа на вопросы билета составляет 60 минут.
Использование конспектов и учебников, а также электронных устройств хранения, обработки
или передачи информации при подготовке и ответе на вопросы экзамена категорически
запрещено. В случае обнаружения факта использования недозволенных материалов
(устройств) составляется акт и студент удаляется с зачета. После ответа на вопросы билета
преподаватель задает несколько дополнительных вопросов или задач, на основании оценки
ответов на которые решение о выставлении зачета может быть скорректировано.
Критерии выставления зачета
Зачет ставится за верно изложенный теоретический материал билета, и правильно решенные
задачи (возможно с помощью наводящих подсказок преподавателя).
3.1.4 Методические материалы для проведения текущего контроля успеваемости и
промежуточной аттестации (контрольно-измерительные материалы, оценочные
средства)
Список вопросов к зачету.
1. Многомерные поверхности в евклидовом пространстве. Ковариантное дифференцирование
и вторая квадратичная форма.
2. Нормальная связность на поверхности. Деривационные формулы. Многомерный вариант
уравнений Гаусса—Петерсона—Майнарди—Кодацци.
3. Теорема Риччи. Геометрический смысл и алгебраические свойства тензора кривизны.
4. Гиперповерхности. Средние кривизны. Формулы Штейнера и Г. Вейля.
5. Касательные векторы. Касательное расслоение и векторные поля. Ковекторы,
кокасательное расслоение и дифференциальные формы первой степени.
6. Тензоры и тензорные поля. Поведение тензорных полей при отображениях. Производная
Ли.
7. Внешний дифференциал. Комплекс де Рама.
8. Риманова метрика. Построение римановых метрик. Линейные связности.
9. Нормальные координаты.
10. Риманово многообразие как метрическое пространство. Полнота.
11. Кривизна. Алгебраическая структура тензора кривизны.
12. Тензоры Риччи, Вейля и скалярная кривизна. Секционная кривизна. Пространство
постоянной кривизны.
13. Группа голономии и разложение де Рама.
14. Классификация Берже групп голономии. Келеровы и кватернионные многообразия.
15. Дифференциальные операторы в расслоениях. Символы дифференциальных операторов.
16. Связности и квантование. Скобки Пуассона и гамильтонов формализм.
17. Пуассоновы и симплектические структуры.
18. Левоинвариантный гамильтонов формализм на группах Ли.
19. Симметричность и интегрируемость. Эрлангенская программа Клейна.
20. Группы Ли. Действия группы Ли на многообразии. Соответствие между группами и
алгебрами Ли.
21. Инфинитезимальное описание однородных пространств. Представление изотропии.
22. Порядок однородного пространства. Инвариантные тензорные поля на однородных
пространствах.
23. Примитивные и импримитивные действия.
24. Инвариантные связности на однородном пространстве. Общее описание.
25. Редуктивные однородные пространства.
26. Аффинные симметрические пространства.
27. Однородные римановы многообразия. Инфинитезимальное описание.
28. Связь кривизны со структурой группы движений. Естественно редуктивные
пространства. Симметрические римановы пространства.
29. Группы голономии однородных римановых многообразий.
30. Келеровы и кватернионные однородные пространства.
31. Однородные симплектические многообразия. Мотивировка, определения и примеры.
32. Однородные гамильтоновы многообразия. Однородные симплектические многообразия и
аффинные действия.
33. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Общий случай. Геометрическое
интегрирование.
34. Контактная структура на J1. Обобщенные решения и интегральные многообразия
контактной структуры.
35. Контактные преобразования. Контактные векторные поля. Задачи Коши.
36. Симметрии. Локальная эквивалентность.
37. Распределения. Распределения коразмерности 1.
38. Теорема Дарбу.
39. Инволютивные системы уравнений. Внутренняя и внешняя геометрия
дифференциальных уравнений 1-го порядка.
40. Пространства струй. Распределение Картана.
41. Преобразования Ли. Внешняя и внутренняя геометрии.
42. Продолжения дифференциальных уравнений. Формальная интегрируемость. Символы.
43. Когомологии Спенсера. Инволютивность.
44. Теория Картана систем в инволюции. Полярные системы, характеры и жанры.
45. Инволютивность и теоремы существования Картана.
46. Бесконечно продолженные уравнения.
47. С-отображения и высшие симметрии.
3.1.5 Методические материалы для оценки обучающимися содержания и качества
учебного процесса
3.2. Кадровое обеспечение
3.2.1 Образование и (или) квалификация штатных преподавателей и иных лиц,
допущенных к проведению учебных занятий
К проведению занятий должны привлекаться преподаватели, имеющие ученую степень
доктора или кандидата наук (в том числе степень PhD, прошедшую установленную
процедуру признания и установления эквивалентности) или ученое звание профессора или
доцента.
3.2.2 Обеспечение учебно-вспомогательным и (или) иным персоналом
Не требуется.
3.3. Материально-техническое обеспечение
3.3.1 Характеристики аудиторий (помещений, мест) для проведения занятий
Стандартно оборудованные лекционные аудитории с возможностью электронной
презентации курса.
3.3.2 Характеристики аудиторного оборудования, в том числе неспециализированного
компьютерного оборудования и программного обеспечения общего пользования
Доска для письма мелом или фломастером, мультимедийный проектор.
3.3.3 Характеристики специализированного оборудования
Не требуется.
3.3.4 Характеристики специализированного программного обеспечения
Не требуется.
3.3.5 Перечень и объёмы требуемых расходных материалов
Мел, фломастеры для доски, губка.
3.4.
Информационное обеспечение
3.4.1 Список обязательной литературы
1. D. E. Blair, Riemannian Geometry of Contact and Symplectic Manifolds, электронный ресурс,
https://find.library.spbu.ru/vufind/Record/978-0-8176-4959-3
3.4.2 Список дополнительной литературы
1. Д. В. Алексевский, А. М. Виноградов, В. В. Лычагин. Основные идеи и понятия
дифференциальной геометрии. М., ВИНИТИ, Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления,
том 28, 1988.
2. Б. А. Дубровин, С. П. Новиков, А. Т. Фоменко. Современная геометрия. Методы и
приложения. Том 1. Геометрия поверхностей, групп преобразований и полей. М., УРСС,
1998.
3.4.3 Перечень иных информационных источников
Раздел 4. Разработчики программы
Звагельский Михаил Юрьевич, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры
высшей геометрии, [email protected]