Лекция No. _ Сила Лоренца. Сила Ампера 3акон Био–Савара–Лапласа

Лекция No. _
3акон Био–Савара–Лапласа
Сила Лоренца.
Сила Ампера
3акон Био–Савара–Лапласа
В 1820 г. французские физики Жан Батист Био и Феликс
Савар, провели исследования магнитных полей токов
различной формы. А французский математик Пьер
Лаплас обобщил эти исследования.
2
Рассмотрим малый элемент длины dl. В этом элементе содержится
n·V=n·S·dl носителей тока
В точке А один носитель тока е
создает поле с индукцией

  
  0 e (V  U )  r
B 
4
r3

V - скорость хаотического движения носителей,
U - скорость упорядоченного движения носителей
А
Значение В, усредненное по носителям тока,
заключенным в элементе dl равно:




 
 
  0 e (V   U  ), r  0 e U , r
B  
 
3
4
4
r
r3

Умножив на число носителей в элементе провода dl (=n·S·dl), получим вклад в
поле, вносимый элементом dl:


 

 0 S (n  e  U  ), r d l
dB   B  n  S  d l  
4
r3
т.к.

n  e  U   j
то
плотность
тока
 
 
 0 S j, r d l
dB  
3
4
r
А
Введем вектор , направленный по оси элемента тока
длиной dl в сторону,
течет ток.

 в которую
Т.к.направление j и d l совпадают, то:


j dl  j dl
 

 0 S j d l , r
dB  
4
r3
Эта формула
получена
экспериментально
 
 
 0 I d l , r
dB  
4
r3
S·|j| =I
магнитная индукция поля,
создаваемого элементом
тока длиной dl
Это соотношение, экспериментально установленное
Био-Саваром, и математически выведенное Лапласом,
называется законом Био-Савара-Лапласа. Согласно
этому закону вычисляется индукция магнитного поля,
создаваемого в любой точке А элементом тока I·dl.
А
3акон Био–Савара–Лапласа
Элемент тока длины
магнитной индукцией:
dl
создает
поле
с
Idl
dB  k 2
r
или в векторной форме:


I [d l , r ]
dB  k
.
3
r
6
Здесь:
I – ток;

d l – вектор, совпадающий с
элементарным участком тока и
направленный в ту сторону,
куда течет ток;

r – радиус-вектор,
проведенный от элемента тока в
точку, в которой мы определяем

dB ;
r – модуль радиус-вектора;
k – коэффициент
пропорциональности,
зависящий от системы единиц.
7

Вектор магнитной индукции dB направлен
перпендикулярно плоскости, проходящей

через d l и точку, в которой вычисляется
поле.
8
dL
dq
I
dt
 0 Idl
dB 
 2 sin 
4 r
9


Направление dB связано с направлением d l
«правилом буравчика»: направление вращения

головки
винта
дает
направление dB ,
поступательное
движение
винта
соответствует направлению тока в элементе.
10
Правило буравчика:
11
Силовые линии магнитного
поля
• Магнитной силовой
линией называют
линию, касательная к
которой в каждой точке
совпадает с
направлением
напряжен-ности
магнитного поля.
Картины магнитных полей
Поле соленоида
Поле кругового
тока
Закон Био–Савара–Лапласа устанавливает

величину и направление вектора dB
в
произвольной
точке
магнитного
поля,

созданного проводником d l с током I.
Модуль вектора определяется соотношением:
Idlsinα
dB  k
,
2
r

где α - угол между d l и
пропорциональности.

r;
k – коэффициент
14
Закон Био–Савара–Лапласа для вакуума можно
записать так:
μ 0 Idlsinα
dB 
,
2
4π r
где
μ 0  4π  10
7
Гн/м – магнитная постоянная.
15
dL
I
dB  sin 
sin 90  1, sin 30  0,5

sin 0  0


16
Магнитное поле любого тока может быть вычислено
как векторная сумма (суперпозиция) полей, создаваемых
отдельными элементарными участками тока:


B   Bi .
17
Магнитное поле движущегося заряда
Электрический ток –
упорядоченное
движение зарядов, а
магнитное поле
порождается
движущимися зарядами.
Под свободным
движением заряда
понимается его движение
с постоянной скоростью
18
Индукция магнитного поля, создаваемого одним

зарядом, движущимся со скоростью υ :


  0 q, r 
B
.
3
4 r
19
В скалярной форме индукция магнитного поля
одного заряда в вакууме определяется по
формуле:
 
 0 q sin (, r )
B
.
2
4
r
Эта формула справедлива при скоростях
заряженных частиц
υ  c
20
Напряженность магнитного поля
Магнитное поле – это одна из форм проявления
электромагнитного поля, особенностью
которого является то, что это поле действует
только на движущиеся частицы и тела,
обладающие электрическим зарядом, а
также на намагниченные тела.
21
Магнитное поле создается проводниками с током,
движущимися электрическими заряженными частицами
и телами, а также переменными электрическими
полями.
Силовой характеристикой магнитного поля служит
вектор магнитной индукции поля, созданного одним
зарядом в вакууме:


 μ 0 qυ, r 
B
3
4π r
22
Физический смысл магнитной индукции:
Вектор магнитной индукции показывает, какая сила действует
на проводник, в котором течет ток силой 1 ампер, если длина
проводника равна 1 метру

B

F
qV sin 
23
Напряженностью
магнитного поля называют векторную

величину H ,
характеризующую
магнитное
поле
и
определяемую следующим образом:

 B
H .
μ0
Напряженность магнитного поля заряда q, движущегося в
вакууме равна:
 

1 qυ, r 
H
4π r 3
- это закон Био–Савара–Лапласа для вектора напряженности
магнитного поля
24
Закон Био–Савара–Лапласа для вакуума можно
записать так:
μ 0 Idlsinα
dB 
,
2
4π r
где
μ 0  4π  10
7
Гн/м – магнитная постоянная.
25
Магнитное поле прямого тока.
Пусть точка, в которой определяется
магнитное поле, находится на расстоянии b
от провода.

dB
Все вектора
в данной точке имеют
одинаковое направление (за чертеж).
Поэтому сложение векторов можно заменить
сложением их модулей.
Из рисунка видно, что:
b
r
;
sin 
rd
bd
dl 

.
2
sin  sin 
Подставив найденные значения r и dl в
закон Био–Савара–Лапласа, получим:
0 b  d  sin 2 
0 I
dB   I  2
sin     sin   d
2
4 sin  b
4 b
Для конечного проводника угол α изменяется от α1
до α2. Тогда:
α2
α2
μ0 I
μ0I
cosα1  cosα 2 .
B   dB 
sinα dα 

4 π b α1
4 πb
α1
Для бесконечно длинного проводника α1 = 0,
а α2 = , тогда:
μ0I
B
2 πb
или
μ0 2I
B
.
4π b
I
0 IL
B 

2 r
Магнитное поле кругового тока
Рассмотрим поле, создаваемое током I, текущим по тонкому
проводу, имеющему форму окружности радиуса R.
dB| |  dBsinβ
R
sinβ 
r
R
sinβ 
r
т.к. угол между
sin α  1,
dB| |  dBsinβ

dlи

r
α – прямой, то
тогда получим:
R μ 0 Idl R
dB| |  dB 
.
2
r 4π r r
(1.6.1)
Подставив в (1.6.1) r  R 2  x 2 и,
проинтегрировав по всему контуру l  2 πR
получим
выражение
для
нахождения
магнитной индукции кругового тока:
2 R
B

0
 0 IR
dB|| 
4r 3
2 R
 0 2R I
0 dl  4 2 2 3 2 . (1.6.2)
R x
2


При х = 0, получим магнитную индукцию в
центре кругового тока:
μ0I
B
2R
(1.6.3)
31
I
0 I
Bo  
2 r
Заметим, что в числителе
IπR  IS  Pm –
2
0 2R 2 I
B
.
3
4 R 2  x 2  2
магнитный
момент
контура. Тогда, на большом расстоянии от
контура, при R  x , магнитную индукцию
можно рассчитать по формуле:
μ 0 2 Pm
B
.
3
4π x
Рассмотрим еще одно важное следствие из закона Био–Савара–Лапласа, которое
облегчает расчеты магнитных полей.
Допустим, что по проводнику течет ток I. По закону Био–Савара–Лапласа
 
I
L
dl
r
H
М
можно рассчитать напряженность в точке М.
Idl sin 
H 
4r 2
Проведем в магнитном поле замкнутую линию L и
разделим ее на участки dl. Для каждого участка
будет справедливо выражение
Hdl cos 
где β – угол между H и касательной  к линии.
Просуммируем вдоль всей линии эти выражения
 Hdl cos   I
 Bdl cos    I
0
Если изменить направление тока в проводнике, то в каждой точке поля вектор Н
изменит свое направление на противоположное, косинусы углов будут иметь
противоположный знак, интеграл сделается отрицательным .
Знак интеграла изменится и при изменении направления обхода по линии L.
Поэтому направление обхода и напрваление тока должны быть связаны
правилом знаков:
Если буравчик вращать по выбранному нами направлению обхода линии L,
то его перемещение соответствует положительному направлению тока I.
Выражение
не зависит ни от формы
 Hdl cos   I
контура с током, ни от формы замкнутой линии L.
Если линия охватывает несколько проводников с токами I1,I2,…
то по принципу суперпозиции , интеграл будет равен сумме этих
токов.
Если линия охватывает один и тот же проводник n раз, то
интеграл равен n·I
Если линия L не охватывает токов, то интеграл равен
нулю.
Интеграл
 Hdl cos    H dl
называется циркуляцией вектора напряженности вдоль данной
замкнутой линии обхода.
Hdl

I

i

Bdl


I

0
i

Теорема о циркуляции напряженности магнитного
поля или закон полного тока
Циркуляция вектора напряженности равна
алгебраической сумме токов
Магнитный поток
(поток вектора магнитной индукции)
• Магнитным потоком или потоком
вектора магнитной индукции
сквозь площадку S называют
величину:
Ф  B  S  cos  BnS [Вб ]
  Угол между направлением нормали
к площадке S и направлением
вектора магнитной индукции B
Магнитный поток – скалярная величина.
Полный поток вектора магнитной индукции: Ф   Bn dS
S
Теорема Гаусса для вектора
магнитной индукции
Поток вектора через замкнутую поверхность должен быть
равен нулю.
Таким образом:
(1.7.1)
 
ФB   BdS  0
S
Это теорема Гаусса для ФВ (в интегральной форме): поток
вектора магнитной индукции через любую замкнутую
поверхность равен нулю.

d  BdS cos 
В природе нет магнитных зарядов –
источников магнитного поля, на которых
начинались и заканчивались бы линии
магнитной индукции.
Заменив поверхностный интеграл в (1.7.1)
объемным, получим:

B
d
V

0

(1.7.2)
V
  
где       – оператор Лапласа.
 x y z 
Магнитное поле обладает тем свойством, что
его дивергенция всюду равна нулю:

div B  0
или

B  0.
Электростатического поля может быть выражено
скалярным потенциалом φ, а магнитное поле –
вихревое, или соленоидальное
Вихревой характер
магнитного поля
• В электростатическом поле силовые
линии начинаются и заканчиваются на
электрических зарядах. Силовые линии
разомкнуты.
• В магнитном поле силовые линии
замкнуты.
• Поле, в котором силовые линии
замкнуты называется вихревым.
• Магнитное поле – вихревое поле.
Магнитных зарядов в природе не
существует.
• Возникают магнитные поля в присутствии токов и
являются вихревыми полями в области, где есть токи.
• Магнитные линии образуют петли вокруг токов.
• Не имея ни конца, ни начала, линии В возвращаются в
исходную точку, образуя замкнутые петли.
• В любых, самых сложных случаях линии В не исходят
из точек.
• Утверждение, что divВ = 0 , справедливо всегда.
Сравнив уравнения магнитостатики
rotВ = 0j, divВ = 0
с уравнениями электростатики

rotЕ = 0, divЕ =
0
можно заключить, что электрическое поле
всегда потенциально, а его источниками
являются электрические заряды.
Поле движущегося заряда
Полагая, что в элементе тока I·dl содержится Δn электронов, имеющих
скорости упорядоченного движения V, найдем индукцию поля,
B
B

создаваемую в данной точке одним движущимся электроном.
n
 0 Idl
dB 
 2 sin 
4 r
Так как сила тока
I = Δn · e· V ·S
 0 n  e  v  S 1
0 e  v  S
B
sin  
sin 
2
2
4
n
r
4 r
Напряженность магнитного поля внутри длинного соленоида с
током
Соленоид в магнетизме – аналог конденсатора в
электричестве.
Поле внутри бесконечного соленоида однородно
Выберем контур обхода так, чтобы участки 1-2
и 3-4 проходили внутри силовой линии, а 2-3 и
4-1 были перпендикулярны ей.
Участок 1-2 расположен внутри соленоида, а 3-4 вдали от соленоида, где поле
мало. Длину Δl выберем такую, чтобы на протяжении нее величину
напряженности можно было бы считать одинаковой. Для этого плотность
обмотки, т.е. число витков на единицу длины n1= Δn/Δl должна быть достаточно
большой.
Циркуляция вектора Н по контуру 1-2-3-4 равна
2
3
4
1
1
2
3
4
 Hdl   Hdl   Hdl  Hdl   Hdl
2
3
4
1
1
2
3
4
 Hdl   Hdl   Hdl  Hdl   Hdl

Второй и четвертый интегралы равны нулю, т.к. , H  dl а третьим интегралом
пренебрегаем, ввиду малости поля вне соленоида.
Тогда
2
 Hdl   Hdl  Hl
1
H·dl = ΣIi = Δn·I;
In
H
 n1 I
l
Результат расчета в любой
точке сечения соленоида
будет одинаковой.
Произведение n1·I называется числом ампер-витков на метр.
В величину магнитной индукции на оси соленоида симметрично
расположенные витки вносят одинаковый вклад. Поэтому у конца полу
бесконечного соленоида на его оси величина индукции равна:
В = ½ μ0·n1·I
напряженность магнитного поля внутри толстых проводников с
током
Если проводник прямолинейный и бесконечно длинный, то
вдоль этой линии обхода напряженность магнитного поля
будет везде одинакова и в каждой точке направлена по
касательной (так как линия обхода совпадает с силовой
линией, cos β=1 в формуле
 H  dl  cos 
тогда
 Hdl  H  2 r
Эта линия охватывает площадь S = πr2. Если плотность в различных местах
проводника одинакова, то ток, проходящий через S, и охватываемый линией обхода,
I= j·S, тогда
H·2πr = j·πr2
Т.к.
I
j
 R2
H=½ j·r
H
I
r
2
2 R
Таким образом, на оси проводника (r=0)
напряженность поля Н=0, а по мере удаления
от оси – растет прямо пропорционально
расстоянию. В точках за пределами объема
проводника напряженность магнитного поля
обратно пропорциональна расстоянию от оси
проводника
I
H
r
2
2 R
H 
I
2 R
Закон Ампера
На прямолинейный участок длиной dl проводника с током I, находящийся в
магнитном поле, действует сила, равная

 

dF  I  dl , B

или
F = I·L·B·sina
I - сила тока в проводнике;
B - модуль вектора индукции магнитного
поля;
L - длина проводника, находящегося в
магнитном поле;
 - угол между вектором магнитного поля
и направлением тока в проводнике.
Силу, действующую на проводник с током
в магнитном поле, называют силойАмпера.
Максимальная сила Ампера равна:
Ей соответствует α = 900.
F = I·L·B
Направление силы Ампера определяется по правилу левой руки:
если левую руку расположить так, чтобы перпендикулярная
составляющая вектора магнитной индукции В входила в ладонь, а
четыре вытянутых пальца были направлены по направлению тока, то
отогнутый на 90 градусов большой палец покажет направление силы,
действующей на отрезок проводника с током, то есть силы Ампера.
Сила Лоренца
Зная закон Ампера, можно получить выражение для силы, с которой
магнитное поле действует на движущийся заряд.
Пусть n – число упорядоченно движущихся электронов в единице
объема проводника
V - скорость движущихся электронов
n·ΔV = N
S – площадь сечения проводника
Тогда I = n · e· V ·S = j · S,
а элемент тока I · dl = j · S = n · e· V ·S · dl = N · e· V
N - число упорядоченно движущихся электронов в объеме участка тока.
На 1 заряд действует сила
dF 1
B  N  e  v  sin 
 ( I  dl  B  sin  ) 
 e  v  B  sin 
N
N
N
или в векторной записи

 
F  [e  v  B ]
Сила Лоренца
Сила Лоренца
Направление силы Лоренца зависит от
знака заряда и перпендикулярна к
плоскости, в которой лежат вектора V и B
Обратите внимание, что сила Лоренца перпендикулярна скорости и поэтому
она не совершает работы, не изменяет модуль скорости заряда и его
кинетической энергии. Но направление скорости изменяется непрерывно
направление силы Лоренца определяется с
помощью того же правила левой руки, что и
направление силы Ампера: если левую руку
расположить так, чтобы составляющая
магнитной индукции В, перпендикулярная
скорости заряда, входила в ладонь, а четыре
пальца были направлены по движению
положительного заряда (против движения
отрицательного), то отогнутый на 90 градусов
большой палец покажет направление
действующей на заряд силы Лоренца F л.
Если имеются одновременно электрическое и магнитное поля, то на заряд
действует сила



 
F  qE  q  V  B

Пусть два одноименных точечных заряда q1 и q2 движутся вдоль
параллельных прямых со скоростью V<<C. Сравним силы, действующие на
заряды со стороны электрического Fэл и магнитного Fмагн полей.
Fэл1  Fэл 2
Fмагн действующая на заряд q1
q1q 2

 2
40 r
1
 0 q1q 2V 2
Fмагн  q1  V  B21 

4
r2
 
 
 0 q V  r  0 q 2V
B21   3   2
4 r
4 r
Отношение магнитной силы к электрической будет:
 0 q1q2V 2
2
2
Fм 4 r
V
2

  0  0V  2
Fэ
1
q1q2
40 r 2
C
то есть магнитная сила слабее кулоновской силы на множитель,
пропорциональный V2/C2
Таким образом, магнитное взаимодействие между движущимися зарядами
является релятивистским эффектом (как следствие закона Кулона). Магнетизм
исчез бы, если бы скорость света приблизилась к бесконечности. Он
отсутствует у неподвижных зарядов (V=0).
Электрическое и магнитное поля неразрывно связаны друг с другом, и
образуют единое электромагнитное поле.
Значение величины μ0 содержится в определении силы Ампера :
1Ампер=1А это сила неизменяющегося тока, который, проходя по двум
параллельным прямолинейным проводникам бесконечной длины и малого
кругового сечения, расположенным на расстоянии 1м друг от друга в
вакууме, вызывал бы между этими проводниками силу, равную 2*10-7 Н на
каждый метр длины.
Величину μ0 – называют магнитной постоянной, а также
магнитной проницаемостью вакуума.
Произведение μ· μ0 - абсолютная магнитная проницаемость
данной среды.
Относительной магнитной проницаемостью данной среды по
отношению к вакууму называют безразмерную величину μ,
которая показывает во сколько раз сила, действующая на
движущиеся заряды и проводники с током в данной среде
больше, чем в вакууме.