ОСНОВНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ
реклама
1
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ
ФЕДЕРАЦИИ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ ИМ. КОЗЬМЫ МИНИНА»
В.А. Глуздов
ОСНОВНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ
Учебно-методическое пособие
Нижний Новгород
2013
2
Печатается по решению редакционно-издательского совета НГПУ им.
Козьмы Минина
Глуздов В.А.
Основные алгебраические структуры: Учебно-методическое пособие для
студентов, обучающихся по направлению 050100 «Педагогическое
образование», профиль «Математика».
3
Введение
Подлежащий изучению раздел алгебры являет собой ее сердцевину,
основу. Современные развитые алгебраические формы знания изучают т.н.
алгебраические структуры. Это, прежде всего, группы, кольца, поля,
векторные пространства. В настоящем разделе систематически изучаются
основы первых двух из перечисленных структур. Алгебраической,
общематематической базой развертывания содержания является теория
множеств, бинарных отношений, теория матриц и определителей и, конечно,
школьный курс математики.
Используются следующие обозначения:
С, R, Q, Z, N - множества, соответственно, комплексных,
вещественных (действительных), рациональных, целых и натуральных (без
нуля) чисел. Иногда удобно включать в состав натуральных чисел нуль.
Тогда мы используем обозначение N 0 ;
С*, R*, Q*, Z* - множества соответствующих чисел (см. выше) без
нуля. Например, С* = С \ {0};
R , Q , Z
- множества соответствующих (см. выше)
положительных чисел.
Глава I. Элементы теории групп
§1. Определение, примеры, простейшие свойства групп
Определение. Группой называют непустое множество G вместе с
заданной на этом множестве бинарной (групповой) операцией (G вместе с
операцией - алгебраическая структура (G, )) , удовлетворяющей
следующим требованиям (аксиомы группы): групповая операция
1. ассоциативна, т.е.
x,y,z
G
x (y z) = (x у) z
(1)
2. имеет нейтральный элемент, т.е.
i
G, x G
ix = xi = x
(2)
3. всякий элемент из G симметризуем относительно групповой
операции, т.е.
4
x
G
х'
G х х' =
х' х = i
(3)
Элемент x у называют композицией элементов x и у. Если, к тому же,
групповая операция коммутативна, т.е.
x,y
G
x y = у х,
(4)
то группу G называют коммутативной или абелевой (по имени норвежского
математика Нильса Хенрика Абеля (1802 – 1829 г.г.), систематически
изучавшего такие группы).
Следствие. Элемент х' называют симметричным для х. Из равенства
(3) непосредственно усматривается, что
(х') ' = х.
(5)
Замечание.
Исторически
основы
современной
версии
математического знания закладывались в Западной Европе, в средневековых
европейских университетах, где науки преподавались на интернациональном
для того времени латинском языке, послужившем основой для английского,
французского, итальянского и многих других современных европейских
языков. Отсюда и многие математические термины имеют латинское
происхождение. Через латинский и современные западноевропейские языки
математическая терминология вошла в другие языки, в частности в русский
язык. С учетом этого становятся понятными не только русскоязычная версия
большинства математических терминов, но и использумые, наиболее
употребительные обозначения, часто являющиеся первыми буквами
соответствующих терминов в латинской версии или в одном из современных
европейских языков. Так, например, используемое для группы обозначение
G - это первая буква английского слова Group - группа (ср. в немецком,
например, - Gruppen). В этом контексте F - стандартное обозначение поля
(англ. - field), буквой R обозначается кольцо (англ. – ring). В дальнейшем,
намереваясь прояснить источник того или иного математического термина,
понятия, обозначения мы будем апеллировать к английскому языку.
Очень часто в конкретных случаях групповая операция группы G
называется одним из наиболее распространенных для этого терминов сложением или умножением и соответственным образом обозначается: +
или . При этом знак умножения, как правило, не пишется. Соответсвенно
переименовываются
и
переобозначаются
композиция
элементов,
нейтральный и симметричный элементы: сумма, нуль 0 и противоположный
-х - для сложения и произведение, единица 1 и обратный х 1 - для
умножения. Для точного, однозначного понимания какое из этих названий
выбрано для групповой операции, группу G называют соответственно
5
аддитивной (англ. add – складывать, прибавлять, additive - относящийся к
сложению) или мультипликативной (англ. multiply
умножать,
multiplicative - относящийся к умножению). Для удобства и в общей теории
групп часто прибегают к соглашению считать рассматриваемую группу
мультипликативной.
Примеры групп. 1. Числовые группы - группы, образованные
различными множествами чисел, как правило мультипликативные или
аддитивные: так аддитивными являются группы С, R, Q, Z;
мультипликативными - группы С*, R*, Q*, R , Q . Сюда же относится
важный пример мультипликативной группы корней n-й степени из единицы:
G(n,1) = { С| п = 1, n N}
(6)
Все эти группы - абелевы.
2. Полная линейная группа n-го порядка над полем F - это
мультипликативная группа невырожденных (обратимых)
n-матриц с
элементами из поля F:
GL(n,F) = {A M п (F)| DetA ≠ 0}
(7)
Здесь M п (F) - множество всех квадратных n-матриц с элементами из
поля F. При n > 1 группа GL(n,F) некоммутативна.
3. Симметрическая группа n-й степени S п , где n N. Это группа
подстановок n-й степени S п (англ. substitute - подставлять, substitution –
подстановка), т.е., мультипликативная группа биективных отображений
множества первых n натуральных чисел (или любого n-элементного
множества) на себя. Групповой операцией здесь является умножение
подстановок, понимаемое как их композиция (суперпозиция)
последовательное их выполнение в предписанном порядке. При n > 2
симметрическая группа S п некоммутативна.
4. Различные группы преобразований на плоскости: группа
движений, группа подобий евклидовой плоскости и т.д.
Если группа G конечна, то число ее элементов называют ее
порядком и обозначают |G| или OrG (англ. order – порядок). Так, в
приведенных выше примерах конечными будут группы G(n,1) и S п , причем
OrG(n,1) = n, OrS п = n!. В принципе групповую операцию конечной
группы можно задать (представить) квадратной таблицей, где слева по
вертикали и вверху по горизонтали выписаны все элементы рассматриваемой
6
конечной группы G. Выбирая первый элемент в вертикали, а второй - в
горизонтали, на их пересечении выписывают их композицию. Такую
таблицу, задающую групповую операцию, называют таблице Кэли (Кэли
Артур (1821-1895) - английский математик, ввел в оборот такие таблицы)
Так, например, считая конечную группу G = {a 1 ,a 2 ,…,a п }
мультипликативной, ее таблица Кэли в общем сучае будет устроена
(выглядеть) следующим образом
a 1 , a 2 , ……….a j ,………,a n
a1
.
a2
.
.
.
.
.
.
ai - - - - - - - - - ai a j
(8)
.
.
.
an
В дальнейшем, если не оговорено иное, рассматриваемые группы
считаются мультипликативными.
Теорема. В произвольной группе G:
1. единица единственна;
2. элемент, обратный данному, единственен;
3. если группа G не абелева, то
x,y G,
4.
(xy) 1 = y 1 x 1
x,y,z G,
xz = yz (или zx =zy) x=y
(9)
(10)
Доказательство. 1. Допустим, что в группе G имеется по крайней
мере две единицы - 1 и 1*. По аксиоме для единицы (равенство (2)
определения группы) имеем, поочередно для 1 и 1*: 1 1* = 1* = 1, что и
доказывает требуемое.
2. Пусть для некоторого a G найдено два обратных элемента - b и c.
Следовательно, мы можем записать: ab =1 и са =1. Используя теперь
равенства (3), мы, выполнив вполне очевидные преобразования, получим b =
1b= (ca)b = c(ab) = c1 = c, т.е b = c. Утверждение доказано.
7
3. Проверьте прямым вычислением, что элемент y 1 x 1 является
обратным для ху.
4. Умножим обе части равенства xz = yz (zx =zy) справа (слева) на
1
z и получим требуемое. Это свойство называют свойством сократимости
равенства в группе соответственно справа или слева на один и тот же
элемент.
§2. Подгруппы, примеры, критерий подгруппы
Определение. Говорят, что непустое подмножество H G группы G
является ее подгруппой, если множество H само является группой
относительно групповой операции исходной группы G. Тот факт, что H подгруппа группы G мы будем обозначать так: H < G.
Пример. Подмножества E = {1}, G - подгруппы группы G
(проверка - по определению - достаточно тривиальна). Эти подгруппы
группы G назывют ее несобственными подгруппами.
Установить, будет ли H G подгруппой группы G, можно по
определению. Часто, однако, удобнее пользоваться другим инструментом критерием подгруппы.
Теорема (критерий подгруппы).
подмножество группы G. Тогда
Пусть
HG
(H < G) ( x,y H, x 1 y H)
–
непустое
(1)
Доказательство. Необходимость. Пусть имеет место левая часть
эквиваленции (1). Тогда, выбрав x,y H, мы, по третьей аксиоме группы
(равенство (3) §1), получим, что x 1 H, а значит и x 1 y H, т.е., имеет место
правая часть (1).
Достаточность. Пусть для непустого подмножества H G
реализована правая часть (1). Выполним последовательно несколько
логических шагов. Возьмем x H. Второй элемент у выберем равным х: у
= х. Тогда правая часть (1) примет вид: x 1 y = x 1 х = 1 H. Следовательно,
1 H. Далее, по-прежнему выберем x H, а в качестве второго элемента у
H возьмем 1 (ведь мы установили, что 1 H!). Следовательно, имеем право
на утверждение: x 1 1 = x 1 H. Итак, вместе с каждым элементом x H
обратный ему x 1 H. Выделим теперь x,y H. Мы знаем, что х 1 H.
Теперь для элементов x 1 ,y H мы можем утверждать, что (x 1 ) 1 y = ху H.
Итак, x,y H, ху H. Иными словами, подмножество H G замкнуто
8
относительно групповой операции исходной группы G. Заметим, что это результат третьего из заявленных шагов. Результаты первых двух - это
фиксация выполнения для операции умножения на H второй и третьей
аксиом группы. Выполнение первой аксиомы группы становится очевидным,
ибо свойство ассоциативности групповой операции, реализованное на всей
группе G, конечно же реализовано и на любой ее части, одной из которых
является H. Теорема доказана.
Замечание. Обозначим через H 1 H множество: H 1 H = { x 1 y| x,y
H}. Тогда легко видеть, что логическая конструкция « x,y H, x 1 y H» в
правой части эквиваленции (1) идентична по смыслу теоретикомножественной конструкцией
«H 1 H H». Следовательно, критерий
подгруппы (1) в иной - теоретико-множественной - редакции выглядит
так:
(H<G) (H 1 H H)
(2)
Приведем дополнительные примеры подгрупп, уже с
использованием критерия подгруппы. На некоторых примерах, важных для
дальнейшего, остановимся чуть подробнее.
1. Рассмотрим аддитивную
группу Z. Возьмем произвольное m N. Обозначим через mZ множество
всех целых чисел, кратных m: mZ = {mt| t Z}. Элементарно по критерию
подгруппы устанавливается, что mZ < Z.
2. Рассмотрим полную линейную группу GL(n,F). Отберем из нее
матрицы с единичным определитетем: SL(n,F) = {A GL(n,F)| DetA = 1}
GL(n,F). Педантично применим к SL(n,F) критерий подгруппы. Зададимся
произвольными матрицами A, B SL(n,F) (т.е., DetA = DetB =1). Согласно
правой части (1), адаптированной к нашему примеру, нужно установить, что
A 1 B SL(n,F). Для этого необходимо найти Det(A 1 B) и убедиться, что он
равен 1 (характеристическое свойство матриц, составляющих SL(n,F)).
Находим: Det(A 1 B) = Det(A 1 ) DetB = Det(A) 1 DetB = 1 1 1 = 1. Итак,
критерий удовлетворен, следовательно SL(n,F)<GL(n,F). Группу SL(n,F)
называют специальной линейной группой (n-матриц над полем F).
3. В симметрической группе S п отберем подстановки со знаком
«плюс»: А n = { S п | sign = 1} S п (в обозначении А n буква А - от
англ. alternate – чередовать(ся)). Процедура применения к А n критерия
подгруппы формально не отличается от процедуры, реализованной в примере
2. Мы ее опускаем и сразу фиксируем, что А n < S п .
4. Группа G(n,1) является подгруппой группы C*: G(n,1) < C*.
5. Пусть G - произвольная группа и {H | H <G} А - любое
семейство ее подгрупп, где индексы , помечающие подгруппы H ,
образуют некоторое множество А. По критерию подгруппы легко
9
устанавливается, что ( А H ) < G. Лингвистическая редакция этого свойства
следующая: пересечение любого семейства подгрупп данной группы
является ее подгруппой.
§3. Левая и правая смежности на группе, порожденные
подгруппой. Классы смежности, их строение
Пусть в группе G выделена произвольная подгруппа H.
Определение. Бинарные отношения L и R на группе G, задаваемые
посредством H соотношениями
x 1 y H
xLy
def
х,у G
xRy
(1)
1
xy H
называются, соответственно, левой (англ. left – левый) и правой (англ. right правый) смежностями. Соответственно будем говорить, что (в группе G)
элемент х лево или право смежен элементу у (по подгруппе H).
Комментарий. В соотношении (1) использован символ
эквиваленции со значком def вверху. Иногда мы будем пользоваться таким
способом
визуализации,
формализации
формулируемого
или
сформулированного перед этим определения (англ. definition – определение),
def математический символ (в
понимая, что стоящий под знаком
рассматриваемом случе это - эквиваленция) используется именно для
определения, не доказательства.
Формулы (1) указывают, что в абелевой группе G при любом выборе
ее подгруппы H смежности L и R совпадают: L = R. В противном случае
совпадение смежностей - L = R - это особенность подгруппы H. Здесь же
стоит указать на совпадение
L и R, порождаемых несобственными
подгруппами E = {1}и G произвольной группы G. В первом случае всякий
х G лево (право) смежен только сам себе, а во втором - любые два
элемента из G лево (право) смежны.
Основные свойства, смежностей L и R, необходимые нам ниже,
раскрывает следующая
Теорема. Пусть H < G
1.
х G, у H
(xLxy xRyx)
(2)
10
2 . Левая и правая смежности на группе, порожденные любой ее
подгруппой, являются отношениями эквивалентности.
Доказательство. 1.
Реализуется
тривиальной проверкой:
установить, например, что xLxy - это значит проверить (см. (1)), что x 1 (xy)
H, что практически очевидно! Точно также и во втором случае.
2. Доказательство проведем для одной из смежностей, например,
для L.
Рефлексивность L. Возмем х G. Находим: x 1 х=1 H, т.е.,
согласно первому соотношению (1), прочитанному для у=х справа налево, x
Lх.
Симметричность L. Возьмем х,у G и пусть xLy. Согласно (1),
это означает, что x 1 y H. Поскольку H<G, то обратный элементу x 1 y также
лежит в H. Формализовав сказанное и сделав необходимые и очевидные
преобразования, получим: (x 1 y) 1 = y 1 (x 1 ) 1 = y 1 x H, что прочитывается
как yLx.
Транзитивность L. Возьмем х,у,z G и пусть xLy и уLz, т.е,
согласно первой строке (1), x 1 y, y 1 z H. Если же два элемента лежат в
подгруппе H, то их произведение также лежит в H: (x 1 y)(y 1 z) = x 1 (yy 1 )z =
x 1 z H. Иными словами (см. (1)), хLz. Теорема доказана.
Пусть в группе G выделена подгруппа H: H < G. Всякий элемент
х G порождает
- относительно смежностей L и R классы
эквивалентности, которые мы будем называть соответственно левым и
правым классами смежности, порожденными элементом х, и обозначать
через х G (левый класс) и G х (правый класс). Из левых класов смежности
составлено одно фактор-множество, обозначим его Н \G, а из правых другое фактор-множество G/ Н :
def
Н \G { х G| x G},
def
G/ Н { G х |x G}
(3)
Фактор-множества Н \G и G/ Н называются, соответственно, левым
и правым разложениями группы G по погруппе H.
Теорема. Следующие соотношения раскрывают строение левого и
правого классов смежности элемента х G:
х
G = xH = {xt| t H}
(4)
G х = Hx = {tx| t H }
(5)
11
Доказательство. Докажем, краткости ради, одну из формул,
например (4). Используя положения теории множеств, нам надлежит
установить два включения: х G xH и xH х G. Установим их.
1. Возьмем у х G. Это значит, что xLy или x 1 y H или, в другой
редакции, t H такое, что x 1 y = t, т.е., y = xt xH. Итак, мы установили
истинность импликации у х G y xH. Но это и означает, что х G xH.
2. Возьмем теперь у xH. Согласно правой части формулы (4) это
означает, что t H такое, что y = xt. Но отсюда следует, что t представимо
так: t = x 1 y ( H), т.е., xLy, а потому у х G. Следовательно, xH х G.
Теорема полностью доказана.
Примеры. 1. Для несобственных подгрупп Е и G группы G
(напомним, что в этих случаях L = R) классы смежности, согласно формулам
(4), (5), имеют тривиальное строение (см. §3):
Е: х G,
х
G = G х = {x}
(6)
G: х G,
х
G = Gх = G
(7)
2. Этот пример очень важен для дальнейшего, поэтому мы
остановимся на нем подробно. Рассмотрим подгруппу mZ аддитивной
группы Z. Поскольку Z - абелева, смежности L и R на ней, порожденные
подгруппой mZ, совпадают. Поэтому, в зависимости от удобства, в
конкретных случаях мы будем пользоваться одной из них. Далее, совпадение
L и R делает возможным использование в записях «смешанного» варианта когда в одной и той же записи для удобства ипользуются обозначения,
закрепленные за обеими смежностями. По формулам (4), (5),
адаптированным для аддитивной групповой операции, для целого числа х
Z получим:
Z х = х+ mZ = {x+mt| t Z}
(8)
По определению правой смежности, два числа х,у Z право смежны, если
х-у mZ
(9)
т.е., разность целых чисел х и у кратна натуральному m (разность (x – y)
делится на m - (x – y)÷m или, что то же самое, m делит разность (x – y) m|(x – y)).
12
Смежности целых чисел по подгруппе mZ можно придать еще
одно содержание. Мы исходим из того, что любое целое число х можно
единственным образом разделить с остатком на произвольное натуральное m:
x Z, m N, !q
Z, !r N 0 (r < m),
x = mq + r
(10)
Числа q и r в (10) называют (неполным) частным и остатком от деления x на
m. Из (10) видно, что при фиксированно m остаток r может принимать лишь
m значений:
r = 0, 1, . . . , m-1
(11)
Далее, из равенства (10) непосредственно усматриваем, что разность (x-r)
mZ (см. (9)), т,е., при делении на m всякое целое число смежно (по
подгруппе mZ) своему остатку, а значит Z х = Z r . Таким образом, m классов
смежности, порожденных m числами (11) - потенциальными остатками от
деления целых чисел на m - задают разложение (левое или правое - они
совпадают) аддитивной группы Z по подгруппе mZ:
Z / mZ = { Z 0 , Z 1 , . . . , Z m1 }
(12)
Эквивалентностный характер смежностей L и R на группе G по
подгруппе H, а также характер строения классов смежности, раскрываемый
формулами (4), (5), являются основанием для установления связи между
порядком группы G и порядком ее подгруппы H в случае конечности группы
G. А именно, имеет место
Теорема Лагранжа. Порядок подгруппы H конечной группы G
делит порядок самой группы.
Формализация:
(H < G) (OrG N) (OrH)|(OrG)
(13)
Доказательство. Пусть G - конечная группа порядка n. Пусть,
далее, OrH = k. Возьмем - для определенности - правое разложение
группы G по подгруппе H, задаваемое второй формулой (3). Конечность
группы G детерминирует конечность разложения G/ Н . Допустим, что число
элементов
разложения
G/ Н равно s. Тогда вторая формула (3)
специфицируется так:
13
G/ Н
= { Hx
1
, Hx 2 , . . . , Hx s }
(14)
Анализируя (14), мы устанавливаем: 1) согласно формуле (5). Каждый из
классов смежности Hx 1 , Hx 2 , . . . , Hx s содержит ровно столько элементов,
сколько их содержит H, т.е., k; 2) классы смежности Hx 1 , Hx 2 , . . . , Hx s
попарно не пересекаются, а их объединение дает всю группу G:
G = Hx 1 Hx 2 , . . . , Hx s
(15)
Из сказанного следует, что число элементов в правой части (15) равно sk, а
значит равно n:
n = sk
(16)
Но равенство (16) есть просто иная версия правой части (13), что и
доказывает теорему Лагранжа (Лагранж Жозеф Луи - французский
математик, 1736-1813).
§4. Нормальные делители группы. Факторгруппы
Пусть в группе G выделена подгруппа H. В §3 отмечено, что - за
исключением абелевых групп
совпадение смежностей
L и R,
порожденных подгруппой H, это
- особенность подгруппы H. Эта
особенность фиксируется в следующем определении.
Определение. Подгруппу H группы G называют ее нормальным
делителем или инвариантной подгруппой, если совпадают порожденные H
левая и правая смежности на G:
L=R
(1)
Обозначение: H <| G. Ясно, что совпадение левой и правой смежностей
эквивалентно совпадению левого и правого разложений группы G по
подгруппе H (см. (3) §3):
(L = R) ( Н \G = G/ Н )
(2)
Разложения (2) (это - одно и то же) в этом случае будем называть просто
разложением группы по ее нормальному делителю.
14
Теорема (критерий нормального делителя). Пусть в группе G
выделена подгруппа H. Тогда следующие три условия попарно эквивалентны
1.
2.
3.
H <| G
x G, y H,
x G,
х
(3)
x 1 yx H
(4)
G = Gх
(5)
Доказательство. Замечание. Нам необходимо доказать три
эквиваленции: 1 2; 1 3; 2 3. А так как каждая из них
(необходимое и достаточное условие) распадается на две импликации, то
всего предстоит доказать шесть утверждений. Мы, воспользовавшись
свойствами (законами) логических операций, поступим иначе: докажем три
импликации: 1 2; 2 3; 3 1. Будучи взятыми «вкруговую»
(конъюнкция), они обеспечат искомое доказательство.
1 2. Дано (3). Возьмем x G, y H. Тогда, согласно (2) §3,
xRyx. А так как R = L, то xLyx, откуда x 1 yx H. Мы получили (4).
2 3. Пусть дано (4). Возмем z х G = xH (см. (4) §3). Тогда t H
такое, что z = xt. Отсюда t = x 1 z. А так как t H, то (x 1 ) 1 t(x 1 ) =
(x 1 ) 1 (x 1 z)x 1 = zx 1 = s H, т.е., z = sх Hx = G х . Итак, доказано, что z х G
z G х , т.е., х G G х . Аналогично доказывается обратное включение G х х G, - что окончательно устанавливает (5).
3 1. Возьмем u,v G и пусть uLv. Тогда u v G, а в силу (5)
u G v , что означает uRv, т.е., выполняется (1), а значит - по определению выполняется (3). Теорема доказана.
Комментарий. Условие 2 (или (4) - что одно и то же) в
теоретико-множественной редакции (см. §2, Замечание к критерию
подгруппы) выглядит следующим образом:
G 1 HG H
(4*)
Доказанная теорема дает, по сути, два критерия нормального
делителя: ведь каждое из соотношений (4), (5) само по себе является
критерием.
Пример. Применим критерий нормального делителя к подгруппе
SL(n,F) (специальная линейная группа) полной линейной группы GL(n,F).
Будем действовать в соответствии с (2). Нам надлежит установить
истинность правой часть (3). Выбираем A GL(n,F) и B SL(n,F). Нам
15
надлежит установить истинность соотношения А 1 ВА SL(n,F). Дляэтого
необходимо найти Det(А 1 ВА). Находим: Det(А 1 ВА) = Det(А 1 ) DetВ DetА =
Det(А 1 ) DetА = (DetА) 1 DetА = 1, т.е., А 1 ВА SL(n,F). В развертывании
последовательности равенств мы учли, что B SL(n,F), а значит DetВ =1.
Итак, SL(n,F) <| GL(n,F).
Нормальные делители групп являют собой источник для построения
новых групп. Делается это следующим образом. Пусть в произвольной
группе G выделена подгруппа H, являющаяся ее нормальным делителем:
H <| G
(6)
Рассмотрим разложение (2) группы по ее нормальному делителю:
G / H = {xH| x G}
(7)
Следующим правилом введем операцию умножения на G / H :
( xH), (уH) G /
def
H
(( xH) (уH) (ху) H)
(8)
У формулы (8), задающей умножение на G / H , есть один «дефект»:
потенциальная зависимость результата умножения классов смежности от
выбора в этих классах элементов, их представляющих. Нам надлежит
показать мнимый характер этой зависимости, т.е. доказать утверждение:
x,y,u,v G (((xH = uH) (yH = vH)) ((xy)H = (uv)H))
(9)
На языке математики доказать (9) значит установить корректность задающей
формулы (8). Докажем (9). Левая часть импликации (9) означает, что x 1 u,
y 1 v H. Установить истинность равенства в правой части импликации (9),
значит установить, что (xy) 1 (uv) H. Проверяем (внимание! - будет
выполнено тождественное преобразование и использован крнитерий (4)):
(xy) 1 (uv) = (y 1 x 1 )(uv) = y 1 (x 1 u)v = (y 1 (x 1 u) у)(у 1 v) H. Требуемое
доказано, формула (8) задает умножение на G / H корректно!
На приведенной ниже схеме визуально - в терминах «полосок» представлены группа G и фактор-группа G / H : основная горизонтальная
полоса
группа G; вертикальные полоски
- классы смежности,
составляющие фактор-группу G / H :
16
G
x
y
1
xy
xH
yH
H
(xy)H
G/
H
Покажем теперь, что G / H образут группу относительно умножения,
задаваемого формулой (8).
1. xH, yH, zH G / H ((xH)(yH))(zH) = ((xy)H)(zH) = ((xy)z)H =
(x(yz))H = (xH)((yz)H) = (xH)((yH)(zH)) - т.е., умножение в G / H
ассоциативно;
Легко проверяемо, что
2. H G / H (H = 1H !) - единица умножения;
3. (xH) 1 = x 1 H, т.е. любой элемент xH G / H обратим.
Итак, исходная группа G и ее нормальный делитель H послужили
своего рода исходным материалом для «строительства» новой группы G / H .
Построеннная группа G / H с групповой операцией, заданной формулой
(8), называется фактор-группой группы G по ее нормальному делителю H.
Пример. Проинтерпретируем изложенное примером аддитивной
группы Z и ее нормального делителя m Z, где m N (см. подробнее §3).
Фактор-множество Z / mZ конечно (см. (12) §3):
Z / mZ = { Z 0 , Z 1 , . . . , Z m1 }
(10)
По формуле (8) операция сложения на Z / mZ представлена так (опускаем
формальности):
Z k + Z s = Z k s
(11)
В (11) число k+s, если k+s m, заменяется его остатком от деления на m
(см. подробнее §3). Поскольку фактор-группа Z / mZ конечна, ее групповая
операция (11) представима таблицей Кэли (см. §1). Для большей наглядности
выберем m = 6 и построим таблицу Кэли для фактор-группы Z / 6 = {Z 0 ,
Z 1 , Z 2 , Z 3 , Z 4 , Z 5 }:
17
+
Z0
Z1
Z2
Z3
Z4
Z5
Z 0 Z1 Z 2 Z 3 Z 4 Z5
Z 2 Z 3 Z 4 Z 5 Z 0 Z1
В выше приведенной таблице выписана строка сумм элемента Z 2
(выбран в столбце) с каждым элементом фактор-группы Z / 6 (берутся
поочередно из строки). Так, например, таблица демонстрирует: - Z 2 = Z 4 .
§5. Гомоморфизмы групп. Основные понятия, свойства,
примеры
Пусть даны две группы G и S. При определенной взаимосвязи
между ними свойства одной из них могут переносится (быть может с
некоторыми ограничениями) на другую. В качестве одной из базовых
взаимосвязей между двумя группами выделяется отношение гомоморфизма.
Определение. Пусть даны две группы G и S. Считаем их
мультипликативными. Отображение : G S называют гомоморфным или
гомоорфизмом (гр. homo – похожий, подобный, morphe – форма) (группы G в
S), если выполняется требование:
х,у G ( (ху) = (х) (х))
Содержание определения
продублировать следующей схемой:
гомоморфизма
(1)
визуально
можно
18
G
S
(x)
x
(x) (y)
xy
(y)
y
Примеры. 1. Рассмотрим отображение мультипликативной
группы С* в мультипликативную группу R* - : С* R* - по правилу:
u С*, (u) = |u|
(2)
2. Пусть :GL(n,F) F* - отображение, заданное правилом:
A GL(n,F), (A) = DetA
(3)
Рутинной проверкой устанавливается, что в обоих примерах отображения
обладают свойством (1), т.е. являются гомоморфными.
3. Пусть G - произвольная группа и H - ее нормальный делитель
(см. (6) §4). Построим фактор-группу G/ H (см. (7) §4). Зададим отображение
: G G/ H по правилу:
x G, (x) = xH
(4)
Проверяем «на гомоморфизм» (опираясь на (4) и (8) §4): х,у G, (xу) =
(ху)H = (хH)(уH) = (x) (y). Проверено! Построенный гомоморфизм
группы G на ее факторгруппу G/ H называют каноническим гомоморфизмом.
Свойства гомоморфизмов. 1. Пусть : G S гомоморфизм
группы G в группу S. Тогда
(1) = 1
x G ( (x 1 ) = (x) 1 )
(5)
(6)
19
2 (Свойство композиции гомоморфизмов). Пусть G, S и T - три
группы и :G S и :S T - два гомоморфизма. Тогда их композиция
:G T есть также гомоморфизм ( применяется первым, - вторым).
Доказательство. 1. Докажем равенство (5). Возьмем x G и 1 G.
По определению гомоморфизма - равенство (1) - получаем: (x) = (1x) =
(1) (x). Это равенство тождественно можно переписать так: 1 (x) =
(1) (x). Отсюда, сократив равенство справа на (x), легко получается
требуемое.
Для доказательства равенства (6) используем (5) (доказано!).
Возьмем x G и 1 G. Находим: (1) = (хх 1 ) = (х) ( х 1 ) = (х)
(х) 1 = 1, отсюда - требуемое равенство (6).
2. Возьмем х,у G. Найдем ( )(ху): ( )(ху) = ( (ху)) =
( (х) (у)) = ( (х)) ( (у)) = ( )(х) ( )(у), а это - и есть
требуемое.
С гомоморфизмами групп связаны важные объекты, фиксируемые
следующим определением.
Определение. Пусть : G S гомоморфное отображение группы
G в группу S. Образ (G) группы G в S относительно называется образом
гомоморфизма и обозначается Im (англ. image - образ), а полный
прообраз 1 (1) единицы группы S относительно называется ядром
гомоморфизма и обозначается Ker( ) (англ. kernel - ядро).
Формульно-математическая версия определения образа и ядра
гомоморфизма выглядит следующим образом:
def
Im (G) = { (x)| x G} S
(7)
def
Ker { x G| (x) = 1} G
(8)
То же самое (определение и формулы (7), (8)) визуализируется
схемой:
20
G
S
Im
Ker
1
1 1
Так, например, в примере 1 находим: Im = R , Ker = {z C| |z| =
1}. Геометрически комплексные числа (точки или концы векторов на
координатизированной плоскости) - с модулем, равным 1, - образуют
единичную окружность.
Свойство (5) гласит, что всегда 1 Ker . Если ядро гомоморфизма
состоит только из 1 - Ker = {1}, - то его называют тривиальным.
Теорема. Пусть : G S гомоморфное отображение группы G в
группу S. Тогда
Im < S,
Kerφ <| G
(9 1, 2 )
Доказательство. Для доказательства отношений (9 1, 2 ) используем
критерии подгруппы и нормального делителя (см. §1 и §2).
1. Возьмем произвольные u,v Im . Пусть х и у из G - их
прообразы относительно гомоморфизма : (х) = u, (y)= v. Отсюда - так
как х 1 у лежит в G - последовательно, опираясь на (1), (6), устанавливаем:
( х 1 у) = (х 1 ) (у) = (х) 1 (у) = u 1 v Im , т.е., (9 1 ) доказано.
2. Установим в начале, что Kerφ < G. Возьмем х,у Kerφ. Находим:
1
( х у) = (х 1 ) (у) = (х) 1 (у) = 1 1 1 = 1, т.е., х 1 у Kerφ, а значит по критерию подгруппы - Kerφ < G. Далее, применяем к Kerφ критерий
нормального делителя (4) §4: х G, у Kerφ, ( х 1 ух) = (х 1 ) (у)
(х) = ( х) 1 ( х) = 1, т.е., х 1 ух Kerφ, а это и есть доказательство (9 2 ).
§6. Изоморфизмы групп. Определение, основные свойства,
примеры
Пусть даны две группы G и S.
21
Определение. Изоморфизмом (греч. iso – одинаковый, равный,
morphe - форма) или изоморфным отображением группы G на S называют
биективный гомоморфизм f: G S. В этом случае группу G называют
изоморфной группе S.
Пример. Рассмотрим две группы: мультипликативную группу R и
аддитивную группу R. Возьмем логарифмическое отображение (например,
по десятичному основанию) lg: R R первой группы на вторую.
Отображение lg - биективное и оно наделено свойством гомоморфизма (см.
(1) §5): х,у R , lg(ху) = lgх + lgу. Таким образом, мультипликативная
группа R изоморфна аддитивной группе R.
Свойства изоморфизмов. 1. Если f: G S - изоморфное
отображение группы G на группу S, то обратное отображение f 1 : S G так
же является изоморфизмом;
2. Если G, S и T - три группы, а f: G S и g: S T - два
изоморфизма, то их композиция gf: G T - также изоморфизм;
3. Пусть : G S - сюръективный (Im = S) гомоморфизм. Тогда
фактор-группа G/ Ker изоморфна группе S.
Доказательство. 1. Поскольку - по определению - изоморфизм f: G
S - это биективное отображение, мы можем построить для него обратное
отображение f 1 : S G также биективное. Возьмем u,v S. Пусть f 1 (u) =
x G, f 1 (v) = y G, или, что то же самое по сути, - f(x) = u, f(y) = v.
Поскольку f - изоморфизм, то, согласно (1) §5, f(xy) = f(x)f(y) = uv. Но тогда
f 1 (uv) = xy = f 1 (u) f 1 (v), т.е., f 1 - изоморфизм.
2. Устанавливается рутинной проверкой.
3. Так как Ker <| G, то мы можем построить фактор-группу G/ Ker
(см. (7), (8) §4). Зададим отображение f:S G/ Ker правилом:
у S, f(y) = xKer
(x) = y
(1)
Покажем, что правилом (1) действительно задано отображение (то
же самое: правило (1) задает отображение корректно). Для этого надлежит
установить, что фиксированному у S по формуле (1) отвечает единственный
(!) элемент xKer G/ Ker . В (1) класс смежности xKer задан своим
элементом х G. Если он задан другим своим элементом, например z xKer = zKer , - то это означает, что x 1 z Ker , т.е., (x 1 z) = 1, откуда
(x) = (z) и по формуле (1), прочитанной справа налево, f(y) = zKer , т.е.,
правилом (1) f(y) определяется однозначно.
22
Биективность f. Взяв произвольный элемент xKer G/ Ker , мы
по элементу х G, задающему xKer , немедленно найдем y = (x) S,
являющийся, согласно (1), прообразом в S для xKer G/ Ker : f(y) = xKer ,
т.е., отображение f сюръективно. Пусть теперь у 1 ,у 2 S, f(у 1 ) = f(у 2 ).
Согласно (1) это означает, что х 1 Ker = x 2 Ker , где - вновь согласно (1) x 1 и x 2 выбраны так, что (x 1 ) = y 1 и (x 2 ) = y 2 . Равенство х 1 Ker =
x 2 Ker означает, что x 1 1 x 2 Ker или - по иному - (x 1 ) = (x 2 ), т.е., y 1
= y 2 . Итак, f(у 1 ) = f(у 2 ) y 1 = y 2 , а это и есть индикатор инъективности
отображения f. Итак, f - биективно.
Покажем, что отображение f наделено свойством гомоморфизмов
(см. (1) §5). Возьмем х,у S и пусть u,v G - их прообразы относительно
гомоморфизма : (u) = х, (v) = у. Это, согласно (1), означает, что f(x) = u
Ker , f(y) = v Ker . Теперь в фактор-группе G/ Ker находим: (uKer )(vKer )
= (uv) Ker . Поскольку - отображение гомоморфное, то (uv) = (u) (v)
что, согласно (1), является основанием для конструирования следующей
последовательности равенств: f(xy) = f( (u) (v)) = f( (uv)) = (uv) Ker =
(uKer )(v Ker ) = f(x)f(y). Мы пришли к искомому: f(xy) = f(x)f(y), т.е., f гомоморфизм (биективный), а значит - изоморфизм. Свойство доказано.
Теорема (критерий изоморфизма). Гомоморфизм : G S
группы G в S является изоморфизмом (т.е. биективным отображением)
тогда и только тогда, когда
Im = S, Ker = {1}
(2)
Второе равенство (2) указывет на тривиальность ядра
гомоморфизма . Отсюда - иная лингвистическая версия критерия
изоморфизма: Гомоморфизм : G S группы G в S является изоморфизмом
(т.е. биективным отображением) тогда и только тогда, когда
Im = S, а ядро Ker тривиально.
Доказательство. Первое равенство (2) в иной редакции означает
всего лишь сюръективность . Поэтому предмет нашего внимания тривильность ядра гомоморфизма.
Необходимость.
Пусть гомоморфизм : G S является
изоморфизмом, а значит инъективен. По свойству (5) §5 1 Ker , а в силу
инъективности в Ker кроме 1 ничего больше нет, отсюда и тривиальность
ядра изоморфизма .
23
Достаточность. Пусть ядро гомоморфизма тривиально (Im =
S, т.е. сюръективность уже обеспечена). Возьмем х,у G и пусть (х) =
(у). Нам надлежит установить, что в этом случае обязательно х = у!
Основываясь на свойствах (5), (6) гомоморфизмов (см. §5), определении ядра
гомоморфизма, имеем цепочку импликаций: (х) = (у) (х) 1 (у) = 1
( S) (х 1 ) (у) = (х 1 у) = 1 х 1 у Ker = {1} х 1 у = 1 ( G)
х=у, что и констатирует инъективность . Теорема доказана.
Замечание. Изучение алгебраических структур есть изучение
свойств операций и отношений, заданных на множестве (множествах).
Изучая алгебраические структуры, исследователи не интересуются
природой элементов. С этих позиций даже поведение элементов структуры
по отношению к операциям и отношениям (например, свойства отдельных
элементов группы «быть единицей», вступать в отношение «обратимости» и
т.д.) - это, в конечном итоге, свойства операций и отношенй алгебраической
структуры, детерминирующей эти «поведения» элементов. С учетом
сказанного (игнорирование природы элментов алгебраической структуры)
с точки зрения алгебры две изоморфные группы (а в общем контексте - две
изоморфные алгебраические сруктуры) рассматриваются как «различные
экземпляры» одной и той же группы. Этим приемом часто пользуются, если
возникает необходимость, заменяя одну группу другой - ей изоморфной
(«один экземпляр» группы заменяют «другим ее экземпляром»). Данный
прием является очень мощным методологическим средством, применяемым в
математике.
§7. Степень и порядок элемента группы
Пусть G - произвольная группа (по умолчанию считаем ее
мультипликативной). Возьмем a G и n Z.
Определение. Целой - n-й - степенью элемента a группы G обозначается a n - называют элемент, определяемый равенством
aa . . . a (n сомножителей), если n>0;
def
an
1, если n=0;
a 1 a 1 . . . a 1 (-n сомножителей), если n<0.
(1)
24
При этом сам элемент
показателем степени.
a
называют основанием, а целое число n
-
Замечание. На практике рассматриваемая группа G часто бывает
аддитивной. В этом случае происходит соответствующая лингвистическая
трансформация: вместо целой степени a n элемента а говорят о его целом
кратном na с соответствующей поправкой обозначений и названий
(например, сомножитель слагаемое).
Основные свойства степеней. Пусть G - произвольная группа,
a G - произвольный ее элемент. Тогда
m,n Z,
a m a n = a m n ,
(a m ) n = a mn
(2 1, 2 )
Мы опускаем доказательства равенств (2 1, 2 ) как таковые и
ограничиваемся комментариями к ним, после которых сами доказательства
предстают рутинными и носят чисто технический характер.
Выскажемся подробно о равенстве (2 1 ). В равенстве (1) показатель
степени n может пребывать в трех модусах (лат. modus – состояние): n>0,
n=0, n<0. В исследуемом равенстве (2 1 ) фигурирует два показателя степени и
каждый из них - независимо от другого - может пребывать в трех модусах.
Следовательно, пара показателей m и n может - формально - пребывать в
девяти модусах (по типу «каждый с каждым»): 1. m>0 n>0; 2. m>0 n=0; 3.
m>0 n<0; 4. m=0 n>0; 5. m=0 n=0; 6. m=0 n<0; 7. m<0 n>0; 8.
m<0 n=0; 9. m<0 n<0. Далее, в третьем и седьмом случаях модус суммы
показателей m+n неоднозначен, а потому надлежит в каждом из них
рассмотреть три подмодуса (подслучая): 3 1 , 7 1 . m+n>0; 3 2 , 7 2 . m+n=0; 3 3 ,
7 3 . m+n<0. Итого, чтобы получит полное доказательство равенства (2 1 ), нам
надлежит рассмотреть 13 (!) случаев (модусов показателей степеней m, n,
m+n): модусы 1, 2, 3 1 , 3 2 , 3 3 , 4, 5, 6, 7 1 , 7 2 , 7 3 , 8, 9. Все эти случаи
технически сходны между собой (в этом
технический характер
доказательства), но этих случаев 13 (!) и в этом - рутинность процедуры. То
же самое относится и к равенству (2 2 ). Оставляем читателю реализовать
один-два модуса при доказательстве каждого из равенств (2 1, 2 ).
Определение. Пусть G - группа. Элемент a G называют
1. элементом нулевого порядка, если никакая его натуральная степень не
равна единице:
n N, а n ≠ 1;
(3)
25
2. элементом конечного порядка, если некоторая его натуральная степень
обращается в 1:
n N, а n = 1.
(4)
Примеры. 1. Возьмем мультипликативную группу C*. Очевидно,
что 5, -3 C* - элементы нулевого порядка, в то время как i,-1 C* элементы конечного порядка: i 8 = 1, (-1) 6 = 1.
2. Пусть ε - произвольный корень n-й степени из 1. Поскольку - по
определению - ε n = 1, то ε С* - элемент конечного порядка. Этот пример
- обобщение частных случаев i,-1 C* примера 1.
Определение. Пусть G - группа и a G - элемент конечного
порядка (выполняется (4)). Наименьшее натуральное число со свойством (4)
называют порядком элемента а и обозначают Ora (англ. Order - порядок;
внимание: в записи Ora буква а обозначает элемент!).
Замечание. По отношению к элементам нулевого порядка группы
принимаем специальное соглашение и пишем Ora = 0.
Примеры. 1.. В выше приведенных примерах Ori = 4, Or(-1) = 2.
2. Специального рассмотрения заслуживает общий случай с
комплексными корнями n-й степени из 1. В тригонометрической форме
корни n-й степени из 1 задаются формулами:
ε k = cos
2k
2k
+ isin
,
n
n
k=0, 1, . . . , n-1
(5)
При этом корень ε 1 является первообразным (его целыми степенями
исчерпывается множество всех корней n-й степени из 1):
k=0, 1, . . . , n-1 ε k = (ε 1 ) k
(6)
Формула (6) указывает, что число n в точности удовлетворяет определению
порядка элемента, т.е.,
Or ε 1 = n
(7)
Определение порядка элемента a группы G (элемента конечного
порядка!) формализуется следующим образом:
((Ora N) (a Ora = 1) (( n N (n < Ora)) (a n 1))
(8)
26
Основное свойство порядка элемента. Пусть a G
конечного порядка. Тогда
n
Z, (а n = 1)
-
элемент
(n 0 (modOra))
(9)
Доказательство. Необходимость. Пусть n Z таково, что
аn = 1
(10)
Разделим n с остатком на Ora:
n = (Ora)q + r,
0 r < Ora
(11)
Внесем в левую часть (10) n из (11) и выполним, опираясь на (2 1, 2 ), ряд
тождественных преобразований (помним, что в результате должны получить
1 - правую часть (10)):
а n = a (Ora) q r = a (Ora) q a r = (a Ora ) q a r = a r = 1
(12)
Но a r = 1 имеет единственное - в силу (8) - следствие: r = 0. Тогда из (11)
следует, что n (Ora) (или (Ora)|n, что то же самое), а это и есть правая часть
эквиваленции (9).
Достаточность. Выполнимость сравнения в правой части
эквиваленции (9) в иной интерпретации означает, что n делится на Ora без
остатка, т.е., в (11) r = 0. Тогда вычисляем а n с учетом (11) при r = 0.
Результат - а n = 1. Требуемое - доказано.
Следствие 1. Пусть a G - элемент конечного порядка. Тогда
m,n
Z ((a m = a n )
(m n (modOra)))
(13)
Доказательство почти очевидно: делим обе части равенства (в
левой части эквиваленции) (13) на a n , а затем к результату деления
применяем основное свойство порядка.
Следствие 2. У элементов конечного порядка группы и только у них
имеются совпадающие степени с различными показателями степеней:
((a G) (Ora N)) ( m,n Z (a m = a n ))
(14)
27
Доказательство. 1. Если a G - элемент конечного порядка, то,
например, m Z, a Ora = a q (Ora) (= 1).
2. Обратно, если для различных m,n Z (пусть m>n) a m = a n , то
а m n = 1 и а - элемент конечного порядка (см. (4)).
Очевидно, что следствию 2 логически эквивалентно утверждению:
Следствие 3. У элементов нулевого порядка группы и только у них
степени с различными показателями степеней различны:
((a G) (Ora = 0)) ( m,n Z ((m ≠ n) (a m ≠ a n )))
(15)
Возьмем элемент а G и построим множество всех его целых
степеней:
а Z = {a n | n Z}
(16)
Следстия 1-3 дают онование утверждать, что если Ora N, то множество а Z конечно, причем можно выписать все его элементы:
а Z = {a 0 =1, a 1 , a 2 . . . , a Ora1 }
(17)
Если же а G - элемент нулевого порядка - Ora = 0, - то множество а Z
бесконечно.
§8. Циклические подгруппы и группы
Пусть G - произвольная группа. Возьмем а G и построим
множество всех его целых степеней ((16) §7):
а Z = {a n | n Z}
(1)
Применение к а Z критерия подгруппы (см. (1) §2, использовать так же
основное свойство степеней (2 1, 2 )) приводит к выводу:
аZ < G
(2)
28
Определение.
Подгруппа
аZ
группы
G,
построенная
вышеуказанным способом, называется ее циклической подгруппой. Элемент
а называют ее образующим элементом (или - образующей).
Согласно заключительным выводам §7 циклическая подгруппа а Z
группы G конечна, если а - элемент конечного порядка и бесконечна в
противном случае. Причем, согласно (17) §7, в первом случае Orа Z = Ora.
Этот факт формализуется следующим образом:
a G, Ora N Orа Z = Ora
(3)
Определение. Группа G называется циклической, если она
совпадает с одной из своих циклических подгрупп. Формализация: группа G
циклическая, если
а G, а Z = G
(4)
Примеры циклических групп. 1. Формально, взяв в заданной
группе G произвольный элемент а, мы построим циклическую подгруппу а Z
группы G и тем самым получим циклическую группу а Z ;
2. Циклическими являются группы:
2 1 . Аддитивная группа Z: Z = 1Z. Элемент 1 - образующий
элемент этой группы;
2 2 . Группа G(n,1) комплексных корней n-й степени из 1. На этой
группе остановимся чуть подробнее. Формула (6) §7 указывает, что
G(n,1) = (ε 1 ) Z
(5)
т.е., G(n,1) - циклическая группа, причем, согласно (7) §7 и (3), имеем:
Or G(n,1) = n
(6)
Теорема. 1. Всякая бесконечная циклическая группа изоморфна
аддитивной группе Z;
2. Всякая конечная циклическая группа данного порядка
n
изоморфна группе комплексных корней n-й степени из 1.
Доказательство. В начале выскажем следующее соображение. В
терминологии Замечания, заключающего §6, рассматриваемая Теорема
утверждает, что: 1. С точностью до изоморфизма существует лишь одна
бесконечная циклическая группа (это - аддитивная группа Z, а любая другая
такая группа - это «другой ее экземпляр); 2. Точно та же ситуация
29
реализована при фиксированном натуральном n: с точностью до
изоморфизма существует лишь группа G(n,1). Доказательства теорем
«единственности с точностью до изоморфизма», - например для групп реализуются по следующей логической схеме: 1. одна из групп
рассматриваемого семейства - обозначим ее через G - выбирается в
качестве «эталона»; 2. с этой группой «сравнивается» любаяя другая группа
S семейства, а именно устанавливается изоморфизм группы S и «эталона»
G; 3. теперь, если S и T - две произвольные группы рассматриваемого
семейства групп, то в п.2 установлено наличие изоморфизмов u: S G и
v: T G. Но тогда, согласно свойствам 1, 2 §6 изоморфизмов групп,
отображение v 1 u: S T так же является изоморфизмом, что и завершает
доказательство всякой теоремы «единственности с точностью до
изоморфизма». Из изложения этой логической схемы видно, что базисными в
ней являются п.п. 1, 2. Если они исполнены, то п. 3 осуществляется
автоматически! Перейдем теперь непосредственно к доказательству теоремы
по изложенной выше схеме.
1. «Эталонной» группой выбирается адитивная группа Z (п. 1
логической схемы реализован). Пусть а Z - произвольная бесконечная
циклическая группа. Это, в частности, означает, что Ora = 0. Зададим
отображение u: Z а Z следующим образом:
n Z, u(n) = а n
(7)
Проверяем u «на гомоморфизм». Берем n,m Z и находим, согласно (7):
u(n+m) = а n m = а n а m = u(n)u(m). Т.е., u - гомоморфное отображение
аддитивной группы Z в мультипликативную группу а Z . Применим к u
критерий изоморфизма (см. §6). Сюръективность u вытекает из способа его
задания (7). Установим инъективность u, т.е. - согласно критерию тривиальность ядра Keru. По определению ядра Keru = {n Z| u(n) = а n = 1}.
Поскольку Ora = 0, то а n = 1 возможно лишь при n = 0. Т.е., ядро Keru = {0}
- тривиально, а значит u - изоморфизм. Тогда u 1 : а Z Z так же
изоморфизм. Тем самым, в этой части теорема доказана.
2. Здесь, при выбранном и фиксированном натуральном n, в
качестве «эталонной» выбирается группа G(n,1). В остальном технически
доказательство не отличается от части 1 теоремы. (пусть читатель проведет
доказательство самостоятельно).
30
Глава II. Элементы теории колец
§1. Определение, примеры, простейшие свойства колец
Определение. Кольцом называют алгебраическую структуру (R, +,
), где R - множество, «+» и «×» - бинарные операции на нем, назоваемые
соответственно сложением и умножением (знак умножения «×» в записях
традиционно опускается),
обладающую следующими изначальными
свойствами (аксиомы кольца):
1. Множество R имеет не менее двух элементов;
2. Аддитивная структура (R, +) является абелевой группой;
3. Мультипликативная структура (R, ×): 1. коммутативна; 2.
ассоциативна; 3. имеет единицу; (в этом случае структуру (R, ×) называют
(коммутативной или абелевой) полугруппой - в отличие от группы
отсутствует требование обратимости любого элемента);
4. Умножение дистрибутивно относительно сложения:
x,у,z R (x(y+z) = xy + xz)
(1)
Комментарий. Мы сформулировали определение т. н. коммутативноассоциативного кольца с единицей. Именно такие кольца и будут предметом
нашего внимания. В общей же теории колец аксима 3 в определении кольца
отсутствует, а в аксиоме 4 (конечно, в этом случае она будет аксиомой 3)
требуется дистрибутивность умножения относительно сложения как слева,
так и справа. В нашем же случае, в силу коммутативности умножения,
достаточно требования односторонней дистрибутивности умножения
относительно сложения.
Прмеры. 1. Числовые кольца С, R, Q, Z;
2. Из серии числовых колец специально остановимся еще на одном
примере - кольце целых гауссовых (гауссовских) чисел. Это - кольцо
следующих комплексных чисел: Z[i] = {a+bi| a,b Z, i 2 = -1}. Не
представляет затруднений проверить, что Z[i] - кольцо относительно
обычных операций сложения и умножения.
3. Кольцо Z / mZ - кольцо вычетов целых чисел по модулю m, где m
N. Это - интересное кольцо и мы остановимся подробнее на его
строительстве. Возьмем фактор-группу Z / mZ (см. (10) §4 Главы I):
Z / mZ = { Z 0 , Z 1 , . . . , Z m1 }
операция которой задается формулой (11) §4 Главы I:
(2)
31
Z k + Z s = Z k s
(3)
На аддитивной группе Z / mZ зададим еще одну операцию - умножение - по
следующему правилу:
Z k Z s = Z ks
(4)
Как и в случае фактор-группы необходимо доказать корректность
умножения, задаваемого формулой (4) (см. (8). (9) §4 Главы I). Т.е.,
необходимо доказать утверждение:
x,y,k,s
Z, (Z x = Z k ) (Z y =Z s )
Z xy = Z ks
(5)
Действительно, равенства (Z x = Z k ) (Z y =Z s ) ознчают, что разности чисел
x - k и y - s делятся на m (см. §3):
(x – k)÷m (y – s)÷m
(6)
Установить правую часть импликации (6) - это значит установить делимость
разности xy – ks на m:
(xy – ks)÷m
(7)
Проводим очевидные тождественные преобразования разности xy – ks и,
опираясь на (6), получаем искомое: xy – ks = xy - xs + xs - ks =( x(y – s) +
s(x – k))÷m.
Итак, формула (4) корректно определяет на Z / mZ операцию
умножения. В результате мы получили алгебраическую структуру Z / mZ с
двумя операциями - сложением (3) и умножением (4). Несложная проверка
выполнимости для этой структуры аксиом кольца приводит к
положительному результату: Z / mZ с двумя операциями - сложением (3) и
умножением (4) - является кольцом. Это кольцо и называют кольцом
вычетов целых чисел по модулю m. Заметим, что в кольце Z / mZ единицей
является элемент Z 1 .
Рассмотрим конкретный пример кольца вычетов Z / 6 Z . В конце §4
Главы I таблицей Кэли задана операция сложения аддитивной группы Z / 6 Z .
Наделим группу Z / 6 Z умножением по правилу (4). Поскольку группа Z / 6 Z -
32
конечна, то уазанное умножение в Z / 6 Z можно задать такой же таблицей
Кэли (при этом, как и в случае таблицы Кэли, задающей сложение на Z / 6 Z см. §4 Главы I - мы явно выписали строку произведений элемента Z 2 на все
элементы из Z / 6 Z ):
×
Z0
Z1
Z2
Z3
Z4
Z5
Z 0 Z1 Z 2 Z 3 Z 4 Z5
Z0 Z2 Z4 Z0 Z2 Z4
Из интересного по этой таблице можно отметить, что: 1) не все
элементы кольца Z / 6 Z - даже ненулевые - обратимы (Z 2 необратим); 2) в
кольце Z / 6 Z произведение ненулевых элементов может обращаться в нуль
(Z 2 Z 3 = Z 0 ).
Простейшие свойства колец. Пусть R
-
произвольное кольцо.
Тогда
1.
х R, 0х = 0
(9)
2.
1≠0
(10)
3.
х R, (-1)x = -x
(11)
4.
х,y R, -(xy) = (-x)y = x(-y)
(12)
Доказательство каждого свойства основано на аксиомах кольца
(свойство 1) и предыдущих свойствах из этого списка (свойства 2-4). Для
определенности проведем доказательства свойств 1, 3. 1. Возьмем х R и
33
составим два равенства: х + 0 = х, х + 0х = 1х + 0х = (1 +0)х = 1х = х. Итак, х
+ 0 = х + 0х, отсюда - (9). 3. Возьмем х R и, выполняя тождественные
преобразования, последовательно находим: х + (-1)х = 1х + (-1)х = (1 + (-1))х
= 0х = 0. Итак, х +(-х) = х + (-1)х, откуда вытекает (11).
В заключение параграфа рассмотрим важную мультипликативную
группу, связанную с кольцом R. Обозначим через GR - множество всех
обратимых элементов кольца R. Так, например, GZ = {1, -1}, GC = C*.
Легко устанавливается, что GR - это мультипликативная группа,
относительно операции умножения исходного кольца R. Группа GR и
называется мультипликативной группой кольца R.
§2. Подкольца, идеалы колец. Определение, примеры, свойства,
критерии.
Пусть R - произвольное кольцо.
Определение. Подмножество S R кольца R называют его
подкольцом - обозначают S < R - если S само образует кольцо
относительно (кольцевых) операций сложения и умножения исходного
кольца R.
Примеры. 1. Всякое кольцо является своим подкольцом: R< R; 2. Z
< R; R < C и т.д. Примеров числовых колец-подколец можно привести
много.
Теорема (критерий подкольца). Пусть R - произвольное кольцо и
S R - его непустое подмножество. Тогда
(S < R) ((1 S) (S-S S) (SS S))
(1)
Доказательство. Прежде всего, обратим внимание на теоретикомножественную редакцию критерия подкольца (см. §2, Замечание к
критерию подгруппы). Второе условие правой части (1) это - аддитивная
версия критерия подгруппы, представленного в §2 Главы I в
мультипликативной версии.
Необходимость. Итак, пусть S < R. Тогда сразу можно
констатировать выполнимость первого условия правой части (1). Далее, по
определению подкольца аддитивная группа (S, +) подкольца S является
подгруппой аддитивной группы
(R, +) кольца R: (S, +) < (R, +).
34
Следовательно, для подгруппы (S, +) группы (R, +) выполняется критерий
подгруппы, каковым является второе условие (1). Наконец, наличие в
подкольце операции умножения в теоретико-множественной редакции и есть
третье условие (1).
Достаточность. Пусть теперь S R - непустое подмножество кольца
R, на котором реализованы три условия правой части (1). Надлежит
проверить выполнимость на S всех аксиом кольца (см. §1, Определение
кольца). Последовательно проводим эту проверку. Второе условие правой
части (1) - это критерий того, что (S, +) < (R, +), т.е., (S, +) - аддитивная
(конечно - абелева!) группа и, следовательно, для S выполняется аксиома I
определения кольца. Кроме того, третье условие (1) - это теоретикомножественная редакция того факта, что на S задана - кроме сложения - и
операция умножения. Итак, мы имеем алгебраическую структуру (S, +, ), по
отношению к которой реализована аксиома II определения кольца. Далее,
первое условие правой части (1) совпадает с условием 3 аксиомы III, а
коммутативность, ассоциативность умножения и его дистрибутивность
относительно сложения, будучи реализованными на всем кольце R, конечно
же реализуются и на его части S. Тем самым, для S завершена проверка
аксиомы III и проверена аксиома IV определения кольца. Выполнимость
аксиомы I обеспечена свойством 2 колец и тем, что 0,1 S.
Подкольца - это один тип подструктур структуры кольца. Мы
рассмотрим еще один тип - идеалы кольца.
Определение. Непустое подмножество I R кольца R называют его
идеалом - обозначают I <| R, - если
1. I является подгруппой аддитивной группы кольца R:
(I, +) < (R, +);
(2)
2. I замкнуто относительно умножения на элементы кольца R:
RI I.
(3)
Примеры. 1. Идеалами кольца R являются оно само и множество {0}:
R, {0} <| R
(4)
Идеалы R, {0} называются несобственными идеалами кольца R.
2. В кольце R возьмем произвольный элемент а и построим
множество «R-кратных» элемента а (в различных обозначениях):
35
(а) = аR = Rа = {xa| x R}
(5)
Легко проверяется, что Rа - идеал кольца R:
Rа <| R
(6)
Определение. Постренный по правилу (5) идеал Rа кольца R
назывется его главным идеалом. Элемент а при этом называют образующим
(элементом) идеала Rа или говорят, что идеал Rа образован элементом а.
Замечание. Легко видеть, что в кольце Z множество mZ является
главным идеалом. Несобственные идеалы (4) кольца R можно трактовать как
главные идеалы: R = R1, {0} = R0.
Теорема (критерий идеала). Пусть I R - непустое подмножество
кольца R. Тогда
(I <| R ) ((R-R R) (RI I))
(7)
Доказательство критерия идеала, с учетом изложенного выше,
предстает чисто формальным. Действительно, второе условие правой части
эквиваленции (7) есть второе условие определения идеала (см. (3)), а первое
- критерий подгруппы в аддитивной версии, что по существу, совпадает с
первым условием определения идеала.
Комментарий. Между подкольцами и идеалами кольца есть сходные
признаки. Например, и те, и другие - подгруппы аддитивной группы кольца.
Более того, в предельном случае несобственное подкольцо R кольца R и его
несобственный идеал R - совпадают. Но есть между подкольцами и
идеалами кольца различия: например, идеал может состоять из одного нулевого - элемента, а подкольцо - нет (содержит не менее двух
элементов).
И по отношению к подкольцам, и по отношению к идеалам кольца
имеет место утверждение, аналогичное свойству 5 подгрупп (см. §2 Главы I):
Свойство 1. (о пересечении подколец и идеалов). Пересечение
любого семейства подколец (идеалов) кольца является его подкольцом
(идеалом).
Для идеалов кольца есть еще одно свойство, не имеющее силы по
отношению к подкольцам.
36
Свойство 2. Сумма двух (и более) идеалoв кольца является его
идеалом.
Формализация Свойства 2 (для двух идеалов):
(I,J <| R) ((I+J)<|R)
(8)
В правой части (8) сумма I+J употреблена в теоретикомножественном смысле, описанном в §2 Главы I: I+J = {x+y|x I, y J}.
Применение критерия подкольца (идеала) делает доказательство
Свойств 1, 2 совершенно прозрачным.
§3. Фактор-кольца
Построение фактор-кольца в основных своих чертах, по логическим
основаниям повторяет построение фактор-группы.
Пусть I - идеал кольца R:
I <| R
(1)
Согласно определению идеала по сложению I - подгруппа аддитивной
группы кольца R (см. (2) §2). Поскольку аддитивная группа кольца R абелева,
I - как подгруппа - является нормальным делителем группы (R, +) и мы
можем построить фактор-группу R/ I
R/ I = {x+I| x R}
(2)
с операцией сложения на ней, задаваемой формулой
def
(x+I) + (y+I) (x+y)+I
(3)
Внесем теперь в аддитивную группу R/ I операцию умножения по
следующему правилу:
def
(x+I)(y+I) xy+I
(4)
Покажем корректность умножения, задаваемого формулой (4). Т.е.,
надлежит установить:
((x+I = u+I) (y+I = v+I)) (xy+I = uv+I)
(5)
37
Действительно, равенства в правой части эквиваленции (5) означают, что (xu), (y-v) I. Из этого, по второму условию определения идеала (см. §2),
заключаем, что (x-u)y, u(y-v) I, а по первому условию определения идеала
там же) получаем: (x-u)y + u(y-v) = xy-uv I, т.е., выполняется правая часть
эквиваленции (5).
Итак, мы имеем алгебраическую структуру (R/ I , +, ) с операциями
сложения и умножения, заданными (корректно!) формулами (3), (4). Чисто
автоматические усилия по проверке аксиом кольца для этой структуры
(провести самостоятельно) убеждают, что (R/ I , +, ) - кольцо. Отметим, что
единицей кольца R/ I является элемент (1+I) R/ I .
Определение. Построенное выше кольцо (R/ I , +, ) называется
фактор-кольцом кольца R по идеалу I.
Замечания. 1. В §1 нами - в качестве примера - построено кольцо
Z / mZ . Сравнивая процедуру построения кольца Z / mZ с процедурой
построения фактор-кольца R/ I мы видим, что эти процедуры логически
идентичны: кольца построены по одному логическому стандарту.
Следовательно, мы можем отметить, что кольцо Z / mZ - это фактор-кольцо
кольца Z по (главному) идеалу mZ.
2. Это замечание носит методологический характер, т.е., касается
способов, логических оснований построения и изучения различных разделов
алгебры - в данном случае вопросов теории групп и теории колец. Следует
обратить внимание на некоторое сходство подгрупп и нормальных делителей
группы с одной стороны с подкольцами и идеалами кольца - с другой. В
частности, нормальные делители группы позволяют - по определенной
схеме (см. §4 Главы I) - строить новые фактор-группы, а идеалы - по той
же схеме (см. наст. §3 и ср. с §4 Главы I) - позволяют строить фактор-кольца.
Отмеченное сходство колец
сходство с гомоморфизмами и
изоморфизмами групп - проявляет себя и при рассмотрении изоморфизмов
и гомоморфизмов.
§4. Гомоморфизмы и изоморфизмы колец
Пусть даны два кольца R и S. Считаем, что кольцевые операции в
обоих кольцах одинаково обозначены: «+» и «×».
Определение. Отображение : R S кольца R в S называют
гомоморфным или гомоморфизмом, если
38
x,y R, (x+y) = (x) + (y)
(1)
x,y R, (xy) = (x) (y)
(2)
(1) = 1
(3)
Комментарий. Первое условие кольцевого гомомоморфизма - это
гомоморфизм аддитивной группы кольца R в аддитивную группу кольца S
(см. §5 Главы I). По умножению кольцо - не группа, поэтому, наряду с
формально «гомоморфичным» условием (2), требуемым от умножения,
дополнительно налагается условие (3).
Пример. Пусть R - произвольное кольцо и I - его идеал (см. (1)
§3). Построим фактор-кольцо R/ I кольца R по идеалу I (см. (2) §3; операции
задаются формулами (3), (4) §3). Зададим отображение : R R/ I по
правилу:
x R, (x) = x+I
(4)
Контекст построения фактор-кольца R/ I (см. §3) показывае что : R R/ I гомоморфизм. Более того, это
сюръективный гомоморфим. Так
построенный гомоморфизм кольца R на фактор-кольцо R/ I называют
каноническим.
Замечание. Канонический кольцевой гомоморфизм, - если его
ограничить на аддитивную группу кольца, - есть канонический групповой
гомоморфизм (см. Пример 3 §5 Главы I).
Определение. Изоморфизмом или изоморфным отображением
кольца R на кольцо S называют биективный гомоморфизм. Т.е., к условиям
(1) - (3) определения гомоморфизма добавляется условие его биективности.
Следующие понятия, свойства, теоремы, касающиеся кольцевых
гомоморфизмов и изоморфизмов, по своей форме и логическим основаниям
повторяют этот же контекст, уже изложенный для групп (см. §5, 6 Главы I).
Поэтому, мы представим заявленное конспективно, обзорно, оставляя
необходимые выкладки для самостоятельной проработки.
Определение. Пусть : R S - гомоморфизм кольца R в кольцо
называют образом
S. Образ кольца R в кольце S относительно
гомоморфизма и обозначают Im , а полный прообраз нуля из S
относительно называют ядром гомоморфизма и обозначают Ker :
39
def
Im (R) = { (x)| x R} S,
def
Ker
1
(0) = {x R| (x) = 0} R
(5)
(6)
Свойства гомоморфизмов колец. 1. Если R, S и T - три кольца, а
: R S и : S T - гомоморфизмы, то их композиция : R Т так же гомоморфизм;
2. Если : R S - гомоморфное отображение кольца R в кольцо S,
то Im < S и Ker <| R.
Свойства изоморфизмов колец. 1. Если f: R S - изомоморфизм
кольца R на кольцо S, то f 1 : S R - так же изоморфизм;
2. Гомоморфное отображение : R S кольца R в кольцо S
является изоморфизмом в том и только в том случае, если Im = S
(сюръективность ) и Ker = {0} (тривиальность ядра, что равносильно
инъективности );
3. Пусть : R S - сюръективный (Im = S) гомоморфизм. Тогда
фактор-кольцо G/ Ker изоморфно кольцу S.
§5. Характеристика кольца
Пусть R - произвольное кольцо. Займемся его аддитивной группой
(R, +). По отношению к единице кольца мы можем поставить вопрос о ее
порядке Or1 как элемента его (кольца) аддитивной группы (см. §7 Главы I).
Определение.
Кольцо
R
называют
кольцом
конечной
характеристики, если в аддитивной группе кольца элемент 1 является
элементом конечного порядка. Если же 1 в аддитивной группе кольца R есть
элемент нулевого порядка, то R называют кольцом нулевой характеристики.
Порядок 1 в аддитивной группе кольца (натуральное число или ноль - см. §7
Главы I) называют характеристикой кольца и обозначают СharR (англ.
сharacteristic – характеристика):
def
СharR Or1
(1)
40
Примеры. 1. В аддитивной группе кольца Z элемент 1 есть элемент
нулевого порядка. Поэтому кольцо Z является кольцом нулевой
характеристики: Сhar Z = 0;
2. Возьмем кольцо Z / mZ (см. Пример 3 §7 Главы I). Элемент Z 1
(единица) аддитивной группы кольца Z / mZ является элементом конечного
порядка, причем OrZ 1 = m, т.е., кольцо Z / mZ является кольцом конечной
характеристики и Сhar Z / mZ = m.
Теорема. Если R - кольцо конечной характеристики, то
а R, (CharR)a = 0
(2)
Доказательство. Прямым вычислением находим CharR-кратное
(по-русски можно прочитать как «характеристико-кратное») элемента а:
а+а+ . . . +а = 1а+1а+ . . . +1а = (1+1+ . . . +1)а = 0а = 0
CharR слагаемых
.. .......
(3)
Or1 слагаемых
Выстраивая цепочку равенств (3), мы учли (1) и определение порядка
элемента группы (см. §7 Главы I).
§6. Делимость в кольце и главные идеалы. Делители нуля,
целостные кольца. Ассоциированные элементы кольца
Пусть R - произвольное кольцо.
Определение. Говорят, что элемент a R делит элемент b R обозначают a|b, - если с R, такой, что b = ac. При этом а называют
делителем, b - делимым.
Формальная редакция определения делимости:
def
(a,b R) (a|b ( c R, b = ac))
(1)
Замечание. Если a делит b, то говорят также, что b делится на a и
пишут: b÷a.
Из (1) следует, что
41
a,b R (a|b b Rа)
(2)
Т.е., делимость элементов кольца содержательно эквивалентно дублируется
отношением принадлежности делимого главному идеалу, образованному
делителем. В свою очередь, легко проверяется (см. определение главного
идеала в §2), что
b Rа Rb Ra
(3)
Таким образом, мы имеем три формы выражения делимости элементов в
кольце:
a,b R, (a|b (b÷a )) (b Rа) (Rb Ra)
(4)
Цепочка эквиваленций (4) получена соединением (2) и (3). В зависимости от
задачи будем пользоваться той или иной формой выражения отношения
делимости.
Основные свойства делимости. Пусть R - произвольное кольцо,
GR - его мультипликативная группа. Возьмем произвольные элементы а, b.
c R, u, v GR. В этих предположениях и обозначениях свойства делимости
формулируются так:
(a|b b|c ) a|c (транзитивность делимости)
(5 1 )
a|b a|bc
(5 2 )
(a|b a|c) a|(b+c)
(5 3 )
(a|b a|(b+c)) a|c
(5 4 )
((a|b (u GR)) (au)|b
(5 5 )
Докажем одно из свойств, например (5 4 ). Воспользуемся
формализацией (1) определения делимости. В правой части (5 4 ) два
отношения делимости формализуются, в соответствии с (1), так: u,v R, (b
= au) ( b+c = av). Во втором равенстве заменям b его выражением из
первого равенства, после чего находим с: c = a(v-u). А это и есть заключение,
стоящее в правой части (5 4 ).
42
Определение. Говорят, что кольцо R имеет делители нуля
(является кольцом с делителями нуля), если произведение каких либо
ненулевых его элементов обращается в нуль:
a,b R (a≠0 b≠0 ab=0)
(6)
Если же всегда в кольце R произведение ненулевых элементов не равно
нулю, или - что то же самое - произведение двух элементов обращается в
нуль лишь когда хотя бы один из сомножителей равен нулю, то кольцо R
называют кольцом без делителей нуля или областью целостности или
целостным кольцом. Как следует из предыдущего предложения, целостное
кольцо описывается каждой из следующих двух (логически эквивалентных)
формализаций:
a,b R ((a≠0 b≠0) (ab≠0))
(7)
a,b R ((ab=0) ((a=0) (b=0)))
(8)
Примеры. 1. Числовые кольца Z, Q, R, C - целостные;
2. Рассмотрим кольцо вычетов Z / mZ . Покажем, что при составном
m N кольцо Z / mZ обладает делителями нуля. Действительно, состАвность
m означает, что m разлагается в произведение двух натуральных
сомножителей - например k и s - и каждый из этих сомножителей больше
1 и меньше m:
m = ks,
1 < k, s < m
(9)
Рассмотрим теперь элементы Z k ,Z s Z / mZ . Оба эти элемента - не нули в
кольце Z / mZ (обеспечивается неравенствами (9)), а и их произведение, в
силу (4) §1 и равенства (5), обращается в нуль. Таким образом, кольцо Z / mZ
является кольцом с делителями нуля.
Введем еще несколько понятий и обозначений, удобных в
использовании. Причем в дальнейшем, если не оговорено иное,
рассматриваемые кольца считаются целостными.
Если a R, то через D а обозначают множество всех делителей
элемента а кольца R:
def
D а { b R| b|a}
(10)
43
Аналогично, через D a ,b обозначают множество всех общих делителей
элементов a,b R. Ясно, что:
def
D a ,b D а D b
(11)
Прпимеры. 1. R - произвольное кольцо: 1) u GR D u = GR; 2)
D 0 = R; 2. Кольцо Z: D 6 = { 1, 2, 3, 6}; D 4,6 = { 1, 2}.
Определение. Элементы a и b кольца R называются
ассоциированными (друг другу), если они делят друг друга (или делятся друг
на друга - что одно и то же):
def
(a, b - ассоциированы) (a|b b|a)
(12)
Замечание. Под определение ассоциированных элементов
формально подпадает случай a = b = 0. Везде в дальнейшем этот случай
исключается из рассмотрения, так что в (12) всегда считаем a и b отличными
от нуля.
Поскольку для элементов a и b кольца R - согласно (2) - «делить
друг друга» означает «делиться друг на друга», то определение
ассоциированных элементов кольца не изменится, если правую часть (12) мы
перепишем так:
def
(a, b - ассоциированы) (a÷b b÷a)
(13)
Если же воспользоваться формой (4) выражения делимости
элементов, то мы приходим к еще одной - наряду с (12), (13) - форме
выражения ассоциированности элементов кольца:
def
(a, b - ассоциированы) Rb = Ra
(14)
Воспользовавшись формулой (10), мы незамедлительно получаем
еще одну форму выражения ассоциированности:
def
(a, b - ассоциированы) D а = D b
(15)
44
Теорема. Элементы a и b кольца R ассоциированы тогда и только
тогда, когда они отличются друг от друга обратимым сомножителем.
Формализация:
(a,b - ассоциированы) (a bGR b aGR)
(16)
Доказательство. Необходимость. Пусть элементы a и b кольца R
ассоциированы. Тогда, согласно правой части (12), можем записать:
u,v R, (b = ua) (a = vb)
(17)
Заменим в первом равенестве (17) элемент а его выражением из второго
равенства. Преобразовав, получим:
b(1-uv) = 0
(18)
Поскольку R - целостное кольцо и b ≠ 0 (cм. Замечание к (12)), то (18)
имеет следствием 1-uv = 0, что означает обратимость элементов u и v:
u,v GR
(19)
В силу (19) равенства (17), декларирующие ассоциированность a и b,
обеспечивают выполнение соотношений правой части (16).
Достаточность. Пусть выполняется правая часть (16), например,
первое соотношение. Это означает выполнимость второго равенства (17),
причем v - обратим:
b|a v GR
(20)
Второе соотношение (20) на основании второго равенства (17) обеспечивает
равенство b = v 1 a, означающее, что a|b. А это, вместе с первым
соотношением (20) и есть левая часть (16).
Доказанная теорема предоставляет нам еще одну - наряду с (13),
(14) и (15) - возможность формализации ассоциированности элементов a и b
кольца R. А именно, ассоциированность a и b выразима правой частью (16).
§7. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное
элементов целостного кольца
Возьмем два элемента a и b произвольного целостного кольца R.
45
Определение. Наибольшим общим делителем (НОД) элементов
a,b R - обозначается НОД(a,b) или просто (ab) - называют такой их общий
делитель, который делится на любой их общий делитель.
Формализация Определения НОД:
def
(d (a,b)) (d D a ,b ( D a ,b ( |d)))
(1)
В кольце целых чисел для двух натуральных чисел их НОД в
сформулированном выше понимании является их известным НОД и он
наибольший по величине. В этой части название НОД перенесено в любое
кольцо.
Замечания. 1. Из Определения усматривается независимость НОД
от порядка элементов, так что всегда (a,b) = (b,a);
2. Формально под определение НОД нулевых элементов a и b
подпадает элемент 0: (0,0) = 0. В дальнейшем, однако, мы исключаем этот
случай из зоны нашего внимания, т.е., хотя бы один из рассматриваемых
элементов a или b считается ненулевым.
3. Определение фиксирует понятие НОД для двух элементов.
Логически ничто не препятствует заменить в определении два элемента на
три и т.д. В формализации (7) Определения НОД (a,b) заменяется на (a,b,c),
D a ,b - на D a ,b,c и т.д. Будем считать, что мы владеем понятием НОД любого
числа элементов.
Свойства НОД. 1. Если НОД элементов a,b R существует, то он
единственен с точностью до ассоциированных. Т.е., любые два различных
значения НОД этих элементов ассоциированы между собой;
Замечание. На основании этого свойства мы будем считать НОД
двух элементов фиксированным, т.е. в качестве НОД выбирается одно из
возможных ассоциированных между собой его значений. Это соглашение
отражено в формулировке следующих свойств НОД.
2.
a,b R ((a|b) ((a,b) = a))
(2)
3. Если для трех элементов a,b,c R существуют НОДы (a,b),
((a,b),c), (a,b,c), то
(a,b,c) = ((a,b),c)
(3)
46
Доказательство. 1. Пусть d 1 и d 2 - два значения НОД элементов
a,b R. Тогда, согласно правой части (1), с одной стороны d 1 ,d 2 D a ,b , а с
другой - d 1 и d 2 делят друг друга, т.е. - ассоциированы.
2. Согласно левой части (2) и на основании транзитивности
делимости (см. (5 1 ) §6) D a D b и поэтому D a ,b = D a D b = D a . Это
равенство подчиняет элемент а определению НОД элементов a и b.
3. Пусть (a,b,c) = d, (a,b) = u, (u,c) = v. Надлежит доказать, что d = v.
По определению НОД (см. (1)) в принятых обозначениях последовательно
получаем: 1) d D a ,b,c d D a ,b D c d D u D c d D u,c d D v , т.е,
d|v; 2) v D u,c v D u D c v D a ,b D c v D a D b D c v D a ,b,c ,
т.е, v|d. Следовательно, d и v - ассоциированы, что в рамках замечания к
формулировке свойства 1 означает d = v.
По отношению к понятию НОД элементов кольца своего рода
симметричным (двойственным, дуальным) понятием является понятие
наименьшего общего кратного элементов. Напомним, что множество всех
кратных элементу а R составляет главный идеал aR кольца R.
Определение. Наименьшим общим кратным (НОК) элементов a и b
целостного кольца R - обозначают [a,b] - называется такое их общее
кратное, которое делит любое их общее кратное.
Формализация Определения НОК:
def
(m [a,b]) ((m (aR bR)) ( k (aR bR) (m|k)))
(4)
По отношению к НОК имеют место свойства, аналогичные
(дуальные) свойствам 1 – 3 НОД. 1. Если НОК элементов a,b R существует,
то он единственен с точностью до ассоциированных. Т.е., любые два
различных значения НОК этих элементов ассоциированы между собой;
Замечание. На основании этого свойства мы будем считать НОК
двух элементов фиксированным, т.е. в качестве НОК выбирается одно из
возможных ассоциированных между собой его значений. Это соглашение
отражено в формулировке следующих свойств НОК.
2.
a,b R ((a|b) ([a,b] = b))
(5)
3. Если для трех элементов a,b,c R существуют НОКи [a,b],
[[a,b],c], [a,b,c] то
[a,b,c] = [[a,b]c]
(6)
47
Доказательство свойств 1 – 3 НОК основано на свойствах
делимости, Определении НОК и по логическим основаниям, технике
исполнения практически не отличается от доказательства свойств НОД.
Поэтому детальная реализация доказательств оставляется читателю.
Глава III. Основные типы колец
§1. Простые и составные элементы кольца. Факториальные
кольца. Каноническое разложение элемента факториального кольца
Пусть R - целостное кольцо. Возьмем произвольный элемент a
этого кольца и рассмотрим множество D a его делителей. Заметим, что
всегда
(GR D a ) (aGR D a )
(1)
Два соотношения (1) можно заменить одним:
a R ((GR aGR) D a )
(2)
Мы озабочены выяснением «качественного» состава D a . По этой
причине сразу исключаем из рассмотрения а = 0 и обратимые элементы а. В
первам случае D a = R, а во втором - D a = GR. В обоих случаях состав D a
известен. Формула (2) подводит к следующим рассуждениям и
умозаключениям. Множество D a делителей элемента а: 1. исчерпывается
делителями из GR aGR; 2. кроме делителей из GR aGR содержит
другие делители. Это обстоятельство отражено в следующем определении.
Определение. Ненулевой и необратимый элемент a кольца R
называют простым, если его делителями являются лишь обратимые и
ассоциированные с ним элементы из R. Если же а имеет - кроме названных
- другие делители, его называют составным элементом.
С учетом рассуждений, предваряющих это определение,
формализованные версии определения простого и составного элементов
могут быть представлены так (a ≠ 0, a – необратим):
def
(a R является простым) (D a = (GR aGR))
(3)
48
def
(a R является составным) (D a (GR aGR))
(4)
Належит заметить, что в правой части (4) включение - строгое.
Примеры. 1. В кольце Z элементы 2, -3 - простые, -10, 6 составные; 2. В кольце Z[i] элемент -3 - простой, а элемент 2 (внимание!)
- составной. Действительно, числа (1±i) D 2 , 1±i (GZ[i] 2GZ[i]). Иными
словами, этот пример описывается правой частью (4), т.е., подпадает под
определение сосоставного элемента.
Комментарий. Пример 2 указывает на относительность понятий
простого или составного элемента. Эти понятия конкретизируются при
указании кольца, в котором лежит этот элемент.
Теорема. Оба ассоциированных друг друга элемента кольца
одновременно простые или составные, если таков один из них.
Доказательство
оставляется читателю.
теоремы
не
представляет
затруднений
и
Введем определение и укажем важное для дальнейшего свойство
простых элементов.
Определение. Элементы a и b целостного кольца R называются
взаимно простыми, если их НОД обратим: (a,b) = 1.
Предложение. Пусть p,а R, из них p - простой. Если p D a (p не
делит а), то р и а взаимно просты: (p,a) = 1.
Доказательство. Действительно, согласно (3) D p = (GR pGR).
Поскольку p D a , то pGR D a , следовательно D a, p = D a D p = GR.
Согласно (1) §7 это и означает, что (p,a) = 1.
Определение. Целостное кольцо R назывют факториальным, (англ.
(мат.) factor - множитель), если всякий его ненулевой и необратимый
элемент а наделен свойствами (аксомы факториального кольца):
1. а хотя бы одним способом разлагается в произведение простых
элементов кольца R;
49
2. разложение а в произведение простых сомножителей, указанное в
аксиоме 1, единственное с точностью до ассоциированных сомножителей и
их порядка.
Если аксиома 1 Определения достаточно прозрачна, то аксиома 2
нуждается в Разъяснении. Имеется в виду следующее. Пусть мы имеем два
разложения элемента а R в призведение простых элементов:
a = p 1 p 2 …p s , s N
(5)
a = q 1 q 2 …q t
t N
(6)
Тогда обязательно число простых сомножителей p и q в правых частях (5) и
(6) одинаково
s=t
(7)
и, при надлежащей их (простых сомножителей) нумерации (перенумерации)
простые сомножители p и q с одинаковыми номерами - ассоциированы:
p i q i GR, i=1, … , s (=t)
(8)
Пример. Из школьного курса математики известно о (в новой
терминологии) факториальности кольца Z. На этом примере довольно
прозрачно прочитываются аксимы факториального кольца, особенно аксиома
2. Так, например, число 215061 не единственным способом разлагается на
простые сомножители: 215061 = 3×7×7×7×11×19 = (-7)×3×7×(-7)×19×11 =
11×(-7)×19×(-7)×7×3 и т.д. Но все эти разложения подчиняются аксиоме 2 и
формально регулируются соотношениями (7), (8).
Пусть дано факториальное кольцо R. Берем ненулевой и
необратимый элемент a R и разлагаем его в произведение (5) простых
сомножителей. В наборе простых сомножителей
p 1 , p 2 , …, p s
(9)
могут быть ассоциированные между собой сомножители. Выделим из (9)
группы попарно ассоциированных сомножителей. Поступим следующим
образом. Отберем из (9) все попарно неассоциированные элементы. Пусть,
для определенности, это будут элементы
p 1 , p 2 , …, p k , k s
(10)
50
Теперь, из оставшихся элементов
p k 1 , . . . , p s
(11)
набора (9) отберем все элементы, ассоциированные элементу p 1 . Пусть их
число - вместе с p 1 - равно i 1 . Ясно, что i 1 может равняться 1, что означает
отсутствие среди элементов (11) ассоциированных с p 1 . Каждый такой
элемент отличается от p 1 обратимым сомножителем. Поэтому, если в правой
части (5) перемножить p 1 и все ассоциированные с ним, то получим i 1 -ю
степень p 1 , умноженную на некоторый обратимый элемент:
u 1 p 1 i , где u 1 GR
(12 1 )
1
Далее, по этой же схеме из оставшихся сомножителей (11) отберем
ассоциированные элементу p 2 , число которых - вместе с p 2 - обозначим
через i 2 . Затем - по шаблону (12 1 ) для p 1 - сконструируем произведение
u 2 p 2 i , где u 2 GR
(12 2 )
2
Последовательно применяя описанную схему к оставшимся сомножителям
p 3 , …, p k из числа (10), мы получим степени типа (12), последней из
которых будет степень (произведение p k и элементов из (11),
ассоциированных ему):
u k p k i , где u k GR
(12 k )
k
Таким образом, каждая из степеней (12 1 k ) - это произведение всех
сомножителей из совокупности (9), попарно ассоциированных между собой,
умноженное на некоторый обратимый элемент. Следовательно, результатом
последовательности выполненных выше шагов будет новая редакция
разложения (5):
a = (u 1 p 1 i )( u 2 p 2 i ) . . . (u k p k i )
1
k
2
(13)
или
k
a = up 1 i p 2
1
где
i2
. . . pk
ik
= u pi s ,
s
s 1
(14)
51
k
u=
u
s
GR
(15)
s 1
Определение. Представление (запись) ненулевого, необратимого
элемента а факториального кольца R в виде (14) (произведение натуральных
степеней всех попарно неассоциированных делителей а и некоторого
обратимого
элемента)
называется
каноническим
разложением
(представлением) элемента а.
Замечание. Нас интересуют вопросы делимости элементов в
факториальном кольце. С этой точки зрения отношение делимости
сохраняется, если один или оба элемента, связанные этим отношением,
заменяются им ассоциированными. Поэтому в дальнейшем, записывая
каноническое разложение (14) элемента а, мы будем опускать обратимый
сомножитель u.
Сущность канонического разложения элемента имеет следствием
достаточно очевидное утверждение: Если p
простой элемент
k
факториального кольца R и p |a, то в каноническое разложение элемента а
простой элемент p входит с показателем степени s не меньшим чем k: k ≤ s.
.
§2. Делимость, наибольший общий делитель и наименьшее общее
кратное элементов в факториальном кольце
Здесь и ниже R - факториальное кольцо.
Свойства (особенности) делимости в факториальном кольце
1. Если простой элемент факториального кольца делит произведение
двух или более элементов, то он делит хотя бы один из сомножителей;
2. Пусть p - простой элемент кольца R, s, t N. Тогда
p s |p t s ≤ t
(1)
Доказательство. 1. Формализуем и докажем свойство для случая
двух сомножителей. Надлежит доказать:
a,b,p R (((p - простое) (p|ab)) ((p|a) (p|b)))
(2)
52
Случай ab = 0 тривиален и оставляется для анализа читателю. Исследуем,
поэтому, случай ab ≠ 0. Считаем, что хотя бы один из элементов a или b необратим, ибо в противном случае обратимо произведение ab и левая часть
(2) не выполняется. Для определенности пусть оба элемента a и b необратимы. Разложим каждый из них в произведение простых
сомножителей вида (5) §1:
a = p 1 p 2 …p s , s N
b = q 1 q 2 …q t
t N
(3)
(4)
Затем перемножим эти произведения:
ab = p 1 p 2 …p s q 1 q 2 …q t
(5)
В силу единственности разложений (3) и (4) для a и b их произведение (5)
будет единственным искомым разложением произведения ab в произведение
простых сомножителей и в этом разложении - согласно левой части (2) присутствует множитель p. Но это всего лишь означает, что p - это один из
сомножителей p i из (3) или один из сомножителей q j из (4), что
формализовано правой частью (2).
2. Необходимость. Пусть реализована левая часть (1), т.е., найден
элемент a R такой, что
p t = аp s
(6)
В силу второй аксиомы факториального кольца правая часть (6) - в своем
разложении на простые сомножители - совпадает с левой частью, а это
возможно лишь в случае, когда элемент а сам является степенью простого
элемента p: a = p k , где k N. Внося полученное разложение для а в правую
часть (6), получим t = s + k, откуда s ≤ k.
Достаточность. Читатель легко установит сам.
Рассматривая делимость элементов факториального кольца, часто
удобно представлять их канонические разложения в некоторой, специально
организованной записи. А именно, пусть элементы a,b R заданы
каноническими разложениями:
s
a=
q
i
i 1
i
, s, i N
(7)
53
t
b=
r
j
j
, t, j N
(8)
j 1
Построим объединение простых сомножителей q i и r j элементов a и b:
{q 1 , q 2 , . . . ,q s } {r 1 , r 2 . . . .,r t } = {p 1 ,p 2 , . . . ,p k }
(9)
По характеру своего построения правая часть (9) получается присоединением
к сомножителям q i недостающих (отличных от них) сомножителей из числа
r j или наоборот. Используем сформулированную в предыдущем
предложении лингвистическую матрицу для описания следующей
процедуры. Дополним правую часть (7) нулевыми степенями простых
сомножителей r j из (8), не входящих в (7), а правую часть (8) - нулевыми
степенями простых сомножителей q i из (7), не входящих в (8). В результатае
этой процедуры получим разложения для a и b, состоящие из степеней одних
и тех же простых элементов p u , составляющих правую часть (9), но
некоторые p u входят в эти разложения фиктивно, т.е, с нулевыми степенями:
k
a p i i ,
i 1
k
b pii
(10)
i 1
Определение. Записи (10) элементов a и b, полученные из их
канонических записей (7), (8) описанной выше процедурой, будем называть
согласованными каноническими записями (представлениями).
Пример. Пусть два целых числа представлены в каноническом
виде: a = 3 5 7 2 (11) 4 , b = 2 6 7 5 (11) 3 (13) 2 . Согласованными каноническими
представлениями a и b будут записи: а = 2 0 3 5 7 2 (11) 4 (13) 0 , b =
2 6 3 0 7 5 (11) 3 (13) 2 . Эти записи составлены из одних и тех же простых
сомножителей 2, 3, 7, 11, 13. Сомножители 2 и 13 фиктивно входят в запись
числа а, сомножитель 3 - в запись b.
Теорема (критерий делимости элементов факториального
кольца). Пусть элементы a и b факториального кольца даны своими
согласованными каноническими представлениями (10). Тогда
a|b i = [1,k]
( i ≤ i )
(11)
54
Доказательство. Необходимость. Пусть выполняется левая часть
(11). Тогда i = 1,k, p i |b. Тогда, согласно заключительнлму утверждению §1,
выполняется правая часть (11).
Достаточность. В силу правой части (11) мы можем представить
правую часть второго равенства (10) так:
ш
k
k
b = ( pi )( pi )
i
i 1
i
i
(12)
i 1
На основании первого равенства (10) мы усматриваем в первом сомножителе
правой части (12) элемент а, что утверждает левую часть (11).
Займемся поисками формул НОД и НОК двух элементов
факториального кольца. Итак, пусть элементы a и b факториального кольца R
даны своими согласованными каноническими разложениями (10) и пусть
D a ,b , который мы так же запишем в согласованном с a, b каноническом
виде
=
k
p
i
i
(13)
i 1
Нам надлежит установить значения показателей степеней i , при которых
общий делитель элементов a и b становится их наибольшим общим
делителем. Согласно критерию делимости (11) показател степеней i из (13)
подчиняются неравенствам
i = [1,k] ( i ≤ i ) ( i ≤ i )
(14)
Неравенства (14) рассматриваются в системе, решения которой задаются
неравенствами:
i = [1,k] , i ≤ min{ i , i }
(15)
Внимательный анализ (15) - в том числе с позиций критерия
делимости (11) - указывает на два обстоятельства: 1. элемент d =
k
p
min{ i ,bi }
i
D a ,b ;
2. D a ,b , |d. Но эти два условия есть факт проверки
i 1
элемента d на статус НОД элементов a и b, и d эту проверку выдержал. Таким
образом, нами получена формула НОД двух элементов факториального
кольца, заданных своими согласованными каноническими разложениями:
55
k
k
k
( pi , pi ) =
i
i 1
p
i
i 1
min{ i ,bi }
i
(16)
i 1
Пусть теперь ищется НОК элементов a и b факториального кольца
R. Как и выше считаем, что a и b заданы своими согласованными
каноническими разложениями (10). Пусть k (aR bR) (см. (4) §7 Глава II).
Запишем s в согласованном с a и b каноническом виде:
k
s=
p
(17)
i
i
i 1
Нам, как и в случае с НОД, надлежит установить значения показателей
степеней i , при которых общее кратное s элементов a и b становится их
наименьшим общим кратным. Согласно критерию делимости (11)
показателей степеней i из (17) подчиняются неравенствам
i = [1,k] ( i ≥ i ) ( i ≥ i )
(18)
Неравенства (18) рассматриваются в системе, решения которой задаются
неравенствами:
i = [1,k] , i ≥ max{ i , i }
(19)
Внимательный анализ (19) - в том числе с позиций критерия
делимости (11) - указывает на два обстоятельства: 1. элемент s =
k
p
max{ i , }
i
(aR bR); 2. t (aR bR), s|t . Но эти два условия есть факт
i 1
проверки элемента s на статус НОК элементов a и b, и s эту проверку
выдержал. Таким образом, нами получена формула НОК двух элементов
факториального кольца, заданных своими согласованными каноническими
разложениями:
k
k
[ pi , pi ] =
i
i 1
i
i 1
k
p
max{ i , }
i
(20)
i 1
Замечания. 1.Если в произвольном целостном кольце (см. §7 Глава
II ) рассуждения о НОД и НОК носили скорее гипотетический характер, то
формулы (16), (20) являют собой эффективный инструмент фактического
построения НОД и НОК элементов факториального кольца.
56
2. Если адаптировать формулы (16) (для НОД) и (20) (для НОК) к
кольцу Z (в нем можно ограничиться натуральными числами), то в
надлежащей лингвистической версии этих формул мы без труда узнаем
правила нахождения НОД и НОК натуральных чисел, излагаемых в
школьном курсе математики.
3. Формулы (16), (20) получены для двух элементов. Основываясь на
определении НОД и НОК и формулах (3), (6) §7 Главы II, не представит
труда распространить эти формулы на три и более элементов, заданных в
согласованных канонических записях.
Формулы (16), (20), аппелирующие к согласованным каноническим
разложениям, удобны и как инструмент доказательства свойств НОД и НОК
в факториальных кольцах.
§3. Свойства взаимно простых элементов в факториальных
кольцах.
Рассматриваемые ниже элементы факториального кольца даются при необходимости - в согласованных канонических разложениях, что
фиксируется формулировками свойств или в доказательствах.
Теорема. 1. (Критерий взаимной простоты элементов). Пусть
элементы a и b факториального кольца R, заданны своими согласованными
каноническими записями (10). Тогда:
((a,b) = 1) ( i = [1,k] ( i i = 0))
(1)
2. Произведение НОД двух элементов на их НОК совпадает (точнее
- ассоциировано) с их произведением. Формализация:
(a,b)[a,b] = ab
(2)
3. Если элемент, делящий произведение двух элементов, взаимно
прост с одним из сомножителей, то он делит другой сомножитель.
Формализация:
a,b,c R, ((a|bc) ((a,b)=1) (a|c))
(3)
4. Если каждый издвух взаимно простых элементов факториального
кольца делит третий, то и их произведение делит этот третий элемент.
Формализация:
57
a,b,c R, ((a,b) = 1 a|c b|c) ((ab)|c)
(4)
5. Если в факториальном кольце элемент взаимно прост с каждым из
двух данных элементов, то он взаимно прост и с их произведением.
Формализация:
a,b,c R ((((a,b) = 1) ((a,с) = 1))) ((a,bс) = 1)))
(5)
Доказательство. 1. Воспользуемся формулой (16) §2. Согласно
левой части эквиваленции (1), все показатели степеней min{ i , i } = 0, что
возможно в том и только в том случае, когда при любом i хотя бы один из
показателей i или i (в нашем контексте - точно один) равен нулю, что
эквивалентно правой части (1).
2. Доказательство основано на простом замечании: для любых двух
чисел α,β N 0 , α + β = min{α, β} + max{α, β}. Основываясь на этом
замечании, на основании формул (16), (20) §9 получаем требуемое:
k
(a,b)[a,b] = ( p
i 1
min{ i ,bi }
i
k
)( p
max{ i , }
i
k
p
)=
i 1
min{ i i } ma{ i, i }
i
i 1
k
=
p
i i
i
= ab
(6)
i 1
3. Запишем элемент с в согласованной с a и b канонической форме
(см. (10)§9):
с=
k
p
(7)
i
i
i 1
Тогда мы можем записать в каноническом виде произведение bc:
k
bc =
p
i i
i
(8)
i 1
Левая часть импликации (3) - на основании признака делимости и критерия
взаимной простоты - означает:
i = [1,k], ((α i ≤ β i +γ i ) (α i β i = 0))
(9)
Равенство α i β i = 0 имеет два основных исхода: α i = 0, а значит α i ≤ γ i или β i
= 0 и вновь α i ≤ γ i . По критерию делимости α i < γ i обеспечивает
выполнимость правой части импликации (3).
4. Пусть элементы a,b,c R даны в согласованных канонических
разложениях (10) §2 и (7). Ясно, что согласованная каноническая запись
произведения ab имеет вид:
58
k
ab =
pi i i
(10)
i 1
Cогласно критериям делимости и взаимной простоты, левая часть (4) может
быть записана в виде:
i = [1,k],((( i i = 0) (α i ≤γ i )) (β i ≤γ i ))
Заметим, что равенство
переформатировано так:
i i
=
0
может
(11)
быть
эквивалентно
i = [1,k], (( i i = 0) (( i + i = i ) ( i + i = i )))
(12)
В обоих случаях правой частью (12), согласно правой части (11) и на
основании критерия делимости, обеспечено условие выполнимости правой
части импликации (4).
5. Пусть элементы a,b,c,bc R даны в согласованных канонических
разложениях (10) §2, (7), (8). Тогда левая часть импликации (5) в терминах
критерия взаимной простоты запишется так :
i = [1,k], (( i β i = 0) ( i γ i = 0))
(13)
Сложив равенства (13), мы получим в качестве следствия:
i = [1,k], ( i (β i + γ i ) = 0)
(14)
Вывод (14) - в терминах критерия взаимной простоты элементов - есть
нечто иное, как правая часть импликации (5).
Комментарий. Пункт 2 Теоремы указывает, что знание НОД или
НОК
двух элементов факториального кольца позволяет найти
соответственно - их НОК или НОД. С другой стороны это свойство
(равенство (2)) порождает еще один - наряду с (1) - критерий взаимной
простоты элементов в факториальном кольце:
((a,b)=1) ([a,b] = ab)
(15)
59
§4. Кольца главных идеалов. НОД и НОК в кольце главных
идеалов
Определение. Целостное кольцо R называют кольцом главных
идеалов, если любой идеал этого кольца является главным.
Примеры. 1. Всякое поле F, имея лишь два (тривиальных) идеала
(0) = 0F и (1) = 1F, является кольцом главных идеалов;
2. Кольцо Z. Возьмем произвольный идеал I кольца целых чисел Z.
Пусть I отличен от нулевого и единичного идеалов (являются главными см. §2 Главы II). Обозначим через m наименьшее положительное число из I:
m = min I
Разделим теперь произвольное число х I на m с остатком
х = mq + r, где
0≤r<m
(1)
(2)
Поскольку I <| Z, то - на основании (2) - заключаем:
r = x – mq I
(3)
Если теперь допустить, что в (2) r ≠ 0, то на основании (3) мы вступаем в
противоречие с (1). Следовательно, из всех версий (2) для r остается
единственная: r = 0. Это означает, что число х кратно m, а так как х произвольный элемент из I, то мы установили, что I = m Z - главный идеал.
Итак Z - кольцо главных идеалов.
Контрпример. Рассмотрим кольцо многочленов от нескольких например от двух - неизвестных над некоторым полем F: F[x,у]. Пусть I множество всех многочленов из F[x,у], свободный член каждого из которых
равен нулю. Не представляет труда проверить, что I <| F[x,у]. допустим, что I
- главный идеал и f F[x,у] его образующая: I = (f) = f F[x,у]. Равенство нулю
свободных членов многочленов из I указывает на то, что степень всякого
ненулевого многочлена из I больше нуля. Рассмотрим теперь многочлены
х,у I. Допущение, что I - главный идеал, имеет следствием:
u,v F[x,y], (x = uf) (y = vf)
(4)
Так как degf ˃ 0, то равенства (4) имеют следствием: degu = degv = 0, т.е., u,v
- скаляры (ненулевые) из F, а значит обратимы. На этом основании равенства
(4) дают: y = vu 1 x F[x]. Это в корне противоречит требованиям построения
60
кольца F[x,y], где y F[x]. Полученное противоречие фиксирует то, что
кольцо F[x,y] не является кольцом главных идеалов.
Возьмем два идеала aR и bR кольца главных идеалов R. Их сумма
(aR) + (bR) и пересечение (aR) (bR) являются идеалами кольца R (см. §2
Главы II, свойства 1, 2 пересечения и суммы идеалов), причем - главными.
Это обстоятельство детерминирует особый характер отношения, связи
образующих элементов суммы и пересечения идеалов соответственно с
образующими слагаемых и сомножителей (для пересечения) в
предположении, что ab ≠ 0.
Теорема. В кольце главных идеалов образующий элемент суммы
двух идеалов является наибольшим общим делителем образующих элементов
слагаемых, а образующий элемент пересечения двух идеалов является
наименьшим общим кратным образующих элементов сомножителей.
Формализация теоремы:
a,b R (((aR) + (bR) = (dR)) (d = (a,b)))
a,b R, (((aR) (bR) = (mR)) (m = [a,b]))
(5)
(6)
Доказательство. Доказательство ведем в предположении ab ≠ 0,
чем исключаются тривиальные случаи. Опираемся на определение НОД и
НОК элементов (см. §7 Главы II). Подробно разберем случай с НОД
(импликация (5)), оставив на самостоятельную проработку случай НОК
(импликация (6)). Условие (левая часть) импликации (5) обеспечивает два
теоретико-множественных включения: (aR) ( dR) и (bR) (dR), откуда
следует, что d D a ,b . Первое требование определения НОД выполнено.
Далее, если D a ,b , то это значит, что (aR) (δR) и (bR) (δR), а потому и
(aR) + (bR) = dR (δR), т.е., δ|d - выполнено второе требование
определения НОД, чем и подтверждается статус d, зафиксированный в
заключении (правая часть) импликации (5).
Замечание. По логическим основаниям и с технической стороны
ничто не мешает в формулировке и доказательстве теоремы рассматривать
три и более слагаемых (для суммы идеалов) или сомножителей (для
пересечения идеалов). Так что считаем, что теорема имеет место для
произвольного конечного набора идеалов в R.
Комментарий. Если R - кольцо главных идеалов, то по умолчанию
считается, что в R есть эффективные процедуры построения суммы и
пересечения двух идеалов, а значит обнаруживаются их образующие
61
элементы. Таким образом, доказанная теорема не только обосновывает
существовние в кольце главных идеалов НОД и НОК его элементов, но дает
и способ их нахождения.
Обратимся к формуле (5). Детальное прочтение ее левой части
позволяет эксплицировать - предъявить явно - один из ее смыслов:
a,b R, (((d = (a,b)) ( u,v R (d = au + bv)))
(7)
Определение. Запись НОД элементов a,b R в виде d = au + bv
называют линейным представлением НОД.
Импликация (7) указывает на то, что в кольце главных идеалов
всегда строится линейное представление НОД двух элементов.
На линейном представлении НОД базируется доказательство
свойств взаимно простых элементов в кольце главных идеалов.
Теорема. Пусть a, b, c, p - произвольные элементы кольца главных
идеалов R, причем p - простой элемент. Тогда
1. (критерий взаимной простоты):
((a,b) = 1) ( u,v R (au + bv = 1))
(8)
2. Если элемент, делящий произведение двух элементов, взаимно
прост с одним из сомножителей, то он делит другой сомножитель:
(a|bc) ((a,b)=1) (a|c))
(9)
3. Если каждый и двух взаимно простых элементов делит третий, то
и их произведение делит этот третий элемент:
((a,b) = 1) a|c b|c) ((ab)|c)
(10)
4. Если элемент взаимно прост с каждым из двух данных элементов,
то он взаимно прост и с их произведением:
((a,b) = 1) ((a,с) = 1)) ((a,bс) = 1)
(11)
5. Если простой элемент делит произведение двух элементов, то он
делит хотя бы один из сомножителей:
p|ab p|a p|b
(12)
62
Доказательство. 1. Необходимость. Пусть имеет место равенство
левой части эквиваленции (8). Это равенство совпадает с равенством левой
части импликации (7) при d = 1. Следовательно, имеет место равенство
правой части импликации (7) - при d =1, - что совпадает с правой частью
эквиваленции (8).
Достаточность. Пусть имеет место равенство правой части
эквиваленции (8). Если δ D a ,b , то - на основании равенства правой части
эквиваленции (8) - δ D 1 = GR, т.е., D a ,b = GR, что означает взаимную
простоту a и b (см. §1), т.е., мы пришли к левой части эквиваленции (8).
Техники доказательств свойств 2 – 4 основаны на критерии
взаимной простоты элементов (свойство 1) и с этой точки зрения идентичны
между собой, поэтому мы ограничимся доказательством одного из этих
свойств, например своства 2. Согласно левой части импликации (9) (a,b) = 1,
следовательно, в нашем распоряжении имеется равенство в правой части
эквиваленции (8). Умножив обе части этого равенства на с, получим
a(cu) + (bc)v = c
(13)
Основываясь на первом сомножителе конъюнкции левой части импликации
(9), из (13) немедленно получаем ее правую часть.
5. Пусть имеет место левая часть импликации (12). Если p|a , то все
доказано. Если же p не делит a, то - согласно Предложению §1 - (p,a) = 1,
но тогда - в соответствии со свойством 2 - p|b.
Замечание. Свойства 4, 5 справедливы и для тех случаев, когда
участвующие в них произведения сформированы не двумя, а бОльшим
числом сомножителей: тремя, четырьмя и т.д.
Комментарий.
Свойства взаимно простых элементов,
представленные в только что доказанной теореме, доказывались нами для
факториальных колец (см. §3). Почему потребовалось «перерассматривать»
их в кольце главных идеалов? Дело в том, что на данный момент
факториальные кольца и кольца главных идеалов - это разные типы колец и
нет оснований переноса инструментов доказательства из кольца одного типа
в кольцо другого типа. Именно поэтому мы доказали эти же свойства
средствами кольца главных идеалов, что и придало им «законность» уже в
этом кольце. Ниже, опираясь на эти свойства как свойства взаимно простых
элементов кольца главных идеалов, мы установим связь последних с
факториальными кольцами.
63
§5. Факториальность кольца главных идеалов
Теорема
(лемма
о
конечности
последовательности идеалов). В кольце главных
возрастающая последовательность идеалов конечна.
возрастающей
идеалов всякая
Доказательство. В кольце главных идеалов R возмем
произвольную возрастающую последовательность главных идеалов. Пусть
идеалы этой последовательности заданы образующими а 1 , а 2 , . . . , а n , . . . :
а 1 R а 2 R . . . а n R . . .
(1)
Факт возрастания цепочки (1) обеспечивается «строгостью» включений .
Доказать теорему означает установить, что начиная с некоторого номера k
члены последовательности (4) стабилизируются - «не возрастают», каждый
следующий равен предыдущему.
Рассмотрим объединение всех идеалов последовательности (1):
I = (a i R)
i 1
(2)
Вообще говоря, объединение идеалов может и не быть идеалом. Специфика
же последовательности (1) (возрастаемость) обеспечивает I статус идеала,
что легко устанавливается по критерию идеала (оставляется для
самостоятельной проверки). Поскольку R - кольцо главных идеалов, то
идеал I - главный. Пусть a - его образующая: I = aR. Итак, (2)
переписывается:
I = aR = (a i R)
i 1
(3)
Дешифровка теоретико-множественного равенства (3) имеет следствием два
установления:
( k N (a (a k R))) ( i N ((a i R) (aR)))
(4)
Первый член конъюнкции (4) имеет следствием следующее теоретикомножественное включение:
64
k N ((aR) (a k R))
(5)
Из серии включений, представленных вторым членом конъюнкции (4),
выбираем одно, задаваемое значением i = k:
(a k R) (aR)
(6)
Сопоставляя (5) и (6), заключаем:
k N (I (=aR) = (a k R))
Но (7) «обрекает» возрастающую последовательность идеалов
стабилизироваться начиная - по крайне мере - с k-го ее члена:
a k R = a k 1 R = . . .
(7)
(4)
(8)
Отрицание соотношений (8) приводит к противоречию с (7). Но (8) и есть
искомая версия доказываемой теоремы.
Доказанная лемма лежит в оснвании доказательства следующей основной для данного параграфа - теоремы.
Теорема. Всякое кольцо главных идеалов является факториальным.
Доказательство. Пусть R
кольцо главных идеалов. Мы
исключаем из рассмотрения тривиальный для R случай поля: понятия
простоты, состАвности прилагаются к ненулевым и необратимым элементам,
которых в этом случае в R нет. Итак, берем произвольный ненулевой и
необратимый элемент a R и тестируем его определением факториального
кольца (см. §1). Если а - простой элемент, то равенство а = а есть его
(тривиальное) разложение в произведение (единственный сомножитель!)
простых сомножителей, т.е., в этом случае аксиома 1 определения
факториального кольца выполнена
простые элементы из R
«протестированы» аксиомой 1. Пусть теперь а - составной элемент. Факт
его подчинения аксиоме 1 определения факториального кольца установим
методом от противного. Пусть а никаким способом не разлагается в
произведение простых сомножителей. СостАвность а гарантирует наличие у
него собственных делителей (см. §1), в произведение которых распадается
элемент а: а = а 1 а 2 . . . а k . Если бы каждый сомножитель а i этого
произведения обладал разложением на простые сомножители, то таковым очевидно - обладал бы и сам элемент а, что исключено допущением
65
противного. Следовательно, хотя бы один собственный делитель элемента а
- пусть это будет а 1 не способен быть представленным в виде
произведения простых элементов.
Подведем промежуточный итог. Если составной элемент a R не
имеет - по допущению - разложения на простые сомножители, то хотя бы
один из его собственных делителей - обозначенный нами а 1 - наследует от
него этот статус: т.е, 1) является составным и 2) никаким способом не
разлагается в произведение простых сомножителей. Если воспользоваться
связью делимости элементов и главных идеалов (см. (4) §6 Главы II), то факт
того, что а 1 - собственный делитель элемента а, записывается так:
Ra Rа 1
(9)
Обратимся теперь к элементу а 1 R. Имея тот же - что и а - статус
(см. выше), элемент а 1 позволяет выделить свой собственный делитель,
обозначим его через а 2 , того же статуса, что и элементы а и а 1 : 1) является
составным и 2) никаким образом не разлагается в произведение простых
сомножителей. Кроме того, как и выше с (9), мы имеем:
Rа 1 а 2 R
(10)
Объединив (9) и (10), мы - на данном этапе - получим:
Ra Rа 1 а 2 R
(11)
Зафиксированный выше статус элемента а 2 позволяет достроить справа
конечную возрастающую цепочку идеалов (11) еще одним звеном a 3 R, не
нарушая ее «возрастания». В результате последовательно выполняемых,
описанных выше шагов мы строим возрастающую последовательность
главных идеалов по типу (1), причем получаемая последовательность бесконечна. Здесь мы вступаем в противоречие с леммой о возрастающей
последовательности главных идеалов, что - в итоге - подчиняет исходный
составной элемент а аксиоме 1 определения факториального кольца (см.
выше).
Продолжим тестирование выбранного нами элемента a R - теперь
аксиомой 2 определения факториального кольца. Доказательство
единственности разложения а на простые сомножители проведем методом
математической индукции по их числу n. Если а - прост, то а = а - искомое
разложение, оно - единственное. Итак, для n = 1 требование аксиомы 2
удовлетворено. Допустим, что аксиоме 2 определения факториального
кольца подчиняется любой элемент кольца R, хотя бы одним способом
66
разлагающийся в произведение n простых сомножителей. Если выбранный
нами элемент а разлагается хотя бы одним способом в произведение n (или
меньше) простых сомножителей, то а подчиняется аксиоме 2. Пусть а
разлагается в призведение (n+1) сомножителей:
a = p 1 p 2 . . . p n 1
(12)
Пусть, наряду с (12), имеется еще одно разложение элемента а в
произведение s простых сомножителей
a = q 1 q 2 . . . ,q s
(13)
Cопоставляя (12) и (13), мы заключаем, что простой элемент p 1 делит
произведение q 1 q 2 . . . ,q s . Тогда, на основании п.5 Теоремы §4, заключаем,
что p 1 делит один из сомножителей этого произведения. Пусть это будет
сомножитель q 1 :
q1 = u p1
(14)
При этом - в силу простоты как p 1 , так и q 1 - элемент u обратим. Внесем
теперь в правую часть (13) q 1 из (14), приравняем полученное произведение к
правой части (12) и сократим полученное равенство на p 1 . Получим:
p 2 . . . p n 1 = uq 2 . . . ,q s
(15)
Проанализируем равенство (15). Левая часть (15) состоит из n простых
сомножителей. По допущению индукции это - его единственное разложение
в произведение простых сомножителей. Но тогда и в правой части (15)
столько же простых сомножителей, т.е.. n = s-1. Отсюда n+1 = s, т.е., правый
части (12), (13) содержат одно и то же число простых сомножителей,
который - при подходящей нумерации - будут ассоциированы. Теорема
полностью доказана.
Комментарий. Доказанная теорема указывает на наличие в кольце
главных идеалов двух различных эффективных процедур построения НОД и
НОК двух элементов: 1) по формулам (16), (19) §2 и 2) по формулам (5), (6)
§4.
67
§6. Евклидовы кольца, основные свойства. Евклидово кольцо
как кольцо главных идеалов
Мы рассмотрели два типа колец - факториальные кольца и кольца
главных идеалов. Еще один тип колец
- это евклидовы кольца.
Рассматривается целостное кольцо R и множество натуральных чисел с
нулем N 0 .
Определение. Целостное кольцо R назывют евклидовым кольцом,
если можно построить отображение φ: R*→N 0 , удовлетворяющее
следующим требованиям - аксиомам евклидова кольца:
def
a,b R* ((a|b) (φ(a) ≤ φ(b)))
a R, b R*, q,r R (a = bq + r), где (r = 0) (φ(r) < φ(b))
(1)
(2)
Отображение φ, фигурирущее в определении евклидова кольца,
называют евклидовой статмой. Если при заданном b R* элемент а
представлен равенством (2), то говорят, что а разделен евклидово или с
остатком на b R*. При этом q называют (неполным) частным, a r - остатком
от деления a на b.
Примеры. Евклидовыми является (проверить)
1. Кольцо Z. Роль евклидовой статмы выполняет отображение
φ:Z→ N 0 , заданное равенством: φ(а) = |а|, где а - любое целое число;
2. Кольцо многочленов F[x] над полем F. Роль евклидовой статмы
играет отображение φ:R[x]*→ N 0 , заданное правилом: φ(f) = degf.
Замечание. Из примеров видно, что в отдельных случаях евклидова
статма φ может быть определена на всем кольце (пример 1). Главное статма должна «действовать» на всех ненулевых элементах кольца.
Свойства евклидовых колец. Пусть R - евклидово кольцо, со
статмой φ.
1. Значения статмы на ассоциированных между собой элементах
совпадают:
a,b R* ((a b(GR)) (φ(a) = φ(b)))
2.
a,b R* (((a|b) (φ(a) = φ(b)) (a b(GR)))
(3)
(4)
68
Лингвистическая версия свойства 2: если один из двух ненулевых элементов
евклидова кольца делит другой и евклидова статма на этих элементах
принимет равные значения, то элементы - ассоциированы.
Доказательство. 1. Левая часть импликации (3) фиксирует
ассоциированность a и b, т.е., их делимость друг на друга (см. (12) §6 Главы
II): a|b b|a . По этому основанию (1) имеет следствием (φ(a) ≤ φ(b)) (φ(b)
≤ φ(a)), откуда следует искомое равенство.
2. Для установления факта правой части импликации (4) - при a|b в
левой части - необходимо установить, что b|a. Разделим евклидово a на b.
Получим равенство (2), которое, с учетом a|b, имеет следствием а|r.
Исследуем возможные исходы для остатка r. Если r ≠ 0, то - на основании
аксиомы (1) определения евклидова кольца - факт а|r детерминирует
неравенство φ(а) ≤ φ(r), которое - вместе с φ(r) < φ(b) - противоречит
равенству левой части импликации (4). Следовательно, единственным
исходом для остатка r остается его обращение в нуль: r = 0. Это - на
основании равенства (2) - обеспечивает делимость a на b, а значит их
ассоциированность.
Следствие (критерий обратимости элемента евклидова кольца).
В евклидовом кольце элемент обратим в том и только в том случае, когда
значения евклидовой статмы на нем и на единице кольца совпадают:
a R* ((а GR) (φ(a) = φ(1)))
(5)
Доказательство. Если а - обратим (левая часть эквиваленции (5)),
то он подпадает под условие свойства 1, откуда следует правая часть (5).
Если же выполняется правая часть эквиваленции (5), то элемент а подпадает
под условие свойства 2, откуда вытекает факт левой части (5).
Замечание. Доказанный критерий обратимости элементов
евклидова кольца хорошо просматривается на приведенных выше примерах
евклидовых колец.
Теорема. Всякое евклидово кольцо является кольцом главных
идеалов.
Доказательство. Пусть R - евклидово кольцо и φ - его статма.
Возьмем произволный идеал I кольца R. Наша цель - показать, что I главный идеал. Считаем, что I отличен от несобственных идеалов 0R и 1R,
являющихся главными по определению. Пусть I* - множество ненулевых
69
элементов идеала I. I* не пусто, ибо I ≠ 0R. Рассмотрим множество
натуральных чисел φ(I*):
φ(I*) = {φ(x)|x I*} N 0
(6)
Пусть m наименьшее натуральное число из φ(I*):
m = min φ(I*)
(7)
Пусть, далее, a I* - один из прообразов числа m относительно φ:
φ(а) = m
(8)
Возьмем теперь произвольный элемент х I и разделим его евклидово на а:
x = aq + r,
r = o φ(r) < φ(a)
(9)
Оценим возможные исходы для остатка r из числа представленных в (9). Вопервых, заметим, что равенство (9) гарантирует попадание r в идеал I. Далее,
если r ≠ 0, то неравенство φ(r) < φ(a) - согласно (7), (8) - противоречит
выбору а. Следовательно, единственный исход для r - это r = 0. При этом (9)
указывет на R-кратность элемента х элементу а, что - в иной редакции прочитывается как I = aR, т.е., I - главный идеал.
Комментарий. Доказанная теорема наделяет евклидово кольцо
статусом кольца главных идеалов а - следовательно - и статусом
факториального кольца (см. §5). Таким образом, по умолчанию считается,
что в евклидовом кольце действительны эффективные процедуры
нахождения НОД и НОК двух элементов либо по типу факториального
кольца, либо по типу кольца главных идеалов.
§7. Алгоритм Евклида нахождения НОД двух элементов евклидова
кольца
Пусть R - евклидово кольцо со статмой φ. Кроме двух процедур
нахождения НОД двух элементов, указанных в комментарии §6, в
евклидовом кольце имеется еще одна - третья - процедура нахождения
НОД, обеспеченная ресурсами R как евклидова кольца. Построим ее.
Возьмем два произвольных элемена a и b кольца R. Ищем их НОД.
Мы усилим замечание 1 §7 Главы II и будем считать оба элемента a и b
ненулевыми: a,b R*. Иные варианты имеют достаточно очевидный ответ.
Если один из этих элементов делит другой - например, a|b, - то ответ
70
очевиден (см. §7 Главы II, свойство 2 НОД): (a,b) = a. Поэтому, в дальнейших
рассуждениях мы исходим из того, что элементы a и b не делят друг друга:
a| n b и b| n a (верхний индекс n у знака делимости «|» означает «не делит»:
англ. not - не).
Разделим евклидово a на b:
a = bq 1 + r 1
(1 1 )
Поскольку b| n a, в равенстве (1 1 ) остаток r 1 ≠ 0. Поэтому, согласно
определению евклидова кольца (см. (2) §6), мы фиксируем:
φ(b) > φ(r 1 )
(2 1 )
Так как r 1 ≠ 0, то выполнимо евклидово деление элемента b на r 1 . Реализуем
это деление:
b = (r 1 )q 2 + r 2
(1 2 )
Если если остаток r 2 равен нулю, мы заканчиваем процедуру евклидовых
делений. Если же r 2 ≠ 0, то вновь, согласно определению евклидова кольца,
мы фиксируем:
φ(r 1 ) > φ(r 2 )
(2 2 )
То, что r 2 ≠ 0, гарантирует продолжение проводимой процедуры евклидовых
делений: мы можем евклидово разделить r 1 на r 2 и, получив остаток r 3 :
r 1 = (r 2 )q 3 + r 3
(1 3 )
После чего предпринять дальнейшие шаги: если r 3 = 0 - процедуру
евклидовых делений заканчиваем; если же r 3 ≠ 0, то мы фиксируем:
φ(r 2 ) > φ(r 3 )
(2 3 )
и делим евклидово r 2 на r 3 с получением следующего остатка r 4 и т.д.
Оценим возникающую ситуацию евклидовых делений. Ненулевые остатки r 1 ,
r 2 , r 3 , . . . порождают неравенства (2 1, 2,3,... ) натуральных чисел, которые
можно объединить в однк убывающую последовательность:
φ(b) > φ(r 1 ) > φ(r 2 ) > φ(r 3 ) ˃ . . .
(3)
71
Убывающая последовательность (3) натуральных чисел ограничена сверху
числом φ(b) и потому обязательно конечна. А это - прямое указание на то,
что не может быть бесконечной последовательность ненулевых остатков r 1 ,
r 2 , r 3 , . . .. Иными словами, на некотором шаге произведя соответствующее
евклидово деление, мы с неизбежность получим нулевой остаток. Обозначим
последний ненулевой остаток при евклидовых делениях типа (1 1, 2,... ) через r k
- т.е., следующий остаток r k 1 = 0 - и выпишем два последних евклидовых
деления:
r k 2 = (r k 1 )q k + r k
r k 1 = (r k )q k 1
(r k 1 = 0)
(1 k )
(1 k 1 )
Определение. Сконструированный и описанный выше алгоритм
построения евклидовых делений (1 1, 2,..., k 1 ), оканчивающийся получением
первого нулевого остатка r k 1 , называется алгоритмом Евклида для элементов
a и b евклидова кольца R.
Покажем, что последний ненулевой остаток r k алгоритма Евклида
есть НОД элементов a и b:
r k = (a,b)
(4)
Для этого нужно протестировать r k определением НОД (см. §7 Главы II:
определение НОД и правую часть (1)). Действительно, равенство (1 k 1 )
указывает на то, что r k | r k 1 . С учетом этого обстоятельства равенство (1 k )
продуцирует делимость r k | r k 2 . И т.д., «поднимаясь вверх» по равенствам
(1 1, 2,..., k 1 ), мы из равенств (1 2 ) и (1 1 ) «извлечем» делимости r k |b и r k |a, т.е.,
r k D a ,b . Итак, остаток r k подчиняется первому требованиию определения
НОД. Далее, возьмем любой общий делитель δ элементов a и b: δ D a ,b .
Начинаем извлекать из равенств (1 1, 2,..., k 1 ) необходимые нам следствия,
«спускаясь вниз» по эти равенствам: первое из них дает делимость δ|r 1 ,
второе (с учетом δ|r 1 ) - делимость δ|r 2 , и т.д., наконец, k-е даст желаемую
делимость
δ|r k . Остаток r k подчиняется, следовательно, и второму
требованию определения НОД, окуда следует (4).
Вывод. Заявленная нами в начале параграфа цель достигнута:
ресурсами евклидова кольца мы построили еще одну - третью - процедуру
72
нахождения НОД двух элементов, это - алгоритм Евклида. Суть алгоритма
проста: строится последовательность евклидовых делений (1 1, 2,..., k 1 ),
Последний ненулевой остаток r k и есть искомый НОД.
Алгоритм Евклида построения НОД двух элементов евклидова
кольца позволяет построить и его - НОД - линейное представление
(помним, что евклидово кольцо, это и кольцо главных идеалов, в котором
линейное представление НОД двух элементов существует). Действительно,
пусть построен, выписан алгоритм Евклида (1 1, 2,..., k 1 ). Используем уже
опробованный принцип «подниматься вверх» по равенствам (1 1, 2,..., k 1 ). Из
равенства (1 k ) находим r k :
r k = (-q k )r k 1 + r k 2
(5 1 )
Обратим внимание на формат равенства (5 1 ): это - «линейный»
характер выражения r k через r k 1 и r k 2 . Важна именно «линейность».
Заменим теперь в полученном равенстве(5 1 ) остаток r k 1 из равенства (1 k 1 )
алгоритма Евклида (при необходимости иметь уверенность в рассуждениях выписать это равенство явно). Получим - по типу (5 1 ) - «линейное»
представление r k - теперь уже через r k 2 и r k 3 :
r k = (. . . ) r k 2 + (. . . ) r k 3
(5 2 )
Скобками обозначены коэффициенты представления r k через r k 2 и r k 3 ,
состав которых, как уже сказано, сейчас для нас вторичен. Продолжив
«подъем вверх» по равенствам (1 1, 2,..., k 1 ), мы, заменив в (5 2 ) остаток r k 2 из
(1 k 2 ), выразим линейно r k через r k 3 и r k 4 и т.д. По использовании в
описанном выше режиме «подъема вверх» равенств (1 2 ) и (1 1 ), мы получим
- с учетом (4) - искомое линейное представление НОД элементов a и b:
d = (a,b) = r k = ua + vb
(5 k )
Коэффициенты u и v линейного представления (5 k ) НОД элементов a и b
эффективно, конкретно высчитываются при движении от (5 1 ) к (5 k ).
73
Литература (основная)
1. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. 18 изд. Стереотип. – СПб.:
Издательство «Лань», 2011 (2004,1968, 1971, 1975).рекомендовано
2. Винберг Э. Б. Курс алгебры.- М.: Издательство «Факториал
Пресс», 2002. – 544 с.
Литература (дополнительная)
1. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. Учебное пособие для студентов
физ.-мат. специальностей, пед. Институтов.- М.; Просвещение, 1993.
2. Алгебраические структуры с одной и двумя бинарными
операциями/ Н.М. Агафонова,
Т.А. Береговая,
В.А. Глуздов,
В.И. Грачева. –Н.Новгород: НГПУ, 2005. – 98 с.
гриф УМО
3.Методические указания по изучению темы «Теория групп и колец»./сост.
Н.М. Агафонова и др. – Н. Новгород, 1990.
