ppt-файл

Дистанционное обучение
Подготовка к олимпиадам по математике
6 класс
Тема №1
Принцип Дирихле
В несерьёзной форме принцип Дирихле гласит: «Нельзя посадить 7
кроликов в 3 клетки, чтобы в каждой было не больше 2 кроликов.»
Историческая справка
При решении многих задач используется логический метод рассуждения — "от противного".
Рассмотрена одну из его форм — принцип Дирихле.
Этот принцип утверждает, что если множество из N элементов разбито на п непересекающихся
частей, не имеющих общих элементов, где N>n то, по крайней мере, в одной части будет
более одного элемента
Принцип назван в честь немецкого математика Дирихле (1805-1859), который успешно
применял его к доказательству арифметических утверждений.
По традиции принцип Дирихле объясняют на примере "зайцев и клеток". Если мы хотим
применить принцип Дирихле при решении конкретной задачи, то нам предстоит
разобраться, что в ней — "клетки", а что — "зайцы".
Это обычно является самым трудным этапом в доказательстве. Цель этого занятия —
познакомиться с некоторыми изюминками принципа Дирихле.
Задача №1
За победу в турнире Архимеда команда из 8 человек получила 12 конфет.
Дети поделили конфеты между собой, не разламывая их. Определите,
верны ли следующие утверждения:
«кому-то досталось по крайней мере 2 конфеты»;
«кому-то досталось по крайней мере 3 конфеты»;
«двум людям досталось по крайней мере две конфеты»;
«каждому досталась хотя бы одна конфета».
Решение.
1) Да, верно. Предположим противное, т.е. что существует ситуация, когда
дети поделили конфеты так, что каждый получил 0 или 1 конфету. Тогда все
дети в сумме получили не более 8 конфет, что противоречит условию.
Значит наше предположение неверно, и такая ситуация существовать не
может. Т. о. всегда найдётся тот, кто получил, по крайней мере, 2 конфеты.
Для всех остальных пунктов можно построить пример, когда дети поделили
12 конфет так, что указанные утверждения не выполняются:
2) 4 человека получили по 2 конфеты, а остальные 4 по одной.
3) Все конфеты забрал один человек.
4) Аналогично пункту 3.
Задача №2
У трёх членов жюри спросили: «Сколько команд будет участвовать в
турнире Архимеда?» Один сказал: «Меньше тридцати трех». Другой:
«Меньше тридцати одной», а третий: «Меньше тридцати двух». Сколько
команд участвовало в турнире Архимеда, если правы оказались в
точности двое членов жюри?
Ответ. 31 команда.
Решение. Заметим, что из верности второго утверждения вытекает
верность остальных. А так как верными оказались ровно два
утверждения, то второе утверждение неверно, а первое и третье верны.
Т. о. количество команд, с одной стороны, не может быть больше 31 (т. к.
иначе неверно третье утверждение), а с другой стороны, не может быть
меньше 31 (т.к. иначе верно второе утверждение). Значит. единственно
возможное количество команд — 31.
Легко проверить, что 31 удовлетворяет условию задачи.
3.
На финальном матче школьного первенства по баскетболу команда 6А
забила 9 мячей. Докажите, что найдутся два игрока этой команды,
забившие поровну мячей. (В команде было 5 игроков.)
Задача №3
Маленький брат Андрея раскрасил шашки в восемь цветов. Сколькими способами
Андрей может поставить на доску 8 разноцветных шашек так, чтобы в каждом
столбце и в каждой строке было по одной шашке?
Сколькими способами Андрей может поставить на доску 8 белых шашек так,
чтобы в каждом столбце и в каждой строке было по одной шашке?
Ответ. 8!² способов, 8! способов.
Решение. Рассмотрим сначала случай, когда шашки белые. Будем расставлять
шашки. В первом столбце мы можем поставить шашку в любую из 8 клеток. Во
втором столбце — в любую из 7 клеток. (Т. к. нельзя ставить в ту же строку, в
которой стоит первая шашка.) Аналогично в третьей строке мы можем
поставить шашку в любую из 6 клеток, в четвёртой строке — в любую из пяти и
т. д. Итого получаем 8! способов.
Теперь рассмотрим случай цветных шашек. Возьмём произвольную расстановку
белых шашек. Будем раскрашивать эти шашки в 8 цветов, так чтобы любые две
из них были покрашены в разные цвета. Первую мы можем покрасить в один из
8 цветов, вторую — в один из 7 оставшихся и.т. д. Т. е. всего 8! способов
раскраски. Поскольку способов расстановки тоже 8! , и каждую из этих
расстановок мы можем раскрасить 8! способами, то всего способов в этом
случае 8!·8!=8!².
Задача №4
В Москве проживает более 10 000 000 людей. На голове у каждого
человека не может быть более 300 000 волос. Докажите, что наверняка
найдутся 34 москвича с одинаковым числом волос на голове.
Решение. На голове может быть 0, 1, …, 300 000 волос — всего
300 001 вариант. Каждого москвича отнесём к одной из 300 001 групп в
зависимости от количества волос. Если 34 москвича с одинаковым
количеством волос не найдутся, то это значит, что в любую из созданных
групп входит не более 33 человек. Тогда всего в Москве живёт не более
33·300 001=9 900 033 < 10 000 000 человек, что противоречит условию.
Значит, такие 34 москвича обязательно найдутся.
Тема №2
А маленькие часики смеются тик- так…..
Те часы, которые стоят, лучше тех,
что всегда спешат на 1 минуту —
ведь они показывают точное
время дважды в сутки!
Задача №1
В стране Пунктуальность все люди, у которых есть будильники,
встают вовремя. Верно ли, что в этой стране люди, у которых нет
будильников, не встают вовремя? Верно ли, что люди, которые не
встают вовремя, не имеют будильников?
Ответ. первое утверждение неверно, второе — верно.
Решение. Первое утверждение неверно. В условии задачи говорится
о людях, о которых есть будильники, и о людях, которые встают
вовремя. Там ничего не сказано ни о тех, у кого нет будильников, ни
о тех, кто не встаёт вовремя. Поэтому это утверждение из условия
задачи мы получить не можем.
Второе утверждение верно. Предположим, что это не так. Тогда в
стране Пунктуальность есть человек, который не встаёт вовремя, но
при этом у него есть будильник. Но это противоречит условию
задачи, в котором сказано, что если у человека есть будильник, то он
встаёт вовремя. Значит, наше предположение неверно, и второе
утверждение верно.
Задача №2
В 4 часа дня с первого до последнего удара часов прошло 6 секунд.
Сколько времени пройдет с первого до последнего удара в полдень?
Решение. В 4 часа часы пробили четыре раза. Значит, между любыми
двумя ударами проходит 6:3=2 секунды. (Между 4 ударами часов есть
3 промежутка.) Тогда в 12 часов между первым и последним ударом
есть 11 промежутков по 2 секунды, а значит, между ними пройдёт
22 секунды.
Задача №3
На часах, которые ходят точно, оторвались все цифры, и на часах остались только
деления без подписей. Как узнать, куда нужно прикрепить цифры на циферблат?
Решение. За 12 часов маленькая стрелка проходит полный круг. За это
время она несколько раз совпадает с минутной. Но только один раз это
происходит, когда точное время составляет целое число часов, то есть
когда от нового часа ещё не прошло ни одной минуты. Это происходит
в 12 часов. Таким образом, можно узнать какое из отмеченных делений
соответствует 12. Остальные цифры нужно прикреплять
последовательно по ходу часовой стрелки.
Задача № 4
Есть двое песочных часов: на 5 минут и на 8 минут. Как можно с их
помощью засечь 7 минут?
Решение. Одновременно переворачиваем и те, и другие часы.
Когда в 5-минутных часах песок полностью пересыплется,
перевернём их ещё раз. Через 3 минуты песок полностью
пересыплется в 8-минутных часах. В этот момент начинаем
отмерять 7 минут. Через две минуты песок пересыплется в 5минутных часах. Переворачиваем их, и когда он пересыплется
там ещё раз пройдёт ровно 2 + 5=7 минут с того момента, как
мы стали засекать время.
Задача № 5
Петин будильник испорчен: он спешит на 4 минуты в час. В 7 часов
вечера Петя установил на нем точное время и еще поставил звонок
на 7 часов утра. Во сколько Петя проснётся?
Решение. Пусть у нас есть правильные часы и такие же часы, как у
Пети. Будем отмерять время и по тем, и по другим. Если с 7 часов
вечера до того момента, когда зазвенел будильник, пройдёт x часов
(или 60x минут), если отмерять по правильным часам, то по Петиным
часам пройдёт 64x минут. Так как будильник зазвенит, когда Петины
часы будут показывать 7 часов утра, то по этим часам с 7 вечера
прошло 12·60 минут. То есть, 64x=12·60. Тогда
12·60
x=
64
=
45
4
Значит, от 7 часов вечера до того момента, когда зазвенит
будильник, пройдёт 45/4 часа или 11 часов 15 минут. Легко
посчитать, что будильник зазвенит в 6 часов 15 минут.
Тема №3
Вы, кажется, спросили про какие-то деньги?
О. Бендер
Задача №1
В двух кошельках вместе лежит два рубля. При этом в одном кошельке
денег в два раза больше, чем в другом. Как такое может быть?
Решение. Пусть один кошелёк большой, а другой маленький. При этом
маленький кошелёк помещается в большой. Кладём по рублю в каждый из
кошельков, а потом маленький кошелёк в большой.
Задача №2
В копилке лежит 20 рублёвых монет и 20 двухрублёвых монет. Какое
наименьшее число монет нужно выковырять из копилки, чтобы среди них
наверняка оказались а) две монеты одного достоинства; б) две
двухрублёвых монеты; в) две монеты разного достоинства?
Решение.
а) Среди трёх монет всегда найдутся две одного достоинства, так как в
копилке есть только два вида монет. С другой стороны, двух монет хватит
не всегда, так как может попасться по одной монете каждого вида.
б) Среди 22 монет не может оказаться более 20 рублёвых, поэтому
всегда найдутся как минимум две двухрублёвые. Если вытаскивать
меньше 22 монет, то гарантировать выполнение указанного условия
нельзя. Возможен случай, когда будут попадаться рублёвые монеты до
тех пор, пока они не закончатся в копилке. Тогда двухрублёвых монет
будет не больше одной (1 для случая, когда вытаскиваем всего 21 монету
и
0
для
случая,
когда
вытаскиваем
меньше).
в) Если вытащить 21 монету, то все они не могут быть одинаковыми, так
как монет каждого вида только 20. Поэтому среди них найдутся две
разные. Если вытащить меньше 20 монет, то все они могут оказаться
одинаковыми, поэтому двух монет разного достоинства среди них может
и не оказаться.
Задача №3
Ковбой Джо приобрел в салуне несколько бутылок Кока-Колы по 40
центов за штуку, несколько сэндвичей по 24 цента и 2 бифштекса.
Бармен сказал, что с него 20 долларов 5 центов. Ковбой Джо высказал
бармену всё, что он думает о его умении считать. Действительно ли
бармен ошибся?
Решение. Так как цена каждой бутылки Кока-Колы равна чётному числу
центов, то стоимость всех купленных ковбоем бутылок также будет равна
чётному числу центов. Аналогично стоимость всех купленных сэндвичей
равна чётному числу центов. Также и стоимость купленных бифштексов
равна чётному числу центов, так как куплено их было два. Поэтому
стоимость всего того, что купил Джо, должна выражаться чётным числом
центов, так как сумма нескольких чётных чисел равна чётному числу. Но
бармен предъявил счёт в 20 долларов 5 центов, что равно 2005 центам.
Так как 2005 — нечётное число, то можно сделать вывод, что он ошибся.
Задача №4
Есть девять монет, среди них одна фальшивая. Все настоящие монеты
весят одинаково, фальшивая монета весит немного меньше. Как с
помощью чашечных весов без стрелок и гирек за два взвешивания
гарантированно определить фальшивую монету?
Решение.
Первое взвешивание: Разделим монеты на три кучки по три монеты.
Кладём на первую чашку весов первую кучку, а на вторую чашку —
вторую. Если чашки находятся в равновесии, то, значит, на весах
фальшивой монеты нет, тогда она в третьей кучке. Если весы не в
равновесии, то фальшивая монета в более лёгкой кучке. Таким образом
первым взвешиванием мы выделили группу из трёх монет, среди которых
находится
фальшивая.
Второе взвешивание: Из выделенной кучки одну монету кладём на первую
чашку весов, вторую монету — на вторую. Третью монету откладываем.
Если весы показывают, что одна из монет легче, то эта монета
фальшивая. Если весы находятся в равновесии, то фальшивая третья
монета.
Задача №5
Играют двое. Они по очереди выкладывают на круглый стол одинаковые
монеты. Класть монеты друг на друга нельзя. Проигрывает тот, кому некуда
положить очередную монету. Кто из игроков может гарантированно
обеспечить себе победу — начинающий или его соперник? Как он должен
играть?
Решение. Начинающий выиграет, если будет играть следующим образом:
Своим первым ходом он кладёт монету так, чтобы её центр совпал с
центром стола. Далее, каждым своим следующим ходом он кладёт монету
так, чтобы она была симметрична относительно центра стола той монете,
которую положил второй игрок своим последним ходом. Первый всегда
может это сделать, так как после каждого его хода расположение монет
симметрично относительно центра стола (то есть, если некоторая точка
поверхности стола накрыта монетой, то и симметричная ей точка
относительно центра стола накрыта, а если она не накрыта монетой, то и
симметричная точка не накрыта). Таким образом, если второй смог найти
место, чтобы положить монету, то есть точно такой же свободный участок
по форме и по площади. Как видим, следуя такой стратегии, начинающий
всегда может ответить на ход его соперника своим ходом. Рано или поздно
класть монеты будет некуда, но так как первый всегда может сделать ход,
то проиграет второй игрок.
Математическая регата
Блок 1 (каждая задача — 6 баллов)
1.
2.
Решите уравнение ((x : 2 – 3) : 2 – 1) : 2 – 4 = 3.
Разрежьте фигуру, изображённую на рисунке, на четыре равные части так, чтобы линии разрезов шли по сторонам клеток.
Найдите как можно больше способов. (Симметричные случаи различными не считаются.)
3.
У зайцев было несколько бревен. Все бревна были распилены: всего сделали 20 распилов и получили 27 чурбачков.
Сколько бревен было у зайцев? (Ответ объясните.)
Блок 2 (каждая задача — 7 баллов)
Решите ребус: A + BB + A = CCC. (Каждую букву надо заменить цифрами, при этом одинаковым буквам
соответствуют одинаковые цифры, а разным буквам — разные цифры.) Найдите все решения и объясните, как
вы нашли ответ.
2. Нарисуйте восемь точек и соедините их отрезками так, чтобы отрезки не пересекались и каждая точка была бы
вершиной ровно четырёх отрезков.
Жители города А говорят только правду, жители города В — только ложь, а жители города С — попеременно правду
и ложь (т. е. из двух высказанных ими утверждений одно истинно, а другое ложно). В пожарную часть сообщили
по телефону: «У нас пожар, скорее приезжайте!» «Где?» — спросил дежурный по части. «В городе С», —
ответили ему. В какой город должна приехать пожарная машина?
1.
Блок 3 (каждая задача — 8 баллов)
1. Было два положительных числа. Одно из них увеличили на 1 процент, второе — на 4 процента. Могла ли их
сумма увеличиться на 3 процента? (Если да, приведите пример, если нет — объясните, почему.)
2. Как на стол поставить 8 одинаковых кубиков так, чтобы со всех сторон полностью было видно ровно 23 грани
кубиков, а остальные грани видны не были?
3. В колонию, состоящую из двухсот бактерий, попадает один вирус. В первую минуту он уничтожает одну бактерию,
затем делится на два новых вируса, и одновременно каждая из оставшихся бактерий тоже делится на две
новые. В следующую минуту возникшие два вируса уничтожают две бактерии, и затем каждый из оставшихся
вирусов и каждая из оставшихся бактерий снова делятся пополам и так далее. Будет ли эта колония жить
бесконечно долго или, если она в конце концов погибнет, то через какое время это произойдёт?
Блок 4 (каждая задача — 9 баллов)
1.Над цепью озер летела стая гусей. На каждом озере садилась половина
гусей и еще полгуся, а остальные летели дальше. Все гуси сели на 8 озерах.
Сколько гусей было в стае?
2. Каждая точка плоскости покрашена либо в красный, либо в синий цвет.
Докажите, что обязательно найдутся две точки одного цвета, расстояние
между которыми ровно 1 метр.
3. За круглым столом сидят 7 дипломатов. Они должны провести по одной
беседе друг с другом. Два дипломата будут беседовать только в том случае,
если они окажутся рядом. После того, как каждый из дипломатов закончил
переговоры со своими соседями, дипломаты встают и занимают новые
положения. С каким минимальным количеством пересаживаний может
пройти встреча?
Тема №4 Раскраска
Я раскрашу целый свет в самый мой любимый
цвет!
Задача №1
Витя и Женя играют в такую игру. У них есть клетчатая таблица 11×11.
Каждым ходом они закрашивают любую еще не закрашенную клетку
таблицы. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при
правильной игре?
Решение. После каждого хода любого из игроков количество не закрашенных
клеток уменьшается на одну. Вся доска состоит из 121 клетки. А так как в
начале они все не закрашены, и всего их нечётное число, то выиграет тот,
кто ходит первым.
Задача №2
Каждая точка на прямой покрашена либо в красный, либо в синий цвет.
Докажите, что можно выбрать три точки одного цвета так, что одна из них
лежит ровно посередине между двумя другими.
Решение. Возьмём две точки одного цвета A и B (допустим, синего). Будем
считать, что AB = 1. Если справа от B или слева от А на расстоянии 1 —
синяя точка, то задача решена (мы нашли три синие точки на расстоянии 1).
В противном случае обе эти точки (обозначим их C и D) — красные.
Поскольку CD = 3, в случае, если слева от C или справа от D на
расстоянии 3 — красная точка, задача решена (мы нашли три красные точки
на расстоянии 3). В противном случае обе эти точки (обозначим их E и F) —
синие.
Если на единицу вправо от E находится синяя точка (обозначим её G), то
точки G, B и F — искомые. Пусть точка G — красная.
Если середина отрезка GC (обозначим её H) — красная, то точки G, H, C —
искомые. Если точка H — синяя, то искомыми точками будут E, H, A.
Задача №3
Можно ли таблицу 8×8 c вырезанной угловой клеткой разрезать на
полоски 1×3?
Ответ. Да, можно. Для решения достаточно построить пример.
Задача №4
Клетки квадрата 6×6 покрашены в синий, белый и оранжевый цвет.
Разрежьте квадрат на четыре одинаковые по форме части так, чтобы в
каждой части было одинаковое количество клеток каждого цвета.
Решение.
Тема № 5
Шахматы и доски
Задача №1 Шахматный конь стоит в левом нижнем углу доски. Может ли
он через а) 4; б) 5; в) 2005 ходов вернуться на исходное поле?
Ответ. а) да; б) нет; в) нет.
Решение. в) Нет, так как при каждом ходе конь меняет цвет поля, значит,
после нечётного числа ходов он может оказаться только на поле
противоположного цвета.
Задача №2 Какое наибольшее число а) ладей; б) королей можно
расставить на шахматной доске, чтобы они не били друг друга?
Ответ. а) 8, б) 16.
Решение.
а) Так как в каждом столбце может стоять не больше одной ладьи, то
ладей не может быть больше восьми. Восемь ладей можно поставить,
например, на одну из диагоналей.
б) Разобьём доску на 16 квадратиков 2×2. Тогда в каждом из них может
стоять не больше одного короля. Значит, всего на доске не может быть
больше 16 королей. 16 королей можно поставить, например, в левых
верхних углах таких квадратиков.
Задача №3 Лена и Настя играют в следующую игру: в каждую клетку
шахматной доски они по очереди ставят по шашке. Проигрывает тот, после
чьего хода в столбце или строке окажется три шашки. Начинает Лена.
Может ли одна из девочек играть так, чтобы всегда выигрывать, независимо
от ходов соперницы?
Решение. Настя может играть так, чтобы всегда выигрывать. Для этого она
должна делать ходы, симметричные ходам Лены относительно
вертикальной оси. Тогда после хода Насти в столбце будет столько же
шашек, сколько и после хода Лены, а в строке будет четное число шашек.
Поэтому Лена первой получит три шашки.
Задача №4 Можно ли разрезать шахматную доску на 15 вертикальных и
17 горизонтальных доминошек?
Решение. Допустим, так разрезать можно. Раскрасим доску на чёрные и
белые
горизонтальные
полосы.
Тогда вертикальные доминошки займут 15 чёрных и 15 белых клеток.
Соответственно, горизонтальным доминошкам достанется 49 чёрных и
49 белых клеток. Но каждая горизонтальная доминошка занимает две
клетки одного цвета, значит, все горизонтальные доминошки должны
занимать чётное число чёрных и чётное число белых клеток. Получили
противоречие.
Тема № 6
Комбинаторика
Задача №1 В магазине продают 5 видов чашек, 4 вида блюдец и 2 вида
ложек. Сколькими способами можно купить
а) набор из чашки, блюдца и ложки;
б) два предмета с разными названиями?
Решение. Чашку мы можем выбрать одним из 5 способов, блюдце —
одним из 4 способов, ложку — одним из 2 способов. Всего 5×4×2=40
способов сделать покупку. Ответ. 40 способов.
Решение. Существует три вида покупок: чашка-блюдце, блюдце-ложка и
ложка-чашка. Существует 5×4=20 покупок первого вида, 4×2=8 покупок
второго вида и 2×5=10 покупок третьего вида. Тогда всего 20 + 8 + 10=38
способов сделать покупку. Ответ. 38 способов.
Математическая карусель. Зачётный рубеж
1.Питон длиной 16 проползает по бревну длиной 32 метра за 18 минут. Сколько минут ему потребуется, чтобы
проползти?
2. Найдите наименьшее натуральное число кратное 100, сумма цифр которого равна 100.
3.Сколькими способами число 100 можно представить в виде суммы трех простых чисел? (порядок слагаемых не
важен) .
4. Выписаны в ряд 99 единиц. Расставьте между некоторыми из них знаки + и – так, чтобы значение полученного
выражения равнялось 2005.
5. Пётр, Василий и Семён были на рыбалке. Пётр поймал 4 рыбы, Василий — 3, а Семён забыл дома удочку, поэтому
весь день собирал грибы. Всех рыб поделили поровну, и Семён отдал товарищам за рыбу 14 грибов. Как Пётр с
Василием должны поделить их?
6. Петя и Вася купили по пирожку. Петя заплатил трёхкопеечными монетами, а Вася — пятикопеечными. Сколько
стоил пирожок, если вместе они отдали меньше десяти монет?
7. Решите ребус: ЧАЙ : АЙ = 5.
8. Молодой человек согласился работать с условием, что в конце года он получит автомобиль «Запорожец» и $2600.
Но по истечении 8 месяцев уволился и при расчёте получил «Запорожец» и $1000. Сколько стоил «Запорожец»?
9. На какое наибольшее количество различных прямоугольников с целыми сторонами можно разрезать по линиям
сетки квадрат 5×5?
10. Четверо друзей купили лодку. Первый заплатил половину того, что заплатили остальные; второй заплатил треть
того, что остальные; третий — четверть того, что остальные, а четвертый заплатил 130 рублей. Сколько стоит лодка?
11. Колобок катится от Бабки к Медведю, от Медведя — к Волку, от Волка — к Зайцу, от Зайца — к Лисе. Каждый раз
при этом он пробегает половину оставшегося расстояния и ещё 400 метров. Сколько метров пробежит Колобок,
прежде чем окажется в пасти у Лисы?
Материал для дистантного курса
взят с сайта
Крhttp://mmmf.math.msu.su/archive/20042005/z6/regata.htmlужок 6
класса